Temario matematica

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Definición del conjunto de números reales
El conjunto de los números reales se representa "R ", es unión del conjunto de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
R= NUZUQUQ´









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Como se muestra en el diagrama anterior, se podría decir que es la unión de los números racionales con los irracionales.

Conjunto de los números naturales
Los números naturales son los números que sirven para contar cosas. No son los números naturales los decimales ni los números negativos; se representa con la letra N.
Ejemplos:
1 libro.
6 zapatos.
100 personas





Conjunto de los números enteros
Los números enteros están formados por los números positivos, los números negativos y el cero. Se representa con la letra Z.





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Conjunto de los números racionales
Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero.
Ejemplos:
5/1
2/7

Conjunto de los números irracionales
Los números irracionales son aquellos que no tienen una representación decimal periódica. Se representan con la letra l.
Algunos ejemplos de números irracionales son las raíces no exactas y las constantes como π.
Ejemplos:
2=1.414213…
π = 3.141592653…
3=1.7320508076…






Correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta
Dada cualquier recta, escogemos un punto sobre ella para representar el número 0. Este punto, en particular, se llama origen. Si ahora seleccionamos un segmento de recta de longitud unitaria, cada número real positivo x o cada número real negativo –x; puede representarse por un solo punto definido en la recta numérica.



Por ejemplo 3, 5, 8 tienen su propio punto en la recta numérica y este no es de nadie más.
Operaciones en el conjunto de los números reales y sus propiedades
Propiedades de los Números Reales en la Suma
La suma o adición es la operación matemática que resulta al reunir en una sola varias cantidades. Los números que se suman se llaman sumandos y el resultado suma o total.
Ejemplo: 10+5=15
Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
Ejemplo: (3+2)+5=10 3+ (2+5)=10
Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
Ejemplo: 3+2=5 2+3=5
Propiedad del Elemento Neutro: El cero "0" es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con cero da lugar a sí mismo.
Ejemplo: 8+0=8
Propiedad del Elemento Opuesto o Inverso: Todo número real tiene un inverso aditivo, se suman el número y su inverso, el resultado es cero "0"
Ejemplo: 8+ (-8)=0
Propiedades de los Números Reales en la Diferencia (Resta o Sustracción)
La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar
Ejemplo: 3-2=1
Propiedad Distributiva: Cuando se multiplica un número por la diferencia de otros 2 números, podemos distribuir o repartir el factor para cada uno de los términos de la resta.
Ejemplo: 3 (5-2) = 3 (5) – 3 (2) 9 = 9
Propiedad de Elemento Neutro: La resta de cualquier número y cero (0) es igual al mismo número.
Ejemplo: 8-0=8
Propiedad de Elemento Nulo
Ejemplo:8+ (-8)=0

Propiedades de los Números Reales en la Multiplicación
Operación aritmética que consiste en calcular el resultado (producto) de sumar un mismo número (multiplicando) tantas veces como indica otro número
Propiedad Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
Ejemplo: (3x2) x5=30
Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: 3x2=6 2x3=6
Propiedad Distributiva: Establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.
Ejemplo: (3+2)5 = 3 (5) + 2 (5)
25 = 25
Propiedad del Elemento Neutro: El elemento neutro de la multiplicación es el "1". Porque todo número multiplicado por sí mismo da como resultado el mismo número.
Ejemplo: 8x1=8
Propiedad del Elemento Nulo
Ejemplo: 8x0=0

Propiedades de los Números Reales en la División
La división es la operación inversa a la multiplicación. Consiste en averiguar cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo.
Propiedad Distributiva: Se puede aplicar la propiedad ya que en este caso tendríamos como resultado números enteros.
Ejemplo: (8+4) / 2 = 8 / 2 + 4 / 2
6 = 6
Propiedad del Cero
Ejemplo: 0/4 = 0 0/9 = 0

Jerarquía de Operaciones
Jerarquización de operaciones es un método para resolver operaciones con múltiples operadores dentro de una estructura con prioridades de acuerdo al operador.
Cuando vamos a realizar una operación de matemáticas hay seguir los siguientes pasos
1) Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2) Calcular las potencias y raíces.
3) Efectuar los productos y cocientes.
4) Realizar las sumas y restas.







