Tema 7: Procesos Esto asticos
Descrição do Produto
´ Tema 7: Procesos Estocasticos ´ Teor´ıa de la Comunicacion
Curso 2007-2008
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Definicion
´ Procesos Estocasticos ´ ´ que ´ Un Proceso Estocastico Definicion: X(t) es una funcion ˜ a cada posible resultado de un experimento asocia una senal aleatorio. S∈Ω −→ X(t, S) ∈ R Variable independiente: t ∈ T ∈ R (T espacio de tiempos) ´ Interpretacion ˜ Si se fija el suceso: X(t, S0 ) es una senal Si se fija el tiempo: X(t0 , S) es una variable aleatoria Si se fijan ambos: X(t0 , S0 ) es un no real ´ Si ambos var´ıan: X(t, S) es un proceso estocastico
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
´ Definicion
´ Procesos Estocasticos. Ejemplo ´ Realizaciones de un Proceso Estocastico Realizaciones de un Proceso Estocástico 1
x(t,S )
10 0 −10 0
X: 20 Y: −0.128
X: 5 Y: −2.746
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
25
30
35
40
45
50
25
30
35
40
45
50
25
30
35
40
45
50
t
X: 20 Y: −0.8176
2
x(t,S )
10 X: 5 Y: −3.786
0 −10 0
5
10
15
20
10
15
20
10
15
20
t
3
x(t,S )
10 0 −10 0
X: 5 Y: −3.641
5
X: 20 Y: −6.604
t
4
x(t,S )
10 0 −10 0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
X: 5 Y: 3.67 X: 20 Y: −3.524
5
t
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Clasificacion
´ de Procesos Estocasticos ´ Clasificacion ´ del Espacio de Tiempos T : En funcion ´ T continuo: Proceso Estocastico ´ T discreto: Secuencia Estocastica ´ del espacio de estados S = {X(t, S) ∀t ∈ T En funcion S continuo
S discreto
T continuo Proceso ´ Estocastico Continuo Proceso ´ Estocastico Discreto
∀S ∈ Ω}
T discreto Secuencia ´ Estocastica Continua Secuencia ´ Estocastica Discreta
´ Otra Clasificacion: Deterministas (o predecibles): Los valores futuros se pueden predecir de manera exacta a partir de los valores anteriores Ejemplo: X(t) = A cos(ωt + Θ) con Θ v.a. uniforme en (−π, π)
No Deterministas (impredecibles): No se pueden predecir de manera exacta los valores futuros ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ y Densidad de Probabilidad de Primer Orden Funciones Distribucion
F.D. y fdp de primer orden Fijando t ⇒ X(t1 ) es una v.a. ´ Distribucion ´ de primer orden: Funcion FX (x1 ; t1 ) = P (X(t1 ) ≤ x1 ) ´ Densidad de Probabilidad de primer orden: Funcion fX (x1 ; t1 ) =
δFX (x1 ; t1 ) δx1
Observaciones: Ambas funciones se han de conocer para todo t1 ∈ T ´ En general, el proceso estocastico no queda completamente caracterizado por las funciones de primer orden
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ y Densidad de Probabilidad de Segundo Orden Funciones Distribucion
F.D. y fdp de segundo orden Considerando dos instantes t1 , t2 ⇒ v.a. bidimensional (X(t1 ), X(t2 )) ´ Distribucion ´ de segundo orden: Funcion FX (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = P (X(t1 ) ≤ x1 , X(t2 ) ≤ x2 ) ´ Densidad de Probabilidad de segundo orden: Funcion fX (x1 , x2 ; t1 , t2 ) =
δ 2 FX (x1 , x2 ; t1 , t2 ) δx1 δx2
Observaciones: Ambas funciones se han de conocer para todo par (t1 , t2 ) ´ En general, el proceso estocastico no queda completamente caracterizado por las funciones de segundo orden ´ de las marginales (funciones de primer orden): Obtencion FX (x1 ; t1 ) = FX (x1 , x2 = ∞; t1 , t2 ) Z ∞ fX (x1 ; t1 ) = fX (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx2 −∞ ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ y Densidad de Probabilidad de Orden n Funciones Distribucion
F.D. y fdp de orden n Considerando n instantes t1 , t2 , . . . , tn ´ Conjunta de n variables aleatorias Caracterizacion ´ Distribucion ´ de orden n: Funcion FX (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) = P (X(t1 ) ≤ x1 , . . . , X(tn ) ≤ xn )
´ Densidad de Probabilidad de orden n: Funcion fX (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) =
δ n FX (x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . . , tn ) δx1 δx2 . . . δxn
Observaciones: ´ Un proceso estocastico queda completamente caracterizadoa si conocemos su fdp (o F.D.) de orden n ∀n ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ R ∀t1 , t2 , . . . , tn ∈ T a En
´ la practica, suele bastar con conocer la fdp o F.D. de segundo orden.
