TEOREMAS PRINCIPALES 30 de noviembre de 2015 Autor: Laura Pontón

Álgebra Moderna I Unidad 3 Actividad 2

TEOREMAS PRINCIPALES 30 de noviembre de 2015 Autor: Laura Pontón

Álgebra Moderna I Unidad 3 Actividad 2 15.2 Sean H*, H y K ⊆ G con H * ⊳ H. Muéstrese que H* ∩ K ⊳ H ∩ K. Lo que se nos pide demostrar es que la intersección de 𝐻 ∗ ∩ 𝐾 sea un subgrupo normal de 𝐻 ∩ 𝐾, por lo que sea en términos de H y K 𝑆𝑒𝑎 𝑎 ∈ 𝐻 ∗ ∩ 𝐾 𝑦 𝑠𝑒𝑎 𝑏 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾, ⟹ 𝑏 ∈ 𝐻 𝑦 𝑎 ∈ 𝐻 ∗ ⟹ 𝑏𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐻 ∗ ⊳ 𝐻. 𝑖. 𝑒 𝑏 ∈ 𝐾 𝑦 𝑎 ∈ 𝐾 ⟹ 𝑏𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐾. | 𝑏𝑎𝑏 −1 ∈ 𝐻 ∗ ∩ 𝐾 ⟹ 𝐻 ∗ ∩ 𝐾 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐻 ∩ 𝐾

15. 6 Sea ℤ𝟏𝟖 → ℤ𝟏𝟐 el homomorfismo donde 1ϕ=10

Álgebra Moderna I | 30/11/2015

a) Encuéntrese el Kernel K de ϕ

1

Por el homomorfismo propio, 𝜙(𝑘) = 10𝑘 mod 12 ⟹ 𝜙(𝑘) = 0 ∈ ℤ12 ⟺ k ∈ {0,6,12} ⊂ ℤ18 ⟹ 𝑲 = 𝒌𝒆𝒓(𝝓) = {𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐} b) Lístense las clases laterales en ℤ𝟏𝟖 /𝑲 mostrando los elementos en cada clase lateral. Por lo que las clases laterales en ℤ18 /𝐾 son 𝐾 = {0,6,12} 1 + 𝐾 = {1,7,13} 2 + 𝐾 = {2,8,14} 3 + 𝐾 = {3,9,15} 4 + 𝐾 = {4,10,16} 5 + 𝐾 = {5,11,17} c) Encuéntrese el grupo ℤ𝟏𝟖 ϕ 𝜙[ℤ18 ] = {𝜙(𝑘)|𝑘 ∈ ℤ18 } = [0,10,8,6,4,2] d) Dése la correspondencia entre ℤ𝟏𝟖 /𝑲 y ℤ𝟏𝟖 𝝓 dada por la transformación 𝝍 descrita en el teorema 15.1 ~ Entonces la correspondencia esta dada por ψ(𝑔 + 𝑘): = 𝜙(𝑔) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔 ∈ ℤ18 , i.e, 𝛙: ℤ18 /𝑘→𝜙[ℤ18 ] esta dado por: 𝜓(𝑘) = 𝜙(0) = 0 𝜓(1 + 𝑘) = 𝜙(1) = 10 𝜓(2 + 𝑘) = 𝜙(2) = 8 𝜓(3 + 𝑘) = 𝜙(3) = 6 𝜓(4 + 𝑘) = 𝜙(4) = 4

Álgebra Moderna I | 30/11/2015

𝜓(5 + 𝑘) = 𝜙(5) = 2

2