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Resolución de Problemas
Es la descripción de los pasos y resultados que permiten establecer cuáles son las condiciones o valores que satisfacen el enunciado del problema.
Ejemplos:
En un saco hay 63 bolas. Estas son 5 bolas más que las que hay en un segundo saco. ¿Cuántas bolas tiene el segundo saco?
63 - 5= 58
R// En el segundo saco hay 58 bolas.


Carlos, Andrea y Sofía fueron a la tienda, Carlos gasto Q.5.00 en golosinas, Andrea gastó Q.3.00 en 3 ricitos y Sofía gastó Q.7.00 en un dorito y una mini Pepsi ¿Cuánto gastaron en total los tres?
5 + 3 +7= 15
R// En total gastaron Q15.00

Divisores
Llamamos divisores de un número a todos los números que lo dividen de forma justa o exacta

Ejemplos:

12= {1,2,3,4,6,12}
5= {1,5}
Múltiplos
Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c, el cual es un numero entero.

Ejemplos:

18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.
Múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 23.

Números Primos
Un número natural distintito de 1 es un número primo si sólo tiene dos divisores, estos divisores son: sí mismo y la unidad.

Ejemplos:

3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3.
5 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 5.

Números Compuestos
Los números compuestos son aquellos que tienen 2 o más divisores.

Ejemplos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Máximo Común Divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor divisor que tienen en común esos números. Se escribe MCD.
Ejemplo:


https://www.google.com.gt/search?q=MCD&rlz=1C2CAFA_enGT623GT623&biw=1366&bih=643&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwio2rfgtO7LAhXLFR4KHYl8CSUQ_AUIBigB#tbm=isch&q=maximo+comun+divisor&imgrc=m933Cbv4jnJYXM%3A

Mínimo común múltiplo
El más pequeño de los múltiplos comunes.
Si tienes dos o más números, y entre sus múltiplos se repiten algunos en ambos, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Se escribe MCM.
Ejemplo:
Calcula el mínimo común múltiplo de 4 y 6

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24,28, 32, 36,...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,...
Entonces 1 es el mínimo común múltiplo.

Resolución de problemas
Existen problemas los cuales podemos solucionar utilizando el MCM (mínimo común múltiplo)

Ejemplo:
Juan tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.
Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez.
¿Dentro de cuantas horas volverá a tomárselos a la vez?

MCM
8 12 = 24

Respuesta: dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez.

También existen otros los cuales podemos resolver utilizando el MCD (máximo común divisor)

Ejemplo:

Eva tiene una cuerda roja de 15 m. y una azul de 20 m.
Las quiere cortar en trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada.
¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cuerda que puede cortar?

MCD
15 20 = 5

Respuesta: la longitud de cada trozo de cuerda será de 5 m.

Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, u 8.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.
Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
Conjunto de los Números Racionales


El conjunto de números racionales está formado por todas las clases de fracciones equivalentes. Por lo cual cada clase de equivalencia representa un número racional. Este conjunto lo representamos por la letra Q.

Los números racionales tienen la forma a/b donde a y b son números enteros y que el denominador b no sea cero.

Ejemplos:

5/3, 2/5, 1/8

Si la fracción tiene como denominador 0 no es un número racional ya que cero no puede ser denominador, es decir, la división dentro de cero no está definida.

Los números racionales también están formados por:

Los decimales enteros:

0.25 = 25/100 = 1/4

Los decimales periódicos:

0.33 = 3/9 = 1/3


Igualdad de racionales.

La igualdad de racionales o fracciones equivalentes son las que tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes. Es decir:


a = c entonces a*d=b*c
b d
Ya que cada unidad debe ser dividida en el mismo número de partes.