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de un Proceso Estocastico
´ Media de un Proceso Estocastico ´ Definicion:
Z
∞
ηX (t) = E[X(t)] =
xfX (x; t)dx −∞
En general, ηX (t) depende del tiempo Se requiere la fdp de primer orden
´ de un Proceso Estocastico ´ Autocorrelacion ´ Definicion: Z
∞
Z
∞
RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] =
x1 x2 fX (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 dx2 −∞
−∞
´ depende de t1 y t2 En general, la autocorrelacion
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de un Proceso Estocastico
´ Autocovarianza de un Proceso Estocastico ´ Definicion: CX (t1 , t2 ) = E [(X(t1 ) − ηX (t1 )) (X(t2 ) − ηX (t2 ))] = = E[X(t1 )X(t2 )] − ηX (t1 )ηX (t2 ) = RX (t1 , t2 ) − ηX (t1 )ηX (t2 )
´ ´ Valor Cuadratico Medio (Potencia) de un Proceso Estocastico Es el momento no centrado de orden 2 de la v.a. X(t): m2 (t) = E X 2 (t) = RX (t, t)
´ Varianza de un Proceso Estocastico Es el momento centrado de orden 2 de la v.a. X(t): 2 2 µ2 (t) = σX (t) = Var [X(t)] = E X 2 (t) − ηX (t) = CX (t, t)
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de un Proceso Estocastico
´ Coeficiente de Autocorrelacion ´ analoga ´ Definicion al caso de 2 variables aleatorias: CX (t1 , t2 ) CX (t1 , t2 ) rX (t1 , t2 ) = p = p Var [X(t1 )] Var [X(t2 )] CX (t1 , t1 )CX (t2 , t2 ) −1 ≤ rX (t1 , t2 ) ≤ 1 ´ lineal entre X(t1 ) y X(t2 ) rX (t1 , t2 ) indica el grado de relacion
Ejemplo X(t) = at + Y con Y v.a. uniforme en (0, 1), a = cte. Media: ηX (t) = at + 1/2 ´ RX (t1 , t2 ) = a2 t1 t2 + 21 a(t1 + t2 ) + 13 Autocorrelacion: 1 Autocovarianza: CX (t1 , t2 ) = 12 2 1 Varianza: σX (t) = Var [X(t)] = (t, t) = 12 2 CX ´ Valor Cuadratico Medio: E X (t) = RX (t, t) = a2 t2 + at + ´ rX (t1 , t2 ) = 1 Coeficiente de Autocorrelacion: ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
1 3
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de un Proceso Estocastico
Ruido Blanco ´ Un Proceso Estocastico es Ruido Blanco sii: CX (t1 , t2 ) = 0
⇔
RX (t1 , t2 ) = ηX (t1 )ηX (t2 )
∀t1 6= t2
´ incorreladas Las variables aleatorias X(t1 ), X(t2 ) estan No se puede estimar linealmente X(t2 ) a partir de X(t1 ) (∀t1 6= t2 ) ´ ´ Realizaciones de Ruido Blanco: Caracter Erratico
Ruido Blanco Estricto ´ Un Proceso Estocastico es Ruido Blanco Estricto sii: fX (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = fX (x1 ; t1 )fX (x2 ; t2 )
∀t1 6= t2
Las variables aleatorias X(t1 ), X(t2 ) son independientes ´ (ni lineal ni no lineal) entre X(t1 ) y X(t2 ) No hay ninguna relacion
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de un Proceso Estocastico
´ de Procesos Estocasticos ´ Caracterizacion Discretos en el tiempo ´ Secuencias Estocasticas: Espacio de tiempos T = {. . . , t−1 , t0 , t1 , . . .} X[n] = X(tn )
n∈Z
´ ´ Definiciones Analogas a las de Procesos Estocasticos Continuos ´ Distribucion: ´ FX [x; n] = P (X[n] ≤ x) Funcion fdp: δFX [x; n] fX [x; n] = δx Media: ηX [n] = E [X[n]] ´ RX [n1 , n2 ] = E [X[n1 ]X[n2 ]] Autocorrelacion: Autocovarianza: CX [n1 , n2 ] = RX [n1 , n2 ] − ηX[n1 ]ηX[n2 ] ´ Valor Cuadratico Medio (Potencia): m2 [n] = E X 2 [n] Varianza: 2 2 σX [n] = Var [X[n]] = E (X[n] − ηX [n])2 = E X 2 [n] − ηX [n] ´ rX [n1 , n2 ] = √ Coeficiente de Autocorrelacion:
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
CX [n1 ,n2 ] CX [n1 ,n1 ]CX [n2 ,n2 ]
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Estad´ısticos de dos Procesos Estocasticos
´ de dos Procesos Estocasticos ´ Caracterizacion ´ Procesos Estocasticos X(t), Y (t) ´ Distribucion ´ Conjunta: Funcion FXY (x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yM ; t1 , . . . , tN , t01 , . . . , t0M ) fdp Conjunta: fXY (x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yM ; t1 , . . . , tN , t01 , . . . , t0M )
´ Estad´ısticos de dos Procesos Estocasticos ´ Cruzada: Correlacion
RXY (t1 , t2 ) = E [X(t1 )Y (t2 )]
Covarianza Cruzada: CXY (t1 , t2 ) = E [(X(t1 ) − ηX (t1 )) (Y (t2 ) − ηY (t2 ))] Propiedades: RX (t1 , t2 ) = RX (t2 , t1 )
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
CX (t1 , t2 ) = CX (t2 , t1 )
RXY (t1 , t2 ) = RY X (t2 , t1 )
CXY (t1 , t2 ) = CY X (t2 , t1 )
RXY (t1 , t2 ) 6= RXY (t2 , t1 )
CXY (t1 , t2 ) 6= CXY (t2 , t1 ) ´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
´ Proceso Estocastico Estacionario de Orden 1 ´ ´ Se dice que un proceso estocastico Definicion: es estacionario de orden uno sii: fX (x; t) = fX (x; t + ∆) ∀t, ∀∆ es decir, la fdp (y F.D.) de orden 1 no dependen de t, lo que implica: ηX (t) = ηX = cte.
2 2 σX (t) = σX = cte.
´ Proceso Estocastico Estacionario de Orden 2 ´ ´ Se dice que un proceso estocastico Definicion: es estacionario de orden dos sii: fX (x1 , x2 ; t1 , t2 ) = fX (x1 , x2 ; t1 + ∆, t2 + ∆)
∀t1 , t2 , ∀∆
Implicaciones: La fdp (y F.D.) de orden dos no depende de los tiempos absolutos t1 , t2 sino solamente de la diferencia τ = t1 − t2 ´ lo es de orden 1 Un P.E. estacionario de orden 2 tambien RX (t1 , t2 ) = RX (t1 − t2 ) = RX (τ ) ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
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Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
´ Proceso Estocastico Estacionario en Sentido Estricto ´ ´ Un proceso estocastico Definicion: es estacionario en sentido estricto sii es estacionario de orden n ∀n
´ Proceso Estocastico Estacionario en Sentido Amplio ´ Un P.E. es estacionario en sentido amplioa sii: Definicion: ηX (t) = E[X(t)] = ηX = cte. RX (t1 , t2 ) = RX (t1 − t2 ) = RX (τ ) = E [X(t + τ )X(t)] En el caso discreto: ηX [n] = E[X[n]] = ηX = cte. RX [n1 , n2 ] = RX [n1 − n2 ] = RX [m] = E [X[n + m]X[n]] ´ Observacion: Estacionario de orden 2 a WSS:
⇒ :
Estacionario en Sentido Amplio
Wide Sense Stationary
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
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Estacionariedad
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Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
Ejemplo 1 Tono de fase aleatoria: X(t) = A cos(ωt + Θ) fX (x; t) = fX (x) =
1 π A2 − x2 √
|x| ≤ A
Θ uniforme en (−π, π) ⇒
Estacionario orden 1
Media: Z
π
cos(ωt + θ)
ηX (t) = E [A cos(ωt + Θ)] = A −π
1 dθ = 0 = cte. 2π
´ Autocorrelacion: RX (t1 , t2 ) = E [X(t1 )X(t2 )] = E A2 cos(ωt1 + Θ) cos(ωt2 + Θ) = A2 = E [cos(ω(t1 + t2 ) + 2Θ)] +E [cos(ω(t1 − t2 ))] = 2 {z } | 0
A2 = cos(ω(t1 − t2 )) 2
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
⇒
RX (τ ) =
A2 cos(ωτ ) 2
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
