Teoria de Control II

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IDENTIFICACIÓN DE LAS PLANTAS PARA CADA EJE DE LIBERTAD DEL SISTEMA MIMO CON 2 ROTORES, DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR PARA EL ÁNGULO DE ELEVACIÓN. David Zamora Paul Rodas Diego Samaniego [email protected] [email protected] [email protected] Teoria de Control II. Universidad Politecnica Salesiana.

Abstract—En el siguiente informe se dara a conocer el funcionamiento y modelamiento de un sistema MIMO con 2 rotores, al cual le identificaremos la planta del sistema asi como la matrices de estados del sistema, ademas se propondra un controlador en matrices de estado con realimentacion completa. Index Terms—Control, MIMO, modelamiento.

I. I NTRODUCCION .

II. O BJETIVOS A. Objetivo General Definir e identificar las plantas para cada eje de libertad en x, y, el sistema completo de una planta MIMO con 2 rotores. Diseñar e implementar un controlador para un eje de libertad de la planta MIMO con 2 rotores. B. Objetivos Especificos •

En este artículo se realiza un análisis de lo que se va a realizar el control de un sistema mimo para el ángulo de elevación con dos rotores a su ves la identificación de las plantas, el controlador que se va a implementar es un controlador con variables de estado, la identificación y el control se va a realizar por medio de un software de matlab, el cual contiene un controlador digital.

• • •

Examinar la maqueta en cada uno de sus ejes para poder definir las plantas de cada uno de ellos y la planta total del sistema. Comprobar y simular las plantas definidas con el sistema real. Diseñar un controlador para el ángulo de elevación de un sistema MIMO con 2 rotores. Comprobar el funcionamiento del controlador del ángulo de elevación en el sistema MIMO con 2 rotores. III. M ARCO T EORICO

A. Twin Rotor MIMO System 33-220

Figure 1. Sistema MIMO con 2 rotores[8]

Este módulo es un laboratorio para experimentos de control. En ciertos aspectos este comportamiento se asemeja al de un helicóptero. Desde el punto de vista del control ejemplifica un sistema MIMO no lineal de grado superior con acoplamientos significativos. El modulo consta de una viga articulada en la base de tal manera que puede girar libremente al mismo tiempo en el plano vertical y horizontal. En ambos extremos de la viga hay dos rotores, el principal y el de la cola, estos son impulsados por motores de corriente continua. Un brazo de contrapeso con un peso en su extremo se fija a la viga en el pivote. El

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estado de la viga es descrito por cuatro variables de proceso: ángulos horizontales y verticales medidos por los sensores instalados en la posición de pivote, y dos correspondientes a velocidades angulares. Las dos últimas variables de estado son las velocidades angulares de los rotores, medidos por taco generadores acoplados a los motores de corriente continua Los rotores pueden girar alrededor de un eje vertical y de un eje horizontal. Cuando no está en uso, o al establecer los parámetros de control, uno o ambos ejes de rotación se pueden bloquear por medio de los dos de bloqueo tornillos muestran en el diagrama anterior. [8]

Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de un sistema es la siguiente:

dn dn−1 dm y (t)+a y (t)+. . .+a y (t) = b u (t)+. . .+b1 u (t) n 1 m+1 dtn dtn−1 dtm 1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema. 2) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema. 3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iniciales cero. 4) Relacionar la variable de salida con las variables de entrada. Los sistemas mecánicos de rotación son quizá el tipo de sistemas que con mayor frecuencia se encuentran en aplicaciones cotidianas. Estos abarcan cualquier sistema cuyo elemento motriz es un motor o una máquina rotatoria.

Figure 2. Modulo Twin Rotor MIMO System 33-220.[8]

Como ya dijimos este módulo simula las hélices de un helicóptero por lo tanto en un helicóptero la fuerza aerodinámica es controlada por cambios en el ángulo de los rotores. La fuerza aerodinámica se controla variando la velocidad de los rotores. Por lo tanto, las entradas de control son las tensiones de alimentación de los motores de corriente continua. Un cambio en los resultados de valor de la tensión es un cambio de la velocidad de rotación de la hélice, lo que resulta en un cambio de la posición correspondiente de la viga. Cada uno de los rotores influye en sus ángulos de posición. Por lo tanto el controlador debe estar diseñado para que el cambio de movimiento en un rotor no afecte al segundo.