Ejemplo
3 = 15
2 10
3*10 = 2*15
30 = 30

Representación Gráfica


Representación Gráfica:

1. Elegimos una figura geométrica (círculo, cuadrado, rectángulo, triángulo).
2. La dividimos en partes iguales. El total de partes en que se divida el dibujo depende del denominador, ya que éste indica el número de partes que forman una unidad.
3. Después marcamos en ella las partes que indica el numerador, ya que es número de partes que se ha tenido en cuenta de la unidad.



https://www.google.com.gt/search?q=representacion+grafica+de+numeros+racionales&espv=2&biw=1366&bih=667&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwizg7Wbv_HLAhVCNiYKHafqBvAQ_AUIBigB#imgrc=ZnmutRufNJ7mzM%3A



Ordenación de los Números Racionales


Para ordenar fracciones se puede calcular de la siguiente manera (se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y viceversa), y los resultados se comparan para determinar el orden de las fracciones.



Ejemplo:

2/5, 3/5

2*5 = 10 3*5 = 15

2/5 < 3/5

Reglas que nos permite ordenar las fracciones:

Los números racionales positivos siempre son mayores que los negativos:

-3/8 < 5/9

Si todas las fracciones son positivas:

Si tienen el mismo denominador es mayor la que tenga mayor numerador:

4/7 < 6/7

Si tienen el mismo numerador es mayor la que tenga menor denominador:

5/3 < 5/2

Si las dos fracciones tienen distinto numerador y denominador se busca fracciones equivalentes con el mismo denominador para poder compararlas:

Esto se puede realizar de la siguiente manera:

1. Multiplicando por los denominadores: se multiplica cada fracción (numerador y denominador) por el denominador de la otra.

Ejemplo:

2/5 y 4/3

Se multiplica la primera (2/5) por el denominador de la segunda:

(2x3) / (5x3) = 6/15

Se multiplica la segunda (4/3) por el denominador de la primera:

(4x5) / (3x5) = 12/25

2. Si todas las fracciones son negativas:

Si tienen el mismo denominador es mayor la que tenga menor numerador:

-6/7 < -4/7

Si tienen el mismo numerador es mayor la que tenga mayor denominador:

-5/2 < -5/3


Números racionales
Son un conjunto de números enteros representados por medio de una fracción.
Se puede decir que un número racional es un número que se escribe mediante una fracción.
Propiedades de los números racionales
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad conmutativa. Si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia. Este es solo con la suma.
13+ 12= 56 12 + 13 = 56

Propiedad interna. Al sumar o restar dos números racionales, el resultado siempre será otro número.
13+ 12= 56

Propiedad asociativa. Se dice que si se ordena de diferente manera los sumandos racionales, (o el minuendo y sustraendo) el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
12+ 13+ 14= 1312 13+ 12+ 14 = 1312
Elemento neutro. Es una cifra nula la cual si es sumada o restada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. En este caso el cero.
12- 0= 12
Inverso aditivo o elemento opuesto. al efectuar la operación, se obtiene como resultado el cero.
12- 12= 0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad asociativa. Donde al agrupar en diferente forma los factores, no altera el producto.

12 * 13 14= 124 13 12* 14 = 124

Propiedad interna. Al multiplicar (o dividir) números racionales, el resultado también es un número racional.

13 ÷12= 32

Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.
13* 12= 16 12* 13= 16

Propiedad distributiva. Al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de factores en donde cada uno es multiplicado.
12+ 13 14= 524 12 * 14+13* 14= 524
Elemento neutro.- Existe un elemento neutro que es el número uno, cuya división o multiplicación con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
13÷ 1= 13

Operaciones de números racionales
Suma y Resta
Cuando resolvemos la adición o sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador y sumamos o restamos los numeradores.
65+35=95

Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores, obteniendo el denominador del resultado. Luego se realiza una división entre el mcm y cada uno de los denominadores seguido de ello lo multiplicamos por el numerador, los resultados los sumamos y obtenemos el numerador, si es posible, llevamos la fracción a su mínima expresión.
14 +65=5+2420=2920
Multiplicación
Se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto.
23*45=2*43*5=815

División
Tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominado.
54÷23=5*34*2=158
Potenciación
Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:
2332= 89
Jerarquía operacional
La jerarquía de operaciones establece el orden en que deben ser ejecutadas las operaciones en una expresión numérica.
Los pasos a seguir son los siguientes:
Realizar operaciones dentro de signos de agrupación de adentro hacia afuera (( ), [¨], { }).
Calcular las raíces y potencias.
Efectuar multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
Realizar sumas y restas.
Ejemplo:
32+12232
32+1249
32+418=27+418=3118

1012-2124*53
1012-211012
1012-2012=-1012=-56
Resolución de problemas
María se ha gastado 13 de dinero que le dieron de paga sus abuelos en compra de un libro de aventuras, también se ha gastado 19 en la compra de dulces ¿Qué fracción de su paga se ha gastado María?





Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2. ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?

1 – 1/5 – 1/2 = 10 – 2 + 5 = 3/10 aaaaaaaaaaaaaaa10

60 * 3/10 = 180/10 = 18

R// Ana y Eva se comieron 18 bombones

Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/6 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

2/5 + 1/8 + 1/6 + 1/4 = 48 + 30 + 20 + 30 = 103/120
120

1 - 103/120 = 17/120


Teoría de Conjuntos
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados elementos. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos y se denotan con letras minúsculas.
Existen dos formas para escribir los conjuntos, la primera de ellas sigue el principio de extensión o enumerativa, por el cual se puede determinar el conjunto listando todos sus elementos. Ejemplo:
B= {1, 2, 3, 4,5}
La segunda forma sigue el principio de comprensión o abstracción, por el cual es posible determinar un conjunto identificando sus elementos mediante una propiedad común a ellos.
Ejemplo:
A = {x/x x son los números pares menores que 20}
La tercera forma sigue es la gráfica, la cual se representa con diagrama de ven el cual se hace por medio de figuras cerradas como: el círculo, el cuadrado, etc.
1, 2, 31, 2, 3Ejemplo:
1, 2, 3
1, 2, 3
4, 5, 64, 5, 6A =A =B =B =
4, 5, 6
4, 5, 6
A =
A =
B =
B =
Conjunto vacío
Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.




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Conjuntos unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.





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Conjunto finito:
En este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados.






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Conjunto infinito: 
En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados.





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Conjuntos equivalentes
Son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos.




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Conjuntos iguales 
Esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos.






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Operaciones de conjuntos
Unión de Conjuntos:
La unión de los conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reúnen sus elementos para formar otro conjunto sin repetirse.







Intersección de conjuntos
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B. Se nota A B.






A = {Juan, Pedro Pablo}B = {María, Martha, Juana}AUB = {Juan, Pedro Pablo, María, Martha, Juana} A = {Juan, Pedro Pablo}B = {María, Martha, Juana}AUB = {Juan, Pedro Pablo, María, Martha, Juana}A = {a, b, c, d} B = {d, e, f}AUB = {a, b, c, d, e, f}A = {a, b, c, d} B = {d, e, f}AUB = {a, b, c, d, e, f}automaton.wikispaces.com
A = {Juan, Pedro Pablo}
B = {María, Martha, Juana}
AUB = {Juan, Pedro Pablo, María, Martha, Juana}
A = {Juan, Pedro Pablo}
B = {María, Martha, Juana}
AUB = {Juan, Pedro Pablo, María, Martha, Juana}
A = {a, b, c, d}
B = {d, e, f}
AUB = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c, d}
B = {d, e, f}
AUB = {a, b, c, d, e, f}

Si A y B no tienen elementos en común, es decir, si A B = 0, entonces diremos que A y B son conjuntos disjuntos.

Diferencia de Conjuntos
El conjunto "A" menos "B" que se representa A-B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
Ejemplo:




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Contenencia de conjuntos
La contenencia de conjuntos es la relación que existe entre un conjunto que es universal y otro que se es subconjunto del universal; es decir que el conjunto "A" estará contenido dentro del conjunto "G" si y solo si todos los elementos del conjunto "A" son también elementos del conjunto "G"; Se representa con el símbolo C que se lee contenido y cuando no está contenido se representa con el símbolo y se lee no contenido.
Ejemplo





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En la imagen podemos observar que el conjunto A = {Pato, Gallo, Gallina}, el conjunto N {Vaca, Oveja} y el conjunto G = {Pato, Gallo, Gallina, Vaca, Oveja y perro}
Por lo tanto podemos afirmar que A C G porque todos los elementos del conjunto A, están dentro del conjunto G. También podemos decir que es verdad que N C G porque todos los elementos del conjunto N están en G.