´ Ejemplo 1. Continuacion X(t) = A cos(ωt + Θ) es estacionario en sentido amplio ´ Realizaciones del Proceso Estocastico Proceso Estocástico Estacionario 1 0.8 0.6
Realizaciones de X(t)
0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
Ejemplo 2 X(t) = A cos(ωt + θ) con A v.a. uniforme en (−a, a) X(t) es una v.a uniforme en [−a cos(ωt + θ), a cos(ωt + θ)] ⇒
Dependencia con t
´ Proceso Estocastico No Estacionario Proceso Estocástico No Estacionario
1 0.8 0.6
Realizaciones de X(t)
0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Estacionariedad
Procesos Conjuntamente Estacionarios ´ ´ Los procesos estocasticos Definicion: X(t), Y (t) son conjuntamente estacionarios en sentido amplio sii: X(t), Y (t) son estacionarios en sentido amplio por separado RXY (t + τ, t) = E [X(t + τ )Y (t)] = RXY (τ )
Algunas Propiedades de los Procesos Estacionarios Propiedades de RX (τ ) RX (τ ) = RX (−τ ) |RX (τ )| ≤ RX (0)
∀τ ∀τ
Propiedades de RXY (τ ) RXY (τ ) = Rp ∀τ Y X (−τ ) |RXY (τ )| ≤ RX (0)RY (0) Para Z(t) = X(t) + Y (t)
∀τ
RZ (τ ) = E [Z(t + τ )Z(t)] = E [(X(t + τ ) + Y (t + τ )) (X(t) + Y (t))] RZ (τ ) = RX (τ ) + RY (τ ) + RXY (τ ) + RY X (τ )
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Relaciones Entre Procesos Estocasticos
´ Procesos Estocasticos Independientes ´ ´ Dos procesos estocasticos Definicion: son independientes sii: fXY (x1 , . . . , xN , y1 , . . . , yM ; t1 , . . . , tN , t01 , . . . , t0M ) = = fX (x1 , . . . , xN ; t1 , . . . , tN )fY (y1 , . . . , yM ; t01 , . . . , t0M )
∀N, M
´ Procesos Estocasticos Incorrelados ´ ´ Dos procesos estocasticos Definicion: son incorrelados sii: CXY (t + τ, t) = 0
∀t, τ
´ de Y (t) X(t) no se puede estimar de manera lineal a partir de la observacion
´ Procesos Estocasticos Ortogonales ´ ´ Dos procesos estocasticos Definicion: son ortogonales sii: RXY (t + τ, t) = 0
∀t, τ
Ejemplo (ruido en RX): Z(t) = X(t) + Y (z) con X(t), Y (t) ortogonales RZ (t + τ, t) = RX (t + τ, t) + RY (t + τ, t) ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Ergodicidad
´ ´ Procesos Estocasticos Ergodicos ´ de un proceso estocastico ´ Pregunta: Dada una realizacion ... ¿Podemos caracterizarlo estad´ısticamente? ´ ´ ´ Un proceso estocastico Intuicion: es ergodico si se puede caracterizar ´ estad´ısticamente a partir de una realizacion
´ Temporal Promedio Temporal y Autocorrelacion ´ X(t, S0 ) de un P.E. se define Dada una realizacion Promedio Temporal: Z T 1 MX (S0 ) = l´ım X(t, S0 )dt T →∞ 2T −T ´ Temporal: Autocorrelacion AX (τ, S0 ) = l´ım
T →∞
1 2T
Z
T
X(t + τ, S0 )X(t, S0 )dt −T
´ En general, MX (S) es una v.a. y AX (τ, S) es un proceso estocastico ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Ergodicidad
Ergodicidad Respecto a la Media ´ ´ Un P.E. X(t) es ergodico Definicion: respecto a la media sii: X(t) es estacionario en sentido amplio El promedio temporal es igual a la media ∀S
MX (S) = ηX
´ Condiciones para que X(t) (WSS) sea ergodico respecto a la media ´ Necesaria y Suficiente Teorema 1: Condicion l´ım
T →∞
1 2T
Z
2T
1−
−2T
|τ | 2T
CX (τ )dτ = 0
´ Suficiente Teorema 2: Condicion Z
∞
|CX (τ )|dτ < ∞ −∞
´ Suficiente Teorema 3: Condicion CX (0) < ∞
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
