Instituto Politecnico Nacional UPIIG
Teorema Fundamental del C´alculo
Octubre 2014
Prof. Aar´on Romo Hern´andez1 La noci´ on de integraci´ on, y hasta cierto punto la de diferenciaci´on, hab´ıa sido bastante bien desarrollada antes del trabajo de Newton y Leibniz. El gran logro de estos cient´ıficos fue haber reconocido con claridad y explotado por primera vez este Teorema Fundamental del C´ alculo. Los dos procesos de l´ımite aparentemente sin conexi´ on alguna involucrados en la diferenciaci´on y la integraci´on de una funci´on est´an intimamente relacionados. Son, de hecho, inversos uno del otro. Antes de dar la formalidad requerida al teorema que nos concierne, discutamos un breve ejemplo a manera de motivaci´on. Ejemplo 1. Calc´ ulese la integral en [a, b] de la funci´on y(x) = x utilizando sumas de Riemann. Dada una partici´ on regular de [a, b], la integral de y = x en [a, b] puede calcular como:
Z
b
y(x)dx = l´ım a
N →∞
N X
y(xi )∆xi
i=1
Sea y(x) = x y consideremos que la segmentaci´on de [a, b] est´a dada en elementos constantes ∆xi = ∆x, b−a ∆x = , N donde N corresponde al n´ umero de elementos en la partici´on. Entonces, 1
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1
l´ım
N →∞
N X
y(xi )∆xi =
i=1
=
=
= = = = = =
N X
l´ım
N →∞
l´ım
N →∞
l´ım
N →∞
i=1 N X i=1 N X
xi ∆x
(a + i∆x)∆x
a∆x + l´ım
N →∞
i=1
l´ım ∆x
N →∞
N X
N X
i=1
a + l´ım ∆x
i=1
N →∞
i∆x2 2
N X
i
i=1
N (N + 1) l´ım ∆xN a + l´ım ∆x2 N →∞ N →∞ 2 b−a b − a 2 N (N + 1) l´ım N a x + l´ım N →∞ N →∞ N N 2 2 b−a b−a N (N + 1) l´ım N a x + l´ım N →∞ N →∞ N N 2 2 2 b − 2ab + a 1 l´ım ab − a2 + 1+ N →∞ 2 N b2 a2 − . 2 2
Por tanto
b
Z
xdx = a
b2 a2 − . 2 2
4 Como podemos observar, el c´alculo de la integral de una funci´on tan sencilla como y(x) = x puede llegar a ser complicado. Ahora, si pensamos en dos funciones F y G, Z x x2 F (x) = , G(x) = xdx. 2 a Observemos que la derivada de F arroja el integrando de G, es decir F 0 (x) = x, adem´ as, Z
b
xdx = F (b) − F (a).
G(b) = a
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Estudiando con un poco detalle las relaciones presentadas, la intuci´on nos dicta a pensar en alguna relaci´on entre derivadas e integrales. M´as a´ un, la u ´ltima ecuaci´ on facilitar´ıa mucho el c´ alculo de una integral, al no recurrir al uso de sumas de Riemann. En este punto, la pregunta fundamental es si existir´a algun nexo entre F y G que nos permita vincular integrales y derivadas. La respuesta es afirmativa y est´ a dada en el teorema fundamental del c´alculo. Para formular el teorema fundamental consid´erese: una funci´on continua y = f (t), integrable en [a, b], a un punto x ∈ (a, b), y a la funci´on G(x) definida como Z x f (t)dt. G(x) = a
Intentamos estudiar la integral como una funci´on que depende del l´ımite superior: la variable x. La funci´ on F (x) es el ´area bajo la curva y = f (t) entre los
Figura 1: Integral de la funci´on f como funci´on de la variable x. puntos t = a y t = x, Figura 1. Una integral G(x) con l´ımite superior variable se le conoce a veces como una integral “indefinida”. El teorema de inter´es queda establecido entonces como: Teorema 1 (Teorema Fundamental del C´ alculo) Sea f integrable sobre [a, b] y G definida por Z x G(x) = f (t)dt. (1) a
Si f es continua en el punto x, entonces G es derivable en x, y Z x d 0 G (x) = f (t)dt = f (x) dx a
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(2)