Figure 3. Sistema TRMS real.

1) Modelamiento del sistema : Para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema. Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular. Para uniformizar criterios respecto a las denominaciones que reciben los elementos que conforman un sistema de control es necesario tener en mente las siguientes definiciones: Planta Cualquier objeto físico que ha de ser controlado. Proceso Operación o secuencia de operaciones, caracterizada por un conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final a partir de un estado inicial. Sistema Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado. Perturbación Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Servomecanismo Sistema de control realimentado cuya salida es una posición mecánica. Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por ello que la ingeniería de control se considera un campo interdisciplinario. Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

3

Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición algebraica rango



B

A2 B

AB

...

An−1 B



=n

(4)

C. Observabilidad Si el sistema es observable y controlable los polos de un sistema en lazo cerrado se pueden situar arbitrariamente en el plano complejo. La observabilidad es la posibilidad de la estimación de una variable de estado. Un sistema es completamente observable si existe un tiempo finito T de forma que el estdo inicial x(0) se determina a partoir de la obsevabilidad [1]. Consderando un sistema lineal   C  CA    2   (5) PO =  CA    ..   .

Figure 4. Tabla de Valores de Inercia[9]

Al igual en que los sistemas mecánicos de traslación se tiene un conjunto de elemento básicos los cuales se encuentran resumidos en la figura 4. Dentro de las aplicaciones de este tipo de sistemas podemos citar tornos, cajas de transmisión, sistemas de poleas, turbinas, etc. Las variables involucradas en los sistemas mecánicos de rotación son el par o torque, el desplazamiento angular, velocidad angular y la aceleración angular.

CAn−1

El sistema es observable si la matriz de observabilidad tiene un rango=n y su determinante es diferente de cero. D. Fórmula de Ackermann La formula de Ackermann es útil para determinar la matriz de realimentación en cariables de estado de un sistema de una entrada-una salida.[1] K=

B. Controlabilidad El diseño de realimentación de estados se basa en tecnicas de asignacion de polos, un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción u(t) que puede llevar cualquier esatdo inicial x(to) a cualquier otro esatdo deseado x(t) en un tiempo finito t0 ≤ t ≤ T [1]. La controlabilidad juega un papel importante para algunos problemas de control como es la optimización de sistemas inestables. .

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

(1)

y (t) = Cx (t) + Du (t)

(2)



B

AB

A2 B

...

An−1 B

k1

k2

...

kn



(6)

Donde u = −Kx

(7)

Dada la ecuación característica deseada q (λ) = λn + α1 λn−1 + . . . + αn

(8)

La matriz de ganacia de realimentación es K=



0

0

...

1



Pc−1 q (A)

(9)

Donde q (A) = An + α1 An−1 + . . . αn−1 A + αn I

Donde: • x es el vector de estado • y es el vector de salida • u es el vector de entrada (o de control) • A es la matriz de estados • B es la matriz de entrada • C es la matriz de salida • D es la matriz de trasmisión directa. • La matriz de observabilidad está dada por La matriz de controlabilidad está dada por PC =



(10)

Pc es la matriz de controlabilidad de la ecuación 3 IV. D ESARROLLO



(3)

El sistema multivariable de 2 rotores acoplados (Twin Rotor MIMO System, TRMS) está diseñado para simular la dinámica de un helicóptero, este se compone básicamente de un pivote que permite una rotación en los ejes vertical y horizontal, un rotor principal y un rotor de cola. El comportamiento multivariable del sistema pues, tal como se muestra en la Figura IV

4

lm : Largo del rayo pivote-motor principal. lt : Largo del rayo pivote-motor de cola. • lb : Largo del rayo pivote-contrapeso. • lcb : Distancia pivote-contrapeso. • g: Aceleración de gravedad. En la siguente tabla se puede ver los valores de los mismos • •

Parámetro It Im Ic Icb rms rts mtr mmr mcb mt mm mb mts mms Ra La ka Jmr

Figure 5. Esquema del TRMS[8]