l´ım CX (τ ) = 0
|τ |→∞
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Ergodicidad
Ejemplo 1 X(t) = A con A variable aleatoria uniforme en (0, 1) Promedio estad´ıstico (“vertical”): ηX = E[X(t)] = E[A] = 1/2 RT 1 Adt = A Promedio temporal (“horizontal”): MX = l´ımT →∞ 2T −T ηX 6= MX
⇒
´ no es ergodico respecto a la media
Ejemplo 2 Lanzamiento de una moneda y dos formas de onda X(t, “cara00 ) = cos(ωt) ηX (t)
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
⇒
No es WSS
⇒
X(t, “cruz 00 ) = e−ct
´ No es ergodico respecto a la media
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Ergodicidad
Ejemplo 3 Θ uniforme en (−π, π)
X(t) = A cos(ωt + Θ)
X(t) es estacionario en sentido amplio: ηX = 0
RX (τ ) =
A2 cos(ωτ ) 2
Promedio Temporal: Z T A 1 MX = l´ım A cos(ωt + Θ)dt = l´ım sin(ωt + Θ)|T−T = T →∞ T →∞ 2T 2T ω −T A = l´ım (sin(ωT + Θ) − sin(−ωT + Θ)) = T →∞ 2T ω A = l´ım sin(ωT ) cos(Θ) = 0 = ηX T →∞ T ω WSS y ηX = MX
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
⇒
´ Ergodico respecto a la media
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Ergodicidad
´ Ergodicidad Respecto a la Autocorrelacion ´ ´ sii: ´ Un P.E. X(t) es ergodico Definicion: respecto a la autocorrelacion X(t) es estacionario en sentido amplio ´ Temporal es igual a la Autocorrelacion ´ La Autocorrelacion AX (τ, S) = RX (τ )
∀τ, S
Ejemplo X(t) = A cos(ωt + Θ)
Θ uniforme en (−π, π)
ηX = 0
RX (τ ) =
A2 cos(ωτ ) 2
´ Temporal: Autocorrelacion Z T 1 AX (τ ) = l´ım A cos(ω(t + τ ) + Θ)A cos(ωt + Θ)dt = T →∞ 2T −T = ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
A2 cos(ωτ ) = RX (τ ) 2
⇒
´ ´ Ergodico resp. Autocorrelacion ´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
´ Espectral de Procesos Estocasticos ´ Caracterizacion WSS ´ frecuencial de un proceso estocastico ´ Objetivo: Caracterizacion WSS Herramienta: Transformada de Fourier Z ∞ Z ∞ 1 X(ω) = x(t)e−jωt dt x(t) = X(ω)ejωt dω 2π −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ X(f ) = x(t)e−j2πf t dt x(t) = X(f )ej2πf t df −∞
−∞
´ Primera Aproximacion ´ de la T.F. de cada Realizacion ´ x(t) = X(t, S) Obtencion Problemas: En general, x(t) puede no tener Transformada de Fourier Z ∞ Cond. suficiente para ∃T.F. |x(t)|dt < ∞ −∞
´ Buscamos el espectro del P.E., no de una realizacion
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
´ Segunda Aproximacion ´ de una ventana temporal Consideracion XT (t, S) =
X(t, S) 0
−T < t < T resto
Z
∞
XT (ω, S) =
XT (t, S)e−jωt dt
−∞
Ventajas: Energ´ıa finita ⇒ Existe Transformada de Fourier. Ta de Parseval: Z T Z ∞ 1 ET (S) = (XT (t, S))2 dt = |XT (ω, S)|2 dω 2π −∞ −T
Inconvenientes: Seguimos considerando realizaciones ´ consideramos un intervalo temporal (T → ∞ ⇒ ET (S) → ∞) Solo Z T Z ∞ |XT (ω, S)|2 1 1 PT (S) = (XT (t, S))2 dt = dω 2T −T 2π −∞ 2T
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
´ Densidad Espectral de Potencia Solucion: Consideramos la Potencia PX = l´ım E[PT (S)] = l´ım T →∞
T →∞
1 = 2π
Z
1 2T
Z
T
−T
E[XT2 (t, S)]dt = RX (0) = i h E |XT (ω, S)|2
∞
l´ım
−∞ T →∞
2T
dω
Densidad Espectral de Potencia (DEP) E |XT (ω, S)|2 SX (ω) = l´ım T →∞ 2T ´ la DEP y la Funcion ´ de Autocorrelacion ´ satisfacen la relacion: ´ Ademas, Z ∞ RX (τ )e−jωτ dτ SX (ω) = TF [RX (τ )] = −∞ Z ∞ 1 RX (τ ) = TIF [SX (ω)] = SX (ω)ejωτ dω 2π −∞ ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia de P.E. Discretos en el tiempo ´ analoga ´ Definicion SX (Ω) = TF [RX [m]] =