Lógica Matemática
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas.
Proposiciones
Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo:
La expresión "la Tierra es redonda" es una proposición. Puede notarse que su valor de verdad es verdadero, ya que se conoce con certeza que la Tierra es redonda.

Proposiciones Simples 
Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.
Ejemplos:
Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) 

Proposiciones Abiertas: Son aquellas en las que el sujeto es incógnito. Se caracterizan por ser verdaderas para algunos sujetos y falsa para otros.
Ejemplo:
a. x+2=4
b. x2 5x+6 = 0
c. x2 9 = (x 3)(x+3)
d. x2= 9 y x 1 = 0
De las proposiciones anteriores se puede a rmar que:
a. x+2=4 es verdadera para x= 2 y falsa para otros valores de x.
b. x2 5x+6=0 es verdadera para x=2 o x=3, y falsa para otros valores de x.

Proposiciones Cerradas: Son aquellas en donde el sujeto está completamente de nido.
Ejemplo:
4*3=12 Verdadera
5*5=30 Falsa
1 es un número primo Falso

Conectivos lógicos
Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones, con lo que se producen otras, llamadas: Proposiciones compuestas.



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Negación: La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad puesto.

Conjunción: Es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la conjunción.

Disyunción inclusiva: La característica fundamental de la disyunción inclusiva es que su valor de verdad es falso solo en el caso en que las dos proposiciones simples que la forman tengan valor de verdad falso. En todos los otros casos la disyunción inclusiva tiene valor de verdad verdadero.

Disyunción exclusiva: La característica fundamental de la disyunción exclusiva es que su valor de verdad es verdadero solo cuando las proposiciones que la componen tienen valores de verdad contrarios.
Condicional: La característica fundamental de la condicional es que su valor de verdad es falso solo cuando el consecuente es falso y el antecedente es verdadero.

Bicondicional: La característica fundamental de la bicondicional es que su valor de verdad es verdadero solo en los casos en que p y q tengan valores de vedad iguales (ambos V o ambos F).


Valores de Verdad
Son aquellos valores posibles que pueden asignarse a las proposiciones. Los valores de verdad pueden ser dos: verdadero o falso. Una proposición es un enunciado u oración de la cual se afirma si es falsa o verdadera.
Proposiciones compuestas

También llamadas moleculares y son aquellas que están formadas por 2 o más proposiciones simples. Sus conectivos fundamentales son:
Disyunción (v): Devuelve el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

Ejemplo 1:
p ˅ q (Se lee: "p o q").

https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-disyuncion/
Ejemplo 2:
p =" El número 2 es par".
q =" la suma de 2 + 2 es 4 .
Entonces
p ˅ q: "El número 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4

Puede ser:
Disyunción inclusiva: Es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyunción mediante la disyunción inclusiva (˅).

Ejemplo1:

p ˅ q (Se lee:"p o q")







p
q
p ˅ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-disyuncion/
Ejemplo 2:
p: "Está lloviendo".
q: "3 < 5".
Entonces
p ˅ q: "Está lloviendo o 3 < 5".

Disyunción exclusiva: Resulta de conectar dos proposiciones p y q mediante la disyuntiva exclusiva (˅).

Ejemplo1:

p ˅ q (Se lee: "o p o q").
p
q
p ˅ q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-disyuncion/

Ejemplo 2:
p: "El vaso es bonito".
q: "La leche está adulterada".
Entonces
p ˅ q: "O el vaso es bonito o la leche está adulterada".

Conjunción (^): Devuelve el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

Ejemplo 1:

p ^ q (se lee:" p y q")


https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-conjuncion/

Ejemplo 2:
p =" El número 4 es par".
q ="Siempre el residuo de los números pares es 2 .
Entonces
p ^ q: "El número 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2 .

Negación (~): Tiene un valor de verdad opuesto, es decir, si p es verdadera, la negación de p es falsa.