Existen 2 entradas que corresponden al voltaje aplicado en cada uno de los bornes de los motores de corriente continua (en verde), y 4 salidas que corresponden a los ángulos de inclinación para cada eje y las velocidades de cada uno de los motores (azul y rojo, respectivamente). Además, la misma figura muestra la nomenclatura que se ocupa en el resto de este trabajo con: αv : Ángulo de elevación del sistema (eje vertical). αh : Ángulo de rotación del sistema (eje horizontal). ωM R : Velocidad angular del rotor principal (main rotor). ωT R : Velocidad angular del rotor de cola (tail rotor). uv : Voltaje (normalizado) para el rotor principal. uh : Voltaje (normalizado) para el rotor de cola. A. Identificación de la planta en modelo vertical

Valor Parámetro 0.282 Jt 0,246 Bt 0,290 Bm 0,276 kth 0,155 ktv 0,1 k1 0,221 k2 0,236 kg 0,068 kv 0,015 kh 0,014 kT tp 0,022 kT tn 0,119 kT mp 0,219 kT mn 8 kt 0,86 · 10−3 km 0,0202 kchp 1,272 · 10−4 kchn Table I

Valor 2,48 · 10−5 2,3 · 10−5 4,5 · 10−5 5 · 10−8 5,6 · 10−7 6,5 8,5 0,2 1,31 · 10−3 4,7 · 10−3 1,84 · 10−6 2,20 · 10−6 1,62 · 10−5 1,08 · 10−5 2,6 · 10−5 2 · 10−4 8,54 · 10−3 7,686 · 10−3

PARÁMETROS DEL MODELO NO LINEAL [9]

Definiendo las ecuaciones se obtiene m  t A= + mtr + mts It 2 m  m + mmr + mms Im B= 2  m b Ib + mcb Icb C= 2 sustituyendo en la ecuacion se obtirnr una forma compactada para la expresión M v1 = g ([A − B] cos (αv ) − C sin (αv )) Mv2 y Mv4 correponden al momento de fuerza de eje producida po el rotor principal y el momento de roce a asociada a la velocidad de giro, respectivamente cuyas expreciones son

Figure 6. Diagrama de momentos de fuerza para el eje vertical[8]

Mv2 = Im Fv (ωm ) El primero de los momentos Mv1 se expresa como .

Mv4 = −αv Kv = −Ωv Kv Mv1 = g {[(A) − (B)] cos (αv ) − (C) sin (αv )} con • Mv1 : Torque de retorno para las fuerzas de gravedad. • mmr : Masa del motor CC con el rotor principal. • mm : Masa del rayo pivote-motor principal. • mtr : Masa del motor CC con el rotor de cola. • mt : Masa del rayo pivote-motor de cola. • mcb : Masa del contrapeso. • mb : Masa del rayo pivote-contrapeso. • mms : Masa del escudo principal. • mts : Masa del escudo de cola.

ωm : Velocidad angular del rotor principal. Fv : Fuerza propulsora del rotor principal. Ωv : Velocidad angular alrededor del eje horizontal. kv : Constante de roce. La expresión Mv3 corresponde al momento de fuerzas centrífugas relacionadas al movimiento del rayo alrededor del eje definida como Mv3 = −Ω2 {[(A) + (B) + (C)] sin (αv ) cos (αv )} con

5

Ωh : Velocida angular alrededor del eje vertical. Agrupando constantes se obtiene Mv3 = −Ω2 [A + B + C] sin (αv ) cos (αv ) Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje horizontal se expresan como l2 2 Jv1 = mmr lm , Jv2 = mm m 3 l2 2 Jv3 = mcb lcb , Jv4 = mb 3b l2 Jv5 = mtr lt2 , Jv6 = mt 3t 2 2 2 Jv7 = m2ms rms + mms lm , Jv8 = mts rts + mts lt2 con rms : Radio del escudo principal. rts : Radio del escudo de cola. Es importante mencionar que estos momentos de inercia no dependen de la posición del sistema y son constantes en el tiempo. B. MODELO HORIZONTAL Este modelo horizontal, aún cuando tiene una base en la 2da ley de Newton y en el modelo fenomenológico del modelo vertical.