∞ X
RX [m]e−jΩm
m=−∞
RX [m] = TIF [SX (Ω)] =
1 2π
Z
SX (Ω)ejΩm dΩ 2π
´ En este caso, la DEP es periodica de periodo 2π Z 1 PX = RX [0] = SX (ω)dω 2π 2π
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 1: ´ de Autocorrelacion ´ de un Proceso Estocastico ´ DEP y Funcion
1
X
S (f)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
20
40
60
80
0.1
0.2
0.3
0.4
100
120
140
160
180
200
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia (Hz)
10
X
R (τ)
5
0
−5 0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
τ (s)
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 1: ´ Realizaciones del Proceso Estocastico 10
10
0
0
−10 0
0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
10
0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
0.8
1
−5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
0 0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
10
−10 0
t (s)
10
0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
0.6
t (s)
10
0
−10 0
0.4
0
20
−20 0
0.2
5
0 −10 0
−10 0
0 0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
−10 0
t (s)
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 2: ´ de Autocorrelacion ´ de un Proceso Estocastico ´ DEP y Funcion
1
X
S (f)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
20
40
60
80
0.1
0.2
0.3
0.4
100
120
140
160
180
200
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia (Hz)
60
RX(τ)
40 20 0 −20 0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
τ (s)
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 2: ´ Realizaciones del Proceso Estocastico 50
20
0
0
−50 0
0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
50
0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
0.8
1
−20 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
0 0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
50
−50 0
t (s)
50
0
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
0.6
t (s)
50
0
−50 0
0.4
0
50
−50 0
0.2
20
0 −50 0
−20 0
0 0.2
0.4
0.6
t (s)
0.8
1
−50 0
t (s)
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Propiedades: ´ real SX (ω) es una funcion La DEP es no negativa: SX (ω) ≥ 0 Para P.E. reales, la DEP es par: SX (−ω) = SX (ω) SX (ω) = TF [RX (τ )] Analog´ıa con una fdp: La DEP indica como se distribuye la potencia de un P.E. con la frecuencia
Ejemplo 1 X(t) = A cos(ω0 t + Θ), con Θ uniforme en (−π, π) ´ de Autocorrelacion: ´ RX (τ ) = Funcion Densidad Espectral de Potencia: SX (ω) = TF [RX (τ )] = Potencia: PX = RX (0) = ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
1 2π
A2 2
cos(ω0 τ )
A2 π [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] 2
R∞ −∞
SX (ω)dω =
A2 2
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Ejemplo 2 Ruido Blanco con media cero: Densidad Espectral de Potencia: SX (ω) =
N0 Watt/Hz 2
´ RX (τ ) = CX (τ ) = TIF [SX (ω)] = N20 δ(τ ) Autocorrelacion: Potencia en una Ancho de Banda BW (en Hercios): PBW = BW N0 = σ 2 Caso discreto: Ruido Blanco de media cero y varianza σ 2 ´ Autocorrelacion: 0 m 6= 0 RX [m] = CX [m] = σ2 m = 0 Densidad Espectral de Potencia: SX (Ω) = TF [RX [m]] = σ 2
