Tema

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II (Grado ADE,MIM,FBS)

TEMA 4: CONTRASTES DE HIPÓTESIS. CONCEPTOS BÁSICOS 4.1. Hipótesis estadística. Tipos de hipótesis 4.2. Región crítica y región de aceptación 4.3. Errores tipo I y tipo II. Función de potencia 4.4. Concepto de p-valor: cálculo e interpretación 4.5. Etapas en la realización de un contraste

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OBJETIVOS:

Al finalizar este tema, el alumno será capaz de:
formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
identificar hipótesis simples e hipótesis compuestas
obtener el valor crítico de un contraste para un nivel de significación dado
calcular e interpretar el p-valor

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4.1. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA. TIPOS DE HIPÓTESIS


Hipótesis estadística: afirmación sobre la distribución que genera los datos o sobre alguna característica concreta de dicha distribución.




En inferencia paramétrica: Modelo paramétrico: X→ F(x;θ) ⇒ las hipótesis son afirmaciones sobre un(os) parámetro(s) desconocido(s), θ, del modelo Ejemplo 1: el partido A no obtendrá mayoría absoluta en las elecciones del 20N 1

X= 

0

si gana A p → b(p) ⇒ hipótesis: p≤0.5 si no gana A 1 − p

Ejemplo 2: una moneda es perfecta 1

X= 

0

si sale cara p → b(p) ⇒ hipótesis: p=0.5 si sale cruz 1 − p

Ejemplo 3: hay discriminación salarial entre hombres y mujeres X1=log(salario hombres) → N(µ1,σ1) X2=log(salario mujeres) → N(µ2,σ2)

hipótesis: µ1 ≠µ2 3




En inferencia no paramétrica (Tema 6): no se supone a priori un modelo paramétrico, sino que se contrastan hipótesis más generales. Ejemplo 3: hay discriminación salarial entre hombres y mujeres X1=salario hombres → F1(x) X2=salario mujeres → F2(x)




Hipótesis: F1≠F2

Hipótesis simple: asigna valores puntuales concretos a todos los parámetros del modelo ⇒ la distribución queda totalmente especificada Ejemplo 2:




X→b(p) ⇒ hipótesis: p=0.5

Hipótesis compuesta: asigna un rango de valores a los parámetros Ejemplo 1:

X→b(p) ⇒ hipótesis: p≤0.5

Ejemplo 3:

X1=log(salario hombres) → N(µ1,σ1) X2=log(salario mujeres) → N(µ2,σ2)

Ejemplo 4:

hipótesis: µ1 ≠µ2

X→N(µ,σ) ⇒ hipótesis: µ=2 (realmente es: µ=2, σ>0 ¡compuesta!) 4




Hipótesis nula H0: hipótesis que se somete a prueba y se matendrá como cierta a menos que los datos muestren suficiente evidencia en su contra. (En general, H0 corresponde al modelo más sencillo: incluye el =)




Hipótesis alternativa H1: posibles alternativas a la hipótesis nula Ejemplo 2:

H0: p=0.5 H1: p>0.5

H0: p=0.5 H1: p0.5 H0: p=0.5 H1: p>0.5

Estadístico de contraste: pˆ = X

0.75 Rechazo si X ≥0.75 6




Región crítica=C={valores muestrales que conllevan rechazar H0} ⇒ Valor crítico= valor a partir del cual se rechaza H0 Ejemplo 4: (continuación) Rechazo H0 si la proporción de caras en la muestra es mayor que 0.75, ¿por qué? Porque observar una proporción de caras superior al 75% sería harto improbable si H0 fuera cierta (moneda perfecta) ⇒ los datos no sustentan H0, por eso rechazo H0




Región aceptación=A=
̅ ={valores muestrales que conllevan no rechazar H0} Ejemplo 4: (continuación) Muestra concreta: n=30, x =0.3 < 0.75 ⇒ No rechazo H0