Figure 7. Momentos de fuerza para el nuevo modelo horizontal[9]

Mh1 se representa como Mh1 = D {E cos (αh ) − F sin (αh )} con D, E, F constantes a determinar experimentalmente, Mh2 y Mh4 son momentos análogos al modelo vertical dados por: Mh2 = lt Fh (ωt ) Mh4 = −αh kh = −Ωh kh Mh3 corresponde al momento de fuerza producido por el rotor principal y se modela simplemente como Mh3 = k1 F1 (ωm ) Las componentes de los momentos de inercia relativos al eje vertical se suponen constantes, independientes de la posición del sistema y su suma será una nueva constante a determinar.

C. Identificacion de la Planta. Para la identificacion de la planta se uso los comandos en matlab iddata para la adquisicion de los vectores de salida del la planta, ademas una vez adquiridos los vectores de datos se aplico el comando n4sid el cual procesa los datos muestreados de la planta para poder estimar un modelo aproximado al real en el cual se denota el porcentaje de coincidencia el cual debe superar el 80% para poder establecer un buen control del sistema que se aproximo. Para la prueba de la planta se diseño una señal PRBS la cual se envio al vector de entrada del sistema, ademas observando la planta se determino por el fabricante que como la planta tiene el punto de trabajo 0 dependiendo del punto de trabajo con el que se va a identificar debe el sistema colocarse en la parte central en la cual debe haber una constante angular de 1.5 la cual en la identificacion hara pendular con punto de equilibrio en el centro. 1) iddata: Requisitos para la construcción de un objeto iddata Para construir un iddata objeto, debe ya ha importado los datos en el espacio de trabajo de MATLAB, como se describe en el dominio del tiempo de representación de datos . La construcción de un objeto iddata para Time-Data Domain Utilice la siguiente sintaxis para crear un dominio de tiempo iddata objeto de datos : data = iddata (y, u, Ts) También puede especificar propiedades adicionales, como sigue: data = iddata (y, u, Ts, ’Property1’, Valor1, ..., ’PropertyN’, valorN) Para obtener más información sobre cómo acceder a las propiedades del objeto, vea Propiedades . Aquí, Ts es el tiempo de muestreo o el intervalo de tiempo, entre las muestras de datos sucesivos: Para los datos de la muestra de manera uniforme, Ts es un valor escalar igual al intervalo de muestreo de su experimento. Para los datos de manera no uniforme en la muestra, Ts es [] , y el valor de la SamplingInstants propiedad es un vector columna que contiene los valores de tiempo individual. Por ejemplo: data = iddata (Y, U, [], ’SamplingInstants’, TimeVector) donde TimeVector representa un vector de valores de tiempo. La unidad de tiempo es en segundos, pero puede especificar cualquier cadena de unidad mediante el TimeUnit propiedad. Para obtener más información acerca de iddata propiedades de tiempo, consulte Modificación de Tiempo y vectores de frecuencia . Para representar los datos de series de tiempo, utilice la siguiente sintaxis: ts_data = iddata (y, [], Ts) donde Y es los datos de salida, [] indica los datos de entrada vacías, y Ts es el intervalo de muestreo. El siguiente ejemplo muestra cómo crear un iddata objeto utilizando single-input/single-output (SISO) los datos de dryer2.mat . La entrada y la salida de cada uno contiene 1000 muestras con el intervalo de muestreo de 0,08 segundo. cargar dryer2% u2 Entrada de carga y y2 salida. data = iddata (y2, u2, 0,08)% Crear objeto iddata. MATLAB devuelve la siguiente salida: Datos de dominio de tiempo Fija con 1.000 muestras. Intervalo de muestreo: 0,08 Unidad de Salidas (si se especifica) y1 Unidad de Insumos (si se especifica) u1