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
∀Ω
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Densidad Espectral de Potencia
Densidad Espectral de Potencia Cruzada ´ ´ Sean X(t), Y (t) dos procesos estocasticos Definicion: conjuntamente estacionarios, se define la DEP cruzada como Z ∞ SXY (ω) = TF [RXY (τ )] = RXY (τ )e−jωτ dτ −∞ Z ∞ 1 RXY (τ ) = TIF [SXY (ω)] = SXY (ω)ejωτ dω 2π −∞ En el caso discreto: SXY (Ω) = TF [RXY [m]] =
∞ X
RXY [m]e−jΩm
m=−∞
RXY [m] = TIF [SXY (Ω)] =
1 2π
Z
SXY (Ω)ejΩm dΩ
2π
Particularidades: SXY (ω) puede ser compleja y puede no ser par SXY (ω) = SY X (−ω) ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Contenido 1
´ Definicion
2
´ Estad´ıstica Caracterizacion
3
Estad´ısticos
4
Estacionariedad
5
Ergodicidad
6
Densidad Espectral de Potencia
7
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
´ de Senales ˜ Transformacion Aleatorias
Sistemas con Entradas Aleatorias ´ Planteamiento General: Supongamos que un proceso estocastico X(t) es la entrada a un determinado sistema T [·]. Nuestro objetivo ´ consiste en caracterizar el proceso estocastico de salida Y (t)
X(t)
T [·]
Y (t)
En general, Y (t) se podr´ıa caracterizar a partir de la estad´ıstica de X(t) y del conocimiento del sistema T [·] (determinista) Para simplificar el problema, aqu´ı nos centraremos en dos tipos particulares de sistemas: ´ de Procesos Estocasticos) ´ Sistemas sin Memoria (Transformacion ´ Sistemas LTI (Filtrado de Procesos Estocasticos)
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas sin Memoria
Sistemas sin Memoria Sistemas del tipo Y (t) = g (X(t)) ´ depende de la entrada en el instante t La salida en el instante t solo ´ de una variable aleatoria Equivale a una funcion ´ de la fdp de primer orden: Obtencion ´ g(·) ⇒ Teorema Fundamental A partir de fX (x; t) y de la funcion ´ de la media: Obtencion Z ∞ ηY (t) = E[Y (t)] = E[g(X(t))] = g(x)fX (x; t)dx −∞
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas sin Memoria
´ Sistemas sin Memoria (Continuacion) ´ de la fdp de segundo orden: Obtencion Y (t1 ) Y (t2 )
= g(X(t1 )) = g(X(t2 ))
Funciones de 2 variables aleatorias
Teorema Fundamental: fY (y1 , y2 ; t1 , t2 ) =
X fX (x1i , x2i ; t1 , t2 ) X fX (x1i , x2i ; t1 , t2 ) = |J(x1i , x2i )| |g 0 (x1i )g 0 (x2i )| i i
´ de la Funcion ´ de Autocorrelacion ´ Obtencion Z
∞
Z
∞
RY (t1 , t2 ) = E [Y (t1 )Y (t2 )] =
g(x1 )g(x2 )fX (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 dx2 −∞
−∞
Observaciones sobre la Estacionariedad X(t) est. sentido estricto X(t) est. de (hasta) orden n X(t) WSS ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
⇒ ⇒ ;
Y (t) est. sentido estricto Y (t) est. de (hasta) orden n Y (t) WSS ´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas sin Memoria
Ejemplo ´ Detector Cuadratico: Y (t) = X 2 (t) fdp de primer orden: Ra´ıces: √ √ y = g(x) = x2 ⇒ x1 = y, x2 = − y 0 Derivada: g (x) = 2x √ √ f (− y;t) f ( y;t) fdp: fY (y; t) = X2√y + X 2√y
(y ≥ 0)
fdp de orden 2: Y (t1 ) = X 2 (t1 ) Y (t2 ) = X 2 (t2 ) Ra´ıces (y1 ≥ 0,y2 ≥ 0): y1 = x21 x1 ⇒ 2 x2 y2 = x2
√ = ± y1 √ = ± y2
Jacobiano: J(x1 , x2 ) = 4x1 x2 P fdp: fY (y1 , y2 ; t1 , t2 ) = 4i=1
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
4 parejas de soluciones !!