OBSERVACIÓN:  No rechazar H0 no implica que H0 sea cierta, sino que no hay evidencia

suficiente en los datos muestrales para rechazarla.  Rechazar H0 no significa que H0 sea falsa, sino que resulta muy difícil

creer que se haya podido observar algo tan improbable bajo H0. 7

4.3. ERRORES TIPO I Y TIPO II. FUNCIÓN DE POTENCIA ¿Qué consecuencias puede conllevar la regla de decisión establecida? ¿Cuál es el “coste” de equivocarse tomando una decisión errónea? Estado de la naturaleza Decisión

H0 es cierta

H0 es falsa

“Aceptar” H0 Rechazar H0

correcto

Error tipo II correcto

Error tipo I




α(θ) = p(Error tipo I) = p(rechazar H0/H0 cierta) =  (
)




β(θ) = p(Error tipo II) = p(“Aceptar” H0/H0 falsa) =  (
̅ )

(ERROR I) 
Función de potencia=p(Rechazar H0)=pθ(C)= 1 − (ERROR II) 

 ∈   ∈  8

Objetivo minimizar p(Error tipo I)

minimizar p(Error tipo II)

Para una muestra de tamaño n dada, ¡ IMPOSIBLE !

Metodología “clásica” de Neyman-Pearson: 

Fijar el tamaño máximo tolerable de la p(Error tipo I), que llamaremos nivel de significación α. Valores habituales: α={0.01, 0.05, 0.1}



Elegir, entre todos las regiones críticas de nivel α, la que minimice la p(Error tipo II): Test uniformemente más potente 9

Ejemplo 6: (X1,...,X16) m.a.s. de una distribución N(µ,5) H0 : µ=10 H1 : µ=15
Estadístico de contraste µˆ = X
Región crítica en la dirección de la alternativa ⇒ C={X ≥ λα }
Valor crítico: ¿Determinar λα para un nivel de significación dado? Tomemos α=0.1 0.1 = pH (C) = pµ=10(X ≥ λα )= 0

=

 X − 10 λ α − 10 ≥ p µ = 1 0  5/ 16 5/ 16 

 X − 10    = pµ =10  ≥ z α    1.25  

Bajo H0 :µ=10 ⇒ X → N(10, 5/ 16 ) ⇒ 0.1

⇒ Tablas: zα=1.28

X −10 H0 →  N(0,1) 1.25

X − 10 Rechazar H0 cuando: 1.25 ≥1.28 ⇔ X ≥ 11.6

0.90 zα

Región crítica 10


β=p(Error tipo II) H0

 X − 15 11,6 − 15  p = pH1 (C) = pµ =15 ( X ≤ 11,6) = µ =15  1.25 ≤ 1.25  =Φ(-2.72)=0.0033  

H1

β=0.0033

α=0.1

µ=10 µ=15 λα=11,6

R. Aceptación


Región crítica

Si α=p(Error tipo I) disminuye ⇒ aumenta β=p(Error tipo II) H0

H1

β=0.0465

α=0.01

µ=10

λα=12,9

R. Aceptación

µ=15

Región crítica 11


La única forma de reducir ambos errores simultáneamente es aumentar n

Si n=100 ⇒Bajo H0: X → N(10,5/ 100 ); Bajo H1: X → N(15,5/ 100 ) ⇒ ↓α ↓β H0

H1

β

α

11.6

R. Aceptación

Región crítica


Alejar H1 de H0 ⇒ β↓ ⇒ aumenta la potencia: es más fácil discernir entre dos

hipótesis “alejadas” que entre dos hipótesis “cercanas” H0

H1

β=0

α=0.1

µ=10 λα=11,6

µ=20 12

4.4. CONCEPTO DE P-VALOR: CÁLCULO E INTERPRETACIÓN Limitaciones de la selección del nivel de significación: Ejemplo 6: (continuación) H0 : µ=10 H1 : µ=15 Estadístico:

0 →  N(0,1) Z*= X − 10 H 1 . 25

⇒ Si α=0.10 ⇒ Rechazo H0 si

X − 10 Z*= 1.25

≥1.28

10=4 ≥ 1.28 a) Si x obs=15 ⇒ zobs= 15− 1.25 ⇒ Rechazo H0 al 10% (zobs “significativo” al 10%) 12.5 −10 b) Si x obs=12.5 ⇒ zobs= 1.25 =2≥1.28 ⇒ Rechazo H0 al 10% (zobs “significativo” al 10%)

Misma decisión, pero…¿poseen las dos muestras la misma evidencia contra H0? 13

El p-valor se define, para una muestra concreta, como la probabilidad de observar, bajo H0, un valor del estadístico de contraste igual o más extremo (en la dirección de la alternativa) que el observado en la muestra ⇔ probabilidad de obtener más discrepancia con H0 que la obtenida con la muestra

Cuanto menor el p-valor ⇒ más extremo el resultado muestral ⇒ más evidencia contra H0

Ejemplo 6: (continuación) a) x obs=15 ⇒ zobs=4 ⇒ p-valor = p(Z* ≥ zobs) = p(N(0,1) ≥ 4) = 0.00003 Obtener el valor observado, zobs, o alguno mayor es casi imposible bajo la hipótesis nula ⇒ rechazo H0 (no creo que H0 haya generado mis datos).

b) x obs=12.5 ⇒ zobs=2 ⇒ p-valor = p(Z* ≥ zobs) = p(N(0,1) ≥ 2) = 0,0228 El valor observado tiene una probabilidad de aparecer muy pequeña si H0 es cierta, pero no es tan improbable como antes ⇒ rechazo H0 pero con “menos garantías”. 14




p-valor muy pequeño ⇒ sería muy improbable observar lo observado si H0 hubiera generado mis datos ⇒ los datos proporcionan evidencia suficiente en contra de H0 ⇒ rechazo H0




p-valor grande ⇒ nuestros datos no proporcionan evidencia suficiente en contra de H0 (es probable que H0 haya generado mis datos) y no rechazo.

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RELACIÓN ENTRE “nivel de significación” y “p-valor” ¿Qué ocurriría en el ejemplo anterior si el nivel de significación fuera α=0.01? X − 10 ⇒ El valor crítico sería zα=2.33 ⇒ rechazaríamos H0 si Z*= 1.25 ≥ 2.33

⇒ Si x obs=12.5 ⇒ zobs=2 < 2.33 ⇒ No rechazo al 1% (Si rechazaba al 10%) α=0.10 p-valor=0.0218 α=0.01

1-α

1.28 2

2.33

Rechazo H0 al 1% Rechazo H0 al 10%


Rechazamos H0 para niveles α ≥ p-valor




No rechazamos H0 para niveles α< p-valor

p-valor = menor nivel de significación al que se rechaza H0 16

4.5. ETAPAS EN LA REALIZACIÓN DE UN CONTRASTE 1. Describir el modelo y formular la hipótesis nula y la alternativa 2. Definir un estadístico de contraste que cuantifique la discrepancia entre los datos y la hipótesis nula, y cuya distribución sea conocida bajo H0 3. Definir la región crítica: ¿Qué valores del estadístico de contraste rechazan H0? 4. Determinar el valor crítico para un nivel de significación α dado 5. Tomar los datos y calcular el valor del estadístico de contraste 4.' Tomar los datos y calcular el valor del estadístico de contraste 5.' Calcular el p-valor 6. Tomar la decisión de rechazar o no H0 17

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Canavos, G.C. (2001), Probabilidad y estadística: aplicaciones y métodos, Madrid: McGraw-Hill. Secciones 9.1-9.3, 9.5 Casas, J.M. (1997), Inferencia estadística (incluye ejercicios resueltos). 2ª ed. Madrid: Centro de Estudios Ramón Areces. Capítulo 5 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: Peña, D. (2008), Fundamentos de estadística, Madrid : Alianza Secciones 10.1 – 10.3

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