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El canal por defecto el nombre ’y1’ se asigna al primer y único canal de salida. Cuando y2 contiene varios canales, los canales se asignan nombres por defecto ’y1’, ’y2’, ’y2’, ..., ’yn’ . Del mismo modo, el canal predeterminado nombre ’u1’ se asigna al primer y único canal de entrada. Para obtener más información acerca de nombres de canal, consulte Naming, añadir y eliminar canales de datos . 2) n4sid: sys = n4sid (datos, nx) sys = n4sid (datos, nx, nombre, valor) sys = n4sid (_ , opt) [sys, x0] = n4sid (_ ) Descripción sys = n4sid ( datos , nx ) estima un nx modelo de espacio de estado, orden, sistema , utilizando los datos de entrada-salida de medición, los datos . sys es un modelo que representa el sistemaen espacio de estados. Donde A, B , C , y D son matrices de espacio de estado. K es la matriz de perturbación. u ( t ) es la entrada, y ( t ) es la salida, x ( t ) es el vector de nx estados y e ( t ) es la perturbación. Todas las entradas de la A , B , C y K son matrices de parámetros de estimación libres por defecto. D se fija en cero por defecto, lo que significa que no hay ninguna conexión de interfaz, a excepción de los sistemas estáticos ( nx = 0 ). sys = n4sid ( datos , nx , nombre, valor ) especifica los atributos adicionales de la estructura de espacio de estado utilizando uno o más nombre, el valor del par de argumentos. sys = n4sid (_ , opt ) especifica opciones de estimación, opt , que configuran los estados iniciales, objetivo de estimación, y las opciones de algoritmos relacionados subespacial que se utilizará para la estimación. [ sys , x0 ] = n4sid (_) también devuelve el estado inicial estimado. 3) compare: compare(data,sys) compare(data,sys,prediction_horizon) compare(data,sys,style,prediction_horizon) compare(data,sys1,...,sysN,prediction_horizon) compare(data,sys1,style1,...,sysN,styleN,prediction_horizon) compare(_,opt) [y,fit,x0] = Compare (_) Descripción Comparar ( datos , sys ) traza la respuesta simulada de un modelo de sistema dinámico, sys , superpuesta sobre los datos de validación, los datos , para comparación. La trama también muestra la raíz cuadrada media normalizada (NRMSE) medida de la bondad del ajuste. La coincidencia de los canales de entrada / salida de datos y sistema se basa en los nombres de los canales. Así, es posible evaluar los modelos que no utilizan todos los canales de entrada que están disponibles en los datos . Compare ( datos , sistemas , prediction_horizon ) compara la respuesta prevista de sistemas a la respuesta medida en los datos . Compare ( datos , sistemas , estilo , prediction_horizon ) utiliza el estilo para especificar el tipo de línea, símbolo de marcador, y el color. Compare ( datos , sys1, ..., sysN, prediction_horizon ) compara las respuestas múltiples sistemas dinámicos en los mismos ejes. comparar escoge automáticamente los colores y

estilos de línea en el orden especificado por los ColorOrder y LineStyleOrder propiedades de los ejes actuales. Compare ( datos , sys1, style1, ..., sysN, Stylen, prediction_horizon ) compara las respuestas múltiples sistemas en los mismos ejes utilizando el tipo de línea, símbolo de marcador, y el color especificado para cada sistema. Compare (_, opt ) configura la comparación utilizando un conjunto de opciones. 4) Señal PRBS.: Una señal PRBS es una clase de secuencias aleatorias binarias que son periódicas, esto es, son secuencias infinitas formadas por una subsecuencia aleatoria binaria de duración T que se repite periódicamente. Debido a su característica periódica pero a la vez aleatoria, a estas secuencias se las denomina “secuencias seudoaleatorias”, El término “seudo-aleatorio” significa que la señal es aleatoria en apariencia pero reproducible por medios determinísticos. Las secuencias seudoaleatorias no se producen espontáneamente sino que son generadas por métodos artificiales; este hecho es de gran importancia pues permite la reproducción de señales seudoaleatorias idénticas, lo cual es imposible de lograr con secuencias aleatorias de cualquier otro tipo. Las secuencias seudoaleatorias son muy utilizadas en el campo de la ingeniería eléctrica, sobre todo en el dominio de las telecomunicaciones, y sería de interés conocer sus características temporales y frecuenciales, en particular su función de autocorrelación y su densidad espectral de potencia. • Generación de la señal PRBS Debido a su naturaleza periódica y determinística, las secuencias seudoaleatorias se pueden generar en forma artificial. Esto es de capital importancia en el campo de las telecomunicaciones pues permite la generación de réplicas exactas y sincronizadas tanto en el transmisor como en el receptor. Se puede decir que las secuencias seudoaleatorias son una subclase importante de las secuencias binarias recurrentes, las cuales se pueden generar mediante dispositivos lineales retroalimentados muy fáciles de realizar con registros de desplazamiento digitales corrientes. Las secuencias seudoaleatorias de interés en telecomunicaciones deben cumplir con las siguientes condiciones: (1) Que sean fáciles de generar (2) Que posean las propiedades aleatorias necesarias (3) Que su período sea grande (4) Que sean difíciles de reconstruir a partir de un corto segmento de la secuencia La velocidad de bits, o el número de bits por segundo, se determina por la frecuencia de un reloj externo, que se utiliza para accionar el generador. Para cada periodo de reloj de un solo bit es emitida desde el generador, ya sea en el ’1 ’o ’0’ nivel, y de una anchura igual al periodo de reloj. Por esta razón el reloj externo se conoce como un reloj de bit. El patrón de secuencia se repite después de un número definido de períodos de reloj. En un generador típico la longitud de la secuencia se puede establecer en periodos de reloj 2n, donde n es un número entero. Aqui se ingreso una señal PRBS con 1666 muestras ademas se tiene un rango de amplitud de la señal desde -0.8 hasta 0.8, todo el proceso se realizo en matlab exportando datos al simulink.