Figura 2: La integral y la derivada como operadores inversos Del teorema 1 debemos extraer lo siguiente: la derivada de la integral indefinida (1) es igual al valor de f (t) evaluada en el punto t = x. En otras palabras, el proceso de integraci´ on que conduce de la funci´on f (x) a la funci´on G(x), es desecho, invertido, por el proceso de diferenciaci´on aplicado a G(x), Figura 2. Desde un punto de vista intuitivo la demostraci´on del Teorema 1 es muy sencilla: depende de la interpretaci´on de la integral G(x) como un ´area. Consideremos la interpretaci´on geom´etrica de la integral, procediendo de un modo anal´ıtico en la diferenciaci´on de G(x). Tomemos la diferencia entre G(x1 ) y G(x), que es simplemente el ´ area entre x1 y x, Figure 3. Sean M y m el m´aximo
´ Figura 3: Area G(x1 ) − G(x) y m´ınimo de f en [x, x1 ]. Observermos que el ´area G(x1 ) − G(x) se encuentra acotada, Figura 4, de la siguiente forma: m(x1 − x) ≤ G(x1 ) − G(x) ≤ M (x1 − x). Por lo tanto m≤
G(x1 ) − G(x) ≤ M. x1 − x
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De la continuidad de f entre x y x1 se puede observar que conforme x1 tiende a x entonces tanto M como m se aproximan a f (x), Figura 5. As´ı que tenemos, G(x1 ) − G(x) ≤ l´ım M = f (x), x1 →x x1 →x x1 − x
f (x) = l´ım m ≤ l´ım x1 →x
es decir F 0 (x) = f (x).
(3)
´ Figura 4: Acotando el Area F (x1 ) − F (x)
Figura 5: Comportamiento de extremos de f cuando x1 → x Ahora se introducir´ a al estudiante al concepto de la antiderivada de una funci´ on. Definici´ on 1 (Antiderivada) Sea F (x) una funci´ on tal que F 0 (x) = f (x). Entonces F es una funci´ on antiderivada de f .
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La antiderivada de una funci´on no es u ´nica. Para demostrarlo, supongamos que F (xo ) es una primitiva de f (x), entonces H(x) = F (x) + c tambi´en es una antiderivada de f , ya que H 0 (x) = F 0 (x) = f (x). El reciproco del argumento se demuestra facilmente definiendo U (x) = F (x) − H(x). Al diferenciar tenemos U 0 (x) = F 0 (x)−H 0 (x) = F 0 (x)−F 0 (x) = 0. Entonces, dos funciones antiderivadas F (x) y H(x) pueden diferir s´olo por una constante. Esto conduce a un corolario del teorema 1 de mayor importancia para encontrar el valor de una integral entre a y b. Sea F (x) una antiderivada de la funci´on f (x). De acuerdo con el teorema 1 Z x f (t)dt G(x) = a
define tambi´en una antiderivada de f (x), por tanto G(x) = F (x) + c, siendo c una constante. Para determinar c observemos que Z a G(a) = f (t)dt = 0, a
de donde 0 = F (a) + c; de manera que c = −F (a). Entonces, la integral definida entre los l´ımites a y x ser´a G(x) = F (x) − F (a), o bien, si escribimos b en lugar de x, Z
Rx a
f (t)dt =
b
f (t)dt = F (b) − F (a).
G(b) = a
De manera formal: Corolario 1 Sea F una antiderivada de la funci´ on f , entonces Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a). a
Rb En otras palabras: para evaluar la integral definida a f (t)dt s´olo tenemos que encontrar una antiderivada de f y luego obtener una diferencia. Retomemos la integral del ejemplo 1, utlizando en esta ocasi´on el Teorema 1.
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Ejemplo 2. Calc´ ulese la integral en [a, b] de la funci´on f (x) = x utilizando el teorema fundamental del c´ alculo. Sea F (x) definida por x2 F (x) = . 2 Observemos que F 0 (x) = x, por tanto F es una antiderivada de f . Del corolario 1, Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a), a
es decir Z
b
xdx = a
b2 a2 − . 2 2 4
Fuente Bibliogr´ afica: 1. What is Mathematics? ; Richard Courant, Herbert Robbins; Oxford University Press, segunda edici´ on (1996); Chapter VIII, pages: 398-463. 2. Thomas C´ alculo Una Variable; George B. Thomas Jr.; Pearson, d´ecimo segunda edici´ on (2010); Secci´ on 5.1-5.4, pags: 246-283.
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