TEMA 5 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS

1

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

TEMA 5

REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS

Miguel Ángel Solano Vérez

Electrodinámica

2

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

TEMA 5: REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS PLANAS 5.1

Introducción

5.2

Incidencia normal

En el capítulo anterior se ha estudiado la solución de las ecuaciones de Maxwell en el caso más simple en el que la propagación se realiza en un medio infinito. Ello da lugar a una solución que es una onda plana. El siguiente paso es analizar qué sucede cuando existen diferentes medios por los que se propaga una onda plana. Estudiaremos primeramente la situación cuando tenemos dos medios semiinfinitos en el caso de incidencia normal de la onda sobre la superficie de separación y luego para incidencia oblicua. Finalmente se analizará el caso de incidencia normal en múltiples medios. Es conveniente recordar que las supercicies de separación entre los diferentes medios son infinitas.

Consideremos el caso en que tenemos dos medios semiinfinitos caracterizados por su permitividad ε, su permeabilidad µ y su conductividad σ y una onda plana polarizada según el eje X incide desde el medio 1 en el 2, como indica la figura 5.1. La interfase de separación está colocada en el plano XY y es de extensión infinita. X

r

Medio 2 ε2, µ2, σ2

Medio 1 ε1, µ1, σ1

Ei

Y

r

Et

r

Hi

r

Er

r

Ht r

Hr

Figura 5.1.- Reflexión y transmisión en incidencia normal

Z

3

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Los campos en el medio 1 para la onda incidente son

r

r

Ei = E 0 e −γ z ax 1

(5.1)

E 0 −γ z r e ay Z1

r

Hi =

1

donde

γ 1 = α1 + j β1 = j ωµ1 (σ 1 + j ωε1 )

; Z1 =

j ωµ1 σ 1 + j ωε1

y para la onda reflejada r

Er = Er e γ r

Hr = −

1

z r ax

Er γ e Z1

1

(5.2)

z r ay

Análogamente para el medio 2 r

Et = Et e −γ r

Ht =

2

Et −γ e Z2

z r ax

2

(5.3)

z r ay

donde

γ 2 = α2 + j β2 = j ωµ2 (σ 2 + j ωε2 )

; Z2 =

j ωµ2 σ 2 + j ωε2

Sobre la superficie de separación, que supongamos que está colocada en z=0, se cumplen las condiciones de contorno r

r

r

Ei + Er = Et

;

r

r

r

Hi + Hr = Ht

en z = 0

Sustituyendo se obtiene

E 0 + Er = Et

;

1

Z1

(E 0 − E r ) =

1

Z2

Et

(5.4)

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

y despejando

Γ=

Er E0

=

Z 2 − Z1 Z 2 + Z1

T =

;

Et E0

=

2 Z2 Z 2 + Z1

4

(5.5)

siendo Γ y T los coeficientes de reflexión y transmisión, respectivamente, en z=0. Si los medios se consideran sin pérdidas los coeficientes de reflexión y transmisión son reales. Puede calcularse un coeficiente de reflexión visto a una distancia “d1” de z=0 que es donde realmente se produce la reflexión de la onda como

Γ ( z = −d1 ) =

E r (z ) Ei (z )

=

Γ(z = 0) Ei e j β1z − j β1z

Ei e

z = −d1

= Γ(z = 0) e −2 j β1d1

(5.6)

z = −d1

De la misma forma se puede calcular un coeficiente de transmisión referido a unos planos alejados de z=-d1 y z=d2 como − j β 2d2 ⎛ z = −d1 ⎞ Et (z = d2 ) T (z = 0) Ei e −j β d + β d T⎜ = =T (z = 0) e ( 1 1 2 2 ) ⎟= β j d Ei e 1 1 ⎝ z = d2 ⎠ Ei (z = −d1 )

(5.7)

Estas expresiones valen para medios sin pérdidas. En el caso de medios con pérdidas hay que cambiar las constantes de fase β por sus correspondientes constantes de propagación. Las densidades de potencia asociadas, para el caso de medios sin pérdidas son 2 r r* r E0 r i 1 Sav = Re Ei × Hi = az = az Sav 2 2Z1