Ejemplo 1:

~p (se lee: no p).

https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-negacion/


Ejemplo 2:
p: "4 + 4 es igual a 9".
-p: "4 + 4 no es igual a 9 .

Condicional ( ): También es llamada implicación. Devuelve el valor de verdad falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

Ejemplo 1:

p q (Se lee: "Si p entonces q").


https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-implicacion/

Ejemplo 2:
p: "Llueve".
q: "Hay nubes".
Entonces
p q: "si llueve entonces hay nubes".

Bicondicional: También es llamada doble implicación. Devuelve el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Ejemplo 1:

p q (Se lee: "si y solo si").


https://matedisunidad3.wordpress.com/tag/proposiciones-compuestas-dobleimplicacion/

Ejemplo 2:
P: "10 es un número impar".
q: "6 es un número primo".
Entonces
p q: "10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo".


Cálculo Proposicional

Denominado también lógica proposicional. Estudia las operaciones proposicionales y la deducción proposicional. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.

Tautología
Es una proposición en la cual su valor de verdad es verdadero, independiente de los valores de verdad.
Ejemplo:

https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias-contradiccion-y-contingencia-2/


Contradicción
Es una proposición en la cual su valor de verdad es falso, independiente de los valores de verdad.
Ejemplo:


https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias-contradiccion-y-contingencia-2/

Contingencia
Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa.

https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias-contradiccion-y-contingencia-2/

Equivalencia Lógica

Dos proposiciones p y q son lógicamente equivalentes cuando:
p es verdadera si y sólo si q es verdadera
p es falsa si y sólo si q es falsa.



p
q
p v q
~p
~p q
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F


Relación y Función

Relación
Los conjuntos dados en una relación son el conjunto A y el conjunto B.
Cuando a todos o para algunos de los elementos de un conjunto A, les corresponde, vinculado por alguna condición o propiedad, uno o más elementos del conjunto B, decimos que hay una relación R entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B.
Una forma fácil de trabajar una relación es con las parejas ordenadas de los elementos que se vinculan. Para obtenerlas debemos recordar lo que estudiamos sobre el producto cartesiano.
Producto cartesiano
Son el conjunto de todos los elementos ordenados en pares, tales que el primer componente del par ordenado es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.
Por ejemplo:
A= {a, b}
B= {c, d, f}
El producto cartesiano de estos dos conjuntos A x B (A cruz B) seria:
A x B= {(a, c), (a, d), (a, f), (b, c), (b, d), (b, f)}
Ahora que ya repasamos la base del producto cartesiano y sabemos cómo determinar las parejas ordenadas, continuamos con el tema de relaciones. La relación R "es mayor que" determina el conjunto solución, y se representa por una gráfica sagital.
Ejemplo: Encuentre la relación R de los conjuntos.
A = {1, 4, 6}, B = {2, 3, 7}
Obtenemos el producto cartesiano:
A x B= {(1, 2), (1, 3), (1, 7), (4, 2), (4, 3), (4, 7), (6, 2), (6, 3), (6, 7)}
Las únicas parejas relacionadas por la condición son:
A x B= {(4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}
La representación con grafica sagital seria:
A B
237237461461
2
3
7
2
3
7
4
6
1
4
6
1





Dominio
Se nombra así al conjunto de las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a A x B.
Contradominio
Se nombra así al conjunto de las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a A x B.
Función
Es un caso particular de las relaciones en las que a todo elemento de un conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del conjunto B.
Ejemplo:


Si es función Si es función


No es función No es función

Reglas:
Primera: Ningún elemento del conjunto A puede quedar sin ser asociado con un algún elemento del conjunto B.
Segunda: Ningún elemento del conjunto A puede estar asociado con dos elementos del conjunto B; sin embargo el conjunto B puede asociarse con dos o más elementos del conjunto A.

Clasificación de funciones
Para clasificar las funciones tomaremos como referencia el contradominio las cuales son:
Inyectiva (univoca)
Cuando a cada elemento del contradominio le corresponde solo un elemento del dominio sin importar que sobren en el contra dominio.

Es una función inyectiva

Función sobreyectiva (Suprayectiva)
Cuando a todo elemento del contradominio le corresponde uno o más elementos del contradominio. No deben sobrar elementos en el contradominio.