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Señal PRBS obtenida.

Figure 8. Codigo en Matlab para la señal PRBS

Figure 10. Identificacion de la planta mediante señal PRBS.

Figure 9. Identificacion de la planta mediante señal PRBS.

D. Graficas de la identificacion mediante espacio de estados. Para la identificacion se tomo como tiempo de mustreo de 0.03s con lo cual nos entrega 33.333 muestras por segundo, ademas el tiempo de simulacion es de 50seg con lo cual nos da 1667. luego de la identificacion de las matrices de estado en la forma canonica se realizo un script mediante el cual ingresamos las matrices de estado obtenidas, con lo cual se obtiene la funcion de trasnferencia del sistema la cual nos demuestra que es inestable el modelo mas no el sistema, para lo cual se analizo la matriz de controlabilidad. para poder ver que se puede controlar y observar el sistema se realizo un script2 en matlab(el cual esta en el anexo del proyecto) el cual nos revela los valores de las matrices de controlabilidad y observabilidad asi como su rango para ver si son completamente controlables y observables con lo cual para el control se pueden defirnir los polos en cualquier parte del semiplano izquierdo. Para las respuestas de las matrices de controlabilidad y observabilidad se obtuvo. 1) Criterio de controlabilidad : Para que una matriz A de n*n sea controlable el determinante de la matriz [B AB A^2B A^3B] debe ser n.

Figure 11. Matrices de estado del sistema.

8

Figure 12. Identificacion de la planta mediante señal PRBS. Figura 14. codigo en matlab para sacar matriz de controlabilidad

Figura 15. matriz de observabilidad Figura 13. matriz de controlabilidad



0 A= 0 0,967

1 0 −2,931

 0 1  2,964



 −0,000612 B =  −0,00054425  −0,000442 C=



1

0

0



Para obtener la matriz de controlabilidad M = [B AB A2 B A3 B] A continuacion se presenta el codigo desarrollado en Matlab Y obteniendo un rango de controlabilidad de 3 por lo cual es igual al orden del sistema por tanto es controlable

2) Criterio de observabilidad: Para que una matriz A de n*n sea controlable el determinante de la matriz [C*|A*C] debe ser n. matriz de observabilidad   0 1 0 0  20,601 0 0 0   A=  0 0 0 1  −0,4905 0 0 0   0  −1   B=  0  0,5 C=



0

0

1

0



A continuacion se presenta el codigo desarrollado en Matlab Y obteniendo un rango de observabilidad de 3 por lo cual es igual al orden del sistema por tanto es observable

9

control signal 1.5

1

0.5

0

-0.5

20

15

10

5

Figura 16. codigo en matlab para sacar matriz de observabilidad

0

-5

E. Graficas de la respuesta del sistema.

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Time offset: 0

En la figura 13 se puede observar la señal controlada del angulo de elevación (Pitch) y del (Yaw) al momento que ensendemos el sistema TRMS

Figure 18. Señal de la constate del angulo y del pitch

En la figura 15 se puede observar el diagrama de control en simulink pitch 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

