Temperamentos Lineares

Temperamentos Lineares Texto por Igor S. Livramento1

Um temperamento regular é qualquer sistema de afinação musical temperado tal que cada razão entre frequências é obtida pelo produto de potências de um número finito de geradores, ou razões entre frequências geradoras. Por exemplo, em 12-tons equidistantes por oitava2, sistema musical mais utilizado no Ocidente hoje, o gerador é uma quinta temperada (medindo 700 cents3), que serve de base para o círculo de quintas. Quando apenas dois geradores são necessários, um deles sendo a oitava, chamamos a este sistema de temperamento linear. O exemplo mais conhecido é a afinação mesotônica4, onde os intervalos gerados são dados em termos duma quinta um pouco mais grave que a quinta justa e em termos da oitava.

Descrição Matemática Se os geradores são todos os números primos até um dado primo p, nós temos o que se chama uma entonação justa de limite-p5. Algumas vezes algum número irracional próximo a um desses primos é posto em seu lugar (um exemplo de temperamento) para favorecer os outros primos, como em 12-tons equidistantes por oitava onde 3 (a quinta justa harmônica) é temperado a 219/12 para favorecer 2 (a oitava), ou em 1/4 de comma sintônica onde 3 é temperado para 2·51/4 para favorecer tanto 2 quanto 5 (terça maior justa ou harmônica). Seguindo a terminologia matemática, os produtos desses geradores definem um grupo abeliano livre6. O número de geradores independentes é a ordem (livre de torsão) do grupo abeliano. Os sistemas de afinação de ordem-1 (primeira ordem) são os temperamentos equidistantes7, os quais podem ser descritos com apenas um gerador. Já os de ordem-2 (segunda ordem) possuem dois geradores, portanto a afinação mesotônica é um temperamento de ordem-2 ou segunda ordem.

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Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina. Vide, do presente autor: Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes. Disponível em: , acesso em 31 de janeiro de 2017. 3 Vide, do presente autor: A afinação cromática pitagórica, a comma pitagórica e a medição por cents , acesso em 31 de janeiro de 2017. 4 Vide, do presente autor: Redução de dimensionalidade de afinações e a afinação mesotônica. , acesso em 31 de janeiro de 2017. 5 Vide, do presente autor: Afinações racionais, entonação justa, limite-primo e dimensionalidade. , acesso em 31 de janeiro de 2017. 6 Veja-se (autor desconhecido): , acesso em 31 de janeiro de 2017. 7 Conferir nota 2. 2

Ao se estudar temperamentos regulares, pode ser útil tratar o temperamento como tendo um mapa da entonação justa de limite-p para o conjunto dos intervalos temperados. Para se classificar apropriadamente a dimensionalidade do temperamento, é preciso determinar quantos dos geradores dados são independentes, pois a descrição dum temperamento regular pode conter redundâncias. Outra forma de considerar a questão é observar que a ordem do temperamento deve ser a ordem do conjunto imagem sob o referido mapa. Por exemplo: alguém tentando afinar um cravo poderia pensar que a afinação mesotônica de 1/4 de comma sintônica possui três geradores – a oitava, a terça maior justa ou harmônica (5/4) e a quinta justa temperada por 1/4 de comma sintônica – mas como quatro dessas quintas temperadas consecutivas produzem uma terça maior justa ou harmônica, a terça maior justa é redundante na descrição, reduzindo o sistema para apenas duas dimensões (como apontado acima). Outras formas de álgebra linear e multilinear podem ser aplicadas ao mapa. Por exemplo, o núcleo (espaço nulo) consiste de todos os intervalos no limite-p chamados de commas; esta é uma propriedade útil para descrever temperamentos.