{

ri

}

⎛w ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m2 ⎠

2 r r* r r 1 2 E0 i Sav = Re Er × Hr = −az Γ = −az Γ 2 Sav 2 2Z1

rr

{

}

r

t Sav =

(

r r r 1 Re Et × Ht* = az T 2

{

}

)

r i = az 1 − Γ 2 Sav

2

⎛w ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ m ⎠

⎧ ⎨nota : comprobar que T ⎩

2

⇒ onda incidente

⎛w ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m2 ⎠

2

E0 r = az T 2Z 2

2

⇒ onda reflejada 2

Z1 E 0 = Z 2 2Z1

⇒ onda transmitida ⎫ Z1 = 1 − Γ2 ⎬ Z2 ⎭

5

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Ejemplo: Consideremos el caso en el que el medio 2 es un conductor perfecto.

Sobre su superficie, el campo eléctrico tangencial debe anularse ya que el campo electromagnético en su interior es nulo. Por tanto r

r

Ei + Er = 0

en z = 0

⇒ Ei + Er = Ei + ΓEr = 0 ⇒ Γ = −1

lo que indica que el coeficiente de reflexión de un conductor perfecto es –1, es decir, que el campo eléctrico reflejado invierte la polaridad respecto al campo eléctrico incidente. El campo total en el medio 1 es r

r

r

r

r

r

E1 = Ei + Er = −ax j 2E 0 sen β1z r

r

H1 = Hi + Hr = ay 2

E0 cos β1z Z1

Estos campos muestran que no hay potencia media asociada en el medio 1. El campo en el dominio del tiempo es r

r

r

r

E1 (z ,t ) = ax 2E 0 sen β1z sen ωt H1 (z ,t ) = ay 2

E0 cos β1z cos ωt Z1

de forma que para un valor de ωt fijo, el campo eléctrico tiene un nulo donde el magnético un máximo y viceversa y se producen en

Nulos de E Maximos de H

β1z = −n π , z = −n λ 2

Maximos de E Nulos de H

β1z = − (2n + 1 ) π 2 , z = − (2n + 1 ) λ 4

como se ve en la figura 5.2

(n

= 0,1,2,... )

(n

= 0,1,2,... )

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

6

Conductor perfecto

λ

Conductor perfecto

Figura 5.2.- Campos eléctrico y magnético reflejados por un conductor perfecto

5.3

Incidencia oblicua

Vamos a considerar propagándose por un medio incidencia oblicua. Debido a general, vamos a dividir el

ahora el caso en que una onda plana uniforme choca contra otro (ambos medios sin pérdidas) en la complejidad que entrañaría analizar un caso tan problema en dos situaciones que podríamos llamar

7

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

canónicas. Para ello, lo primero que hay que hacer es definir el plano de incidencia como aquel plano que contienen a la dirección perpendicular a la interfase y a la dirección en la que se propaga la onda incidente. Una vez hecho eso, una onda con un campo eléctrico polarizado según cualquier dirección, podrá siempre descomponerse como un vector perpendicular al plano de incidencia y otro contenido en el plano de incidencia. Al primer caso se le denomina polarización perpendicular y al segundo paralela.

5.3.1 Polarización perpendicular Medio 1 ε1, µ1 θi

r

kr

Medio 2 ε2, µ2

X

r

H ⊥r

r

kt

r

E ⊥t

r

E ⊥r

r

r

n

r

an 2

θr

an 3

r

H ⊥t

θt

ri

θi

Z

Y

k

r

E ⊥i

r

H ⊥i

r

an 1 θi

Figura 5.3.- Esquema de incidencia oblicua con polarización perpendicular El campo eléctrico de la onda incidente correspondiente a la figura 5.3 es r

r

r

E ⊥i = E 0 e

por lo tanto

r r − jki ⋅r

r

⎫ ⎪ r r r r ⎪ ki = kx ax + kz az = an 1 ki ⎬ r r r an 1 = ax sen θi + az cos θi ⎪ ⎪⎭

E 0 = ay E 0

donde

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

r

r

E ⊥i = ay E 0 e

− jki ( xsen θi + z cos θi

)

8

(5.8)

De la misma forma el campo magnético incidente es r

r

r

H ⊥i = ( −ax cos θi + az sen θi

)

E 0 − jki ( xsen θi + z cos θi ) e Z1

(5.9)