√ √ fX (± y1 ,± y2 ;t1 ,t2 ) √ 4 y1 y2
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
X(t)
L[·]
Y (t)
Utilizaremos L[X(t)] (en lugar de T [X(t)]) para distinguir que se trata de un operador lineal Caracter´ısticas: Permiten un estudio general Se pueden caracterizar en el dominio de la frecuencia ´ Aparecen con frecuencia en aplicaciones practicas
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Repaso: hP i P N N Linealidad: L i=1 ai xi (t) = i=1 ai L [xi (t)] Invarianza temporal: y(t) = L[x(t)]
⇒
y(t + c) = L[x(t + c)]
∀c
´ h(t) = L[δ(t)] Respuesta al impulso y convolucion: Z ∞ x(t − α)h(α)dα y(t) = L[x(t)] = x(t) ∗ h(t) = −∞
´ Frecuencial: L ejω0 t = H(ω0 )ejω0 t Caracterizacion Z ∞ H(ω) = TF [h(t)] = h(t)e−jωt dt −∞
Causalidad: x(t) = 0 Estabilidad:
∀t < t0
|x(t)| < M
∀t Z
⇒ ⇒
y(t) = 0 ∃K
∀t < t0
|y(t)| < K
∀t
∞
|h(t)|dt < ∞ −∞ ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
´ Estad´ıstica de Sistemas LTI Caracterizacion Teorema: Los operadores E[·] y L[·] son intercambiables E [L [x(t)]] = L [E [x(t)]] ´ es directa a partir de la linealidad de E[·] y L[·] La demostracion
´ Media del Proceso Estocastico de Salida ´ de la media Obtencion ηY (t) = E [Y (t)] = E [L[X(t)]] = L [E[X(t)]] = L[ηX (t)] Z ∞ ηY (t) = ηX (t − α)h(α)dα = ηX (t) ∗ h(t) −∞
Caso particular: X(t) est. en sentido amplio (ηX (t) = ηX ) Z ∞ Z ∞ ηY (t) = ηX h(α)dα = ηX h(α)dα ⇒ ηY = ηX H(0) −∞
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
−∞
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
´ del Proceso Estocastico ´ Autocorrelacion de Salida Asumiendo que X(t) es estacionario en sentido amplio RY (τ ) = E [Y (t + τ )Y (t)] = RX (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ) RX (τ )
h(−τ )
RXY (τ )
h(τ )
RY (τ )
´ Cruzada Entrada-Salida Correlacion RXY (τ ) = RX (τ ) ∗ h(−τ )
RY X (τ ) = RX (τ ) ∗ h(τ )
Densidad Espectral de Potencia ´ SY (ω) = TF [RY (τ )] A partir de la definicion: Y teniendo en cuenta: TF [h(τ )] = H(ω), TF [h(−τ )] = H(−ω) ´ para h(τ ) real: H(−ω) = H ∗ (ω) Ademas, Obtenemos: SY (ω) = SX (ω)H ∗ (ω)H(ω) = SX (ω) |H(ω)|2 ´ Tema 7: Procesos Estocasticos
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
Ejemplo Filtrado de Ruido Blanco con Media Cero: ´ de la Entrada: RX (τ ) = Autocorrelacion DEP de la entrada: SX (ω) = N20 Sistema LTI: h(t) → H(ω) ´ de la salida: Autocorrelacion RY (τ ) =
N0 N0 δ(τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ) = (h(τ ) ∗ h(−τ )) 2 2
DEP de la salida: SY (ω) =
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
N0 δ(τ ) 2
N0 |H(ω)|2 2
´ Teor´ıa de la Comunicacion
´ Definicion
´ Caracterizacion
Estad´ısticos
Estacionariedad
Ergodicidad
Densidad Espectral de Potencia
´ Filtrado de Procesos Estocasticos
Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo
Ejemplo ´ Promediador de Media Movil: Respuesta del Sistema: Y (t) =
1 2T
Z
T
X(t)dt −T
´ de trasferencia: Funcion H(ω) =
sin(ωT ) ωT
DEP de la salida: SY (ω) = SX (ω)
´ Tema 7: Procesos Estocasticos
sin2 (ωT ) (ωT )2
´ Teor´ıa de la Comunicacion
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