In1

PCI1711 Lab I/O Board

0.3

0.5

pitch

PCI1711 Lab I/O Board

Constant

In2

Feedback DAC Feedback Encoder

0.2

control signal

K*u

yaw

K2 TRMS pitch and yaw

0.1

Rotor

Add1

Product3

u

K

Pitch and yaw angle y

To Workspace2

K* u

To Workspace

0

0 Constant1

PCI1711 Lab I/O Board Feedback DAC

Feedback Instruments Limited

-0.1

Tail

-0.2 B* u

4

x 10

1 C* u

-3

yaw

H1

z Add2

Product2

Unit Delay2

C1

Product1

A* u

3

G1

Ke* u

2 Ke Version 1.10

1

0

-1

Figure 19. Diagrama de control en simulink

-2

-3

-4

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Time offset: 0

Figure 17. Señal controlada del Pitch y del Yaw

En la fugura 14 se puede observar la señal de referencia que seria el ángulo al que se va a estabilizar y a su vez muestra el vector de entrada, la señal del Pitch que se esta estabilizando con la señal de referncia de 0.5.

V. C ONCLUSIONES Para identificar la planta se tuvo problemas para obtener el menor rango de error posible de la señal identificada con la señal real para obtener una identificación adecuada se tuvo que variar alguno parámetros de la señal PRBS la cual era la señal de ingreso para realizar la identificación de la planta, dentro de los parámetros que se variaron se encuentran la frecuencia de la señal PRBS, la amplitud de la señal PRBS además del tiempo y el número de muestras durante la simulación finalmente se obtuvo una señal identificada con un 87% de

10

similitud con la señal real lo cual nos indicó que es un modelo bueno para trabajar. La ventaja de esta planta es que está diseñada para trabajar en el control y no hubo problema trabajar en ella en cambio si hubiésemos armando nosotros la planta la identificación de la planta no hubiese sido correcta ya que no se toman todos los aspectos dinámicos de la planta. El sistema resultante fue de tercer orden por lo cual se tienen 3 variables de estado de las cuales solo uno es medible (el angulo de elvacion) por esto es control por realimentacion de estados se tuvo que realizar con observador. Realizar el diseño de controlador fue relativamente sencillo ya que en la identificacion de la planta nos entrega tambien las matices de estado. Después de esto es muy sencillo encontrar el vector de realimentación de ganancias K, se realizo mediante matlab. Es interesante ver que en el control por realimentación de estados solo se necesita encontrar el valor de la matriz K con los polos deseados y al fin de cuentas se está realimentado el sistemas con ganancias para cada estado en comparación con la teoría del control clásico en el cual intervienen una serie de análisis más complejos para realizar el diseño del controlador. Ademas de esto el diseño del observador utiliza el mismo metodo para encontrar el vector K para la realimentacion de los estados pero los polos planteados para este caso deben estar lo suficientemente alejados de los polos de la planta para que pueda observar los estados. Finalmente se puede recalcar que el control por realimentación de estados es muy efectivo y relativamente fácil de diseñar en comparación al control clásico. PÁGINAS W EBS http://www.mathworks.com/help/ident/ref/iddata.html http://www.mathworks.com/help/ident/ref/n4sid.html http://www.mathworks.com/help/ident/ref/compare.html R EFERENCES [1] Sistemas de Control Moderno de Bishop Décima Edición [2] Balas, G., Doyle, J., Glover, K., Packard, A. and Smith, R. (1998). “µ Analysis Toolbox for use with MatLab”, The MathWorks, Inc. [3] Doyle, J., Grover, K., Khargonekar, P. and Francis, B. (1989). “State-Space Solutions to Standard H2 and H∞ Control Problems”. IEEE Trans. on Automatic C [4] Chiang, Y. and Safonov, R.(1998). “Robust Control Toolbox for use with MatLab”, The MathWorks, Inc. [5] http://www-ma3.upc.es/codalab/fitxers/sem/G-Pujol260506.pdf [6] http://homepages.laas.fr/henrion/courses/lmi11/ [7] http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/getstart/brz18pm.html [8] Feedback Instruments Ltd, Twin Rotor MIMO System Control Expriments, 33-949S, Laboratory Manual. [9] JAVIER OLGUÍN PIZARRO, ESTRATEGIAS AVANZADAS PARA EL CONTROL DE UN SISTEMA MIMO DE 2 ROTORES