Igualmente para el campo reflejado y transmitido

r

r

E ⊥r = ay E ⊥r e

− jkr ( xsen θ r − z cos θ r )

(5.10) r

r

r

H ⊥r = ( ax cos θr + az sen θr )

E ⊥r − jkr ( xsen θ r − z cos θ r ) e Z1

donde E ⊥r = Γb⊥E 0 y, lógicamente, kr=ki. r

r

E ⊥t = ay E ⊥t e

− jkt ( xsen θt + z cos θt

) (5.11)

r

r

r

H ⊥t = ( −ax cos θt + az sen θt

)

E ⊥t − jkt ( xsen θt + z cos θt ) e Z2

donde E ⊥t =T⊥b E 0 .

Para obtener los coeficientes de reflexión Γb⊥ y transmisión T⊥b en z=0

debemos aplicar las condiciones de contorno, que para dos medios dieléctricos son r

r

E ⊥i + E ⊥r

tan z =0

r = E ⊥t

tan z =0

r

r

y H ⊥i + H ⊥r

tan z =0

r = H ⊥t

tan

z =0

(5.12)

lo que da lugar a

e − jki xsen θ + Γb⊥ e − jki xsen θ r =T⊥b e − jkt xsen θt 1

Z1

( − cos θi e

− jki xsen θ

)

+ Γb⊥ cos θr e − jki xsen θ r = −

1

Z2

T⊥b cos θ2 e − jkt xsen θt

ecuaciones que son válidas para todos los valores de x. Por lo tanto, podemos escribir que ki sen θi = ki sen θr = kt sen θt de donde se deduce que

9

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

θi = θr

Electrodinámica

⇒ Ley de Snell de la reflexion

ki sen θi = kt sen θt

⇒ Ley de Snell de la refraccion

y por tanto 1 + Γb⊥ =T⊥b − cos θi

( 1 − Γb⊥ ) = − cosZ2θ2 T⊥b

Z1

de donde despejando se obtiene

E ⊥r Z2 cos θi − Z1 cos θt Γ⊥ = = E 0 Z2 cos θi + Z1 cos θt b

T⊥b =

siendo Z1 =

µ1

(5.13)

2 Z2 cos θi E ⊥t = E 0 Z2 cos θi + Z1 cos θt

µ2 ε1 y Z 2 = ε2 . Para el caso habitual de medios dieléctricos no

magnéticos (µ1=µ2=µ0)

ε2 ε 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1 Γb⊥ = ε ε cos θi + 2 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1 cos θi −

T⊥b =

(5.14)

2 cos θi

cos θi +

ε2 ε 1 − 2 sen 2 θi ε1 ε1

En las figuras 5.4 y 5.5 se muestran los módulos de los coeficientes de reflexión y transmisión para los casos en que εr2/εr1>1 y εr1/εr2>1 respectivamente.

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

Notación: er Æ εr

Notación: er Æ εr

Figura 5.4.- Módulos de Γb⊥ y T⊥b para incidencia perpendicular y εr2/εr1>1.

10

11

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

Notación: er Æ εr

Notación: er Æ εr

Figura 5.5.- Módulos de Γb⊥ y T⊥b para incidencia perpendicular y εr2/εr1εr1 . 9 Si las permitividades de ambos medios son iguales el coeficiente de reflexión es cero. 9 Si εr21. De las expresiones (5.20) y de las figuras anteriores se deduce que 9 Existe un ángulo de incidencia θi=θB , llamado ángulo de Brewster, para el cual el coeficiente de reflexión se anula. 9 A medida que la relación εr2/εr1 aumenta el ángulo de Brewster tiende a 90 grados. 9 Cuando εr2/εr1>1 los coeficientes de reflexión y transmisión son reales y además si θiθB Γb > 0 . Por otro lado T b > 0 .