Es una función sobreyectiva
Función biyectiva (Biunivoca)
La función biyectiva es la mezcla de las dos funciones anteriores. Por lo tanto en el contradominio no pueden sobrar elementos y ningún elemento es imagen de más de un elemento del dominio.

Es una función biyectiva
A B
123123ABCABC
1
2
3
1
2
3
A
B
C
A
B
C




No es una función inyectiva porque para serlo, una flecha tendría que llegar a cada elemento sin importar que sobren algunos.
No es sobreyectiva porque para serlo, las flechas tendrían que llegar a todos los elementos, sin importar que a unos elementos les llegara mas de una
Como la función no es inyectiva ni sobreyectiva, entonces tampoco es biyectiva, pues está resuelta de la combinación de las dos.

Función Lineal
Una función f es función lineal si f(x) = ax + b, donde x es cualquier número real, y a y b son constantes.
Ejemplo
y = 2x – 1
x
y= 2x – 1
P(x,y)
0
2(0) –1= –1
(0, –1)
1
2(1) –1= 1
(1, 1)





http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/polinomicas.html

Función Constante
Es una función del tipo y = n donde n es un número real cualquiera y n la constante. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal




http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/polinomicas.html
Función Identidad Y=F(x)=X
Se denomina función identidad, porque a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas (1,1), (2,2), (3.5, 3.5).
La función cuya ecuación es f (x) se llama función de identidad porque siempre y=x. Su gráfica es una recta que pasa por el origen.
El dominio y el rango de la función identidad es un número Real (R).
El número x pertenece al dominio de la función, que se le llama variable independiente. Al número, y, asociado por f al valor de x, se le llama variable dependiente, rango o contra dominio.
La función identidad es una función, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.
La función identidad se expresa con la ecuación y=x; es decir, en todos los pares de la relación, ambos son iguales.
Ejemplo:

http://cibertareas.info/funcion-identidad-ejemplo-matematicas-4.html

Función Polinómica
Como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio. En donde "n" es un entero positivo, llamado grado del polinomio. El coeficiente del grado mayor no puede ser cero, tiene q ser diferente de cero para que el grado del polinomio sea "n".
Ejemplo: F(x)= x3+3x2+2x ; la cual es de grado 3, ya q el exponente mayor es 3.







Función exponencial
Se le llama así al número b se le dice base y x se le llama exponente.
Y=3^aEs creciente porque es mayor que 1 Y=3^aEs creciente porque es mayor que 1 Y= 1/3 XEs decreciente porque es menor que 1 Y= 1/3 XEs decreciente porque es menor que 1 Cuando b es mayor que cero y b no es igual a uno la función exponencial f(x) Tiene la forma f(x) =b^x.
Y=3^a
Es creciente porque es mayor que 1

Y=3^a
Es creciente porque es mayor que 1

Y= 1/3 X
Es decreciente porque es menor que 1

Y= 1/3 X
Es decreciente porque es menor que 1

Las gráficas crecientes son mayor que uno y las decrecientes son menor que uno, la asíntota es una línea horizontal a la cual la gráfica no toca nunca "y" y tampoco el eje "x" .

Funciones Logarítmicas
Es la inversa de una función exponencial.
Y es el exponente de la base b que da como resultado "X". "Y" es el logaritmo de la base b que da como resultado "X" Y=log(b)x
Como se muestra en los ejemplos la función logarítmica f con base b tiene las siguientes propiedades:
El dominio de f es el conjunto de los números reales positivos.

El rango de f es el conjunto de los números reales.


El intersecto en x para la gráfica es 1. La grafica de f no tiene intersecto en y.

El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de f.


La función f creciente en el intervalo (0,) si a > 1 y decreciente el intervalo (0, ) si 0 8/-2
1 >x x > -4
Inecuaciones con valor absoluto

¿Qué es valor absoluto? Es la distancia desde cualquier punto en la recta hasta el origen.

Para resolver inecuaciones con valor absoluto debemos respetar las siguientes reglas:

Que "b" es un número positivo

"x" < b
Si y solo si, -b