9

5.4

En el caso en que εr2/εr1θc

k = i sen θi θ >θ = i c k t

µ1ε1 sen θi µ2ε2

>1 θi >θc

⇒ θt = θR + j θ X

es decir, el ángulo de transmisión es un número complejo. Además,

µε

cos θt θ >θ = 1 − sen 2 θt = 1 − 1 1 sen 2 θi = ±j i c µ2ε2 θi >θc θi >θc

µ1ε1 sen 2 θi − 1 µ2ε2 θ

i

>θc

Por lo tanto, cuando θi>θc el ángulo de transmisión θt no es “físicamente realizable” ya que es un ángulo complejo y por tanto no es el ángulo con el que la onda transmitida se refracta. De hecho, lo que sucede, como se puede deducir de las figuras 5.6, es que por encima del ángulo crítico, el módulo del coeficiente de reflexión sigue siendo la unidad, es decir, no hay onda transmitida hacia el medio 2, o dicho con otras palabras, en el medio 2 habrá una onda superficial. Para demostrarlo veamos el campo y las densidades de potencia asociadas a cada onda. El campo eléctrico transmitido es r

r

E ⊥t = ay E ⊥t e

− jkt ( xsen θt + z cos θt

) = ar E Γt e −αe z e − j βe x y 0 ⊥

(5.27)

donde

αe = kt

βe = kt

µ1ε1 sen 2 θi − 1 µ2ε2 θ µ1ε1 sen θi µ2ε2

θi >θc

i

>θc

= ω µ1ε1sen 2 θi − µ2ε2

= ω µ1ε1sen 2 θi − µ2ε2

θi >θc

θi >θc

La expresión (5.27) muestra que la onda transmitida es se propaga paralela a la interfase y sus planos de fase constante son paralelos al eje z como muestra la figura 5.8. Además, los planos de amplitud constante son planos paralelos a la

21

Tema 5: Reflexión y transmisión de ondas planas

Electrodinámica

interfase de forma que la amplitud de la onda decae rápidamente a medida que nos alejamos de la interfase de separación. Este es el caso de una onda de superficie, es decir, se propaga sobre una superficie y su amplitud disminuye rápidamente cuando se aleja de ella. Además, esta onda es también una onda plana no uniforme porque los planos de fase constante y los planos de amplitud constante no coinciden. Por otro lado, la velocidad de fase de esta onda es

v pe =

ω = βe

kt

ω µ1ε1 sen θi µ2ε2

= θi >θc

vp2 µ1ε1 sen θi µ2ε2

< vp2 θi >θc

que es una velocidad de fase menor que la correspondiente a una onda plana uniforme que se propagase por el medio 2. Esta onda se propaga paralelamente a la interfase con planos de fase constante que son paralelos al eje z. Esta onda tiene también planos de amplitud constante paralelos al eje x dados por la expresión para αe. Su valor es tal que la onda decrece muy rápidamente a medida que nos alejamos de la interfase, y prácticamente en unas pocas longitudes de onda la energía es prácticamente nula. La onda es por tanto también una onda superficial. Puesto que su velocidad de fase es menor que la velocidad de la luz en el medio, también se la denomina onda lenta. Normalmente, velocidades de fase mayores que la propia intrínseca de una onda plana ordinaria se pueden conseguir en ondas con ángulos de incidencia reales, como sucede en la velocidad de fase en una dirección que no coincida con la dirección de propagación. Velocidades de fase menores que las intrínsecas pueden conseguirse con ondas planas viajando con ángulos de propagación “ complejos”. Estas ondas son ondas planas no uniformes. Bajo condiciones de ángulo de incidencia igual o mayor al ángulo crítico los coeficientes de reflexión y transmisión se reducen a Γb⊥

T⊥b

⎛X ⎞ = Γb⊥ e − j 2ΨT = e − j 2ΨT ; ΨT = tg −1 ⎜ ⊥ ⎟ θi ≥θc ⎝ R⊥ ⎠

θi ≥θc

X⊥ =

= T⊥b e −ΨT = e − j 2ΨT ; T⊥b =

µ1 ε1

µ1ε1 sen 2θi − 1 µ2ε2

;

R⊥ =

y la densidad de potencia media asociada a la onda es

2 R⊥

R⊥2 + X ⊥2 µ2 cos θi ε2

Electrodinámica

Tema 4: reflexión y transmisión de ondas planas

2

t Sav

r

θi ≥θc

= ax

T⊥b E 0 µ1ε1 senθt 2Z2 µ2ε2

22

2

e −2αe z θi ≥θc

que de nuevo muestra que no hay señal transmitiéndose en la dirección normal a la interfase y, por tanto, toda la potencia debe reflejarse hacia el medio 1. Como resumen podemos indicar que cuando una onda incide (incidencia oblicua) desde un medio más denso en uno menos denso (ε2