Teoria e Aplicações do Critério de Kelly

ET-231 TEORIA DA INFORMAÇÃO, 14 DE JULHO DE 2015, SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP

Teoria e Aplicações do Critério de Kelly Rafael Alessi Muntsch

Resumo—Este artigo descreve a teoria e aplicações de um dos sistemas de aposta mais utilizados e populares por apostadores e investidores para avaliar o valor ótimo referente ao capital disponível a ser investido em um determinando evento ou portfolio de investimentos baseado nas probabilidades dos resultados do mesmo. Palavras-Chave—Critério de Kelly, Teoria da Informação, Otimização de investimentos. Abstract—This article describes the theory and applications of one the most known and popular formulas used by the gamblers and stock market investors to wage the optimal bet of a determined event or investment portfolio based on the probabilities of their outcomes.

II.

TEORIA DO CRITÉRIO DE KELLY

O critério de Kelly se baseia no principio da teoria apresentada para comunicação de informação por canais ruidosos. Ele abordou a aplicação desses conceitos para outros fins nas quais o receptor se beneficia do conhecimento das probabilidades de ocorrência de cada símbolo para prever futuros resultados. O exemplo explorado por John L. Kelly em seu artigo é o cenário na qual um apostador utiliza esse conhecimento para apostar de um modo rentável em um determinado evento no longo prazo. Para exemplificar o cenário de apostas, primeiramente se apresenta um caso simples de uma fonte binária, então uma abordagem genérica do critério de Kelly.

Keywords—Kelly Criterion, Information Theory, bet and investment optimization.

I.

INTRODUÇÃO

Diversos apostadores profissionais e investidores utilizam modelos matemáticos e formulas para otimizar o crescimento do seu capital inicial. O modelo mais utilizado e popular é o Critério de Kelly. Ele foi elaborado por John Larry Kelly Jr. em 1956 através de um artigo chamado A New Interpretation of Information Rate [1]. O artigo estipula uma regra para avaliação se uma determinada aposta ou investimento é rentável. Além disso, caso afirmativo, ela determina o percentual ótimo do montante disponível a ser investido por rodada nesse mesmo evento [2]. A fórmula elaborada por John L. Kelly Jr, com auxílio do seu colega de trabalho Claude E. Shannon, pioneiro no desenvolvimento da área de Teoria da Informação [3], utilizando conceitos de transmissão de informação por canal para encontrar a proporção ótima de investimento por rodada para um determinado evento de duração estipulada como infinita e na qual o apostador tem conhecimento, ou palpite aproximado, das probabilidades dos resultados possíveis. O critério de Kelly ficou amplamente popular entre apostadores após Edward O. Throp lançar o livro Beat the Dealer [4] em 1962 na qual ele discorre sobre a aplicação da formula para um sistema de apostas. Outro momento importante para a disseminação desse modelo matemático foi o livro Fortune’s Formula de Willian Poundstone [5]. O bestseller apresenta como utilizar o critério de Kelly para fundos de investimentos diversificados. O artigo demonstra matematicamente o Critério de Kelly em diversos cenários e apresenta suas vantagens e desvantagens como um sistema de apostas. Por fim, ele conclui a importância do conceito dentro e fora da área de previsão de resultados e otimização de capital investido.

A. Fonte Binária A transmissão em um canal de fonte binária. pode ser exemplificada como o resultado de uma partida de beisebol com times com chance de vitórias equiprováveis: vitória ou derrota. O apostador aposta todo o seu montante inicial em um dos resultados esperados da partida. Consideramos V0 o capital inicial do apostar e Vn o montante após N apostas, as probabilidades serão apresentadas como q de acerto e p de erro da informação transmitida. Portanto, o valor esperado do capital do apostador é representado pela seguinte fórmula. .

〈Vn 〉 = (2q) N V0

(1)

Entretanto, se q < 1, observaremos em uma longa sequencia de N eventos, haverá algum momento na qual o apostador perderá todo o seu capital, pois o resultado obtido foi diferente do qual ele apostou. Esse possível resultado leva o apostador a conclusão que se deve apostar apenas uma fração do seu capital por rodada, representada pelo símbolo l, afim de não perder todo o montante obtido, além do inicial. Partindo do pressuposto que teremos vitórias, W, e derrotas, L, o capital esperado após N eventos é dado pela seguinte fórmula: .

〈Vn 〉 = (1 + l )W (1 − l ) LV0

(2)

Com o intuito de analisar o crescimento do capital do apostador para a fórmula acima, definimos G como a taxa de crescimento exponencial do montante obtido após o evento em relação ao investido inicialmente, então temos: .

1 V G = log n N V0

(3)

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A fim de encontrar a relação das probabilidades de acerto e erro do resultado esperado, aplicamos o limite na função G considerando um N tendendo ao infinito, e também substituímos a fórmula (2) em (3), assim temos: .

L ⎛ W ⎞ G = lim ⎜ log(1 + l ) + (1 − l ) ⎟ N →∞ N N ⎝ ⎠

(4)

Visto que para N suficientemente grande temos o valor esperado da relação entre vitórias e eventos, como também a proporção de derrotas para eventos, como as probabilidades de acerto e erro do resultado obtido, então:

G = q log(1 + l ) + p log(1 − l ) com probabilidade 1 (5) Pode se observar na fórmula acima que a taxa de crescimento exponencial do capital do apostador é função da proporção apostada em cada rodada passível de aposta. Como o intuito do apostador é otimizar o crescimento do montante investido, devemos maximizar G em relação à l. Para isso, a função tem a sua derivada igualada a zero, então:

Gmax =

informação podem ser aplicados em diversas áreas aonde se tem interesse de prever resultados a partir da probabilidade dos resultados, como por exemplo apostas e investimentos. Essa seção descreveu o critério de Kelly para fontes binárias. Na próxima seção será apresentada uma abordagem genérica para uma fonte transmissão de m informações. B. Caso Geral do Critério de Kelly O caso geral do critério de Kelly tem o intuito de apresentar uma expressão genérica para avaliar o crescimento exponencial ótimo para canais com m informações transmitidas e probabilidades diferentes. Um exemplo de caso geral de apostas é uma corrida de cavalos. Temos diversos cavalos correndo a corrida, cada um com características distintas, como exemplo o tempo de arrancada, aceleração e velocidade máxima. Tais atributos caracterizam cada cavalo como mais ou menos propensos a ganhar a corrida. Portanto, um apostador professional em corrida de cavalos, possui conhecimento prévio ao evento da performance de cada cavalo no páreo e tem um ótimo palpite de qual será o vencedor da corrida.

∂ (q log(1+ l) + p log(1− l)) = 0 ∂l

(6)

q p − =0 1+ l 1− l

(7)

Desta maneira, é feita uma aposta proporcional ao total capital, a(s/r), utilizando a informação prévia, r, para apostar em um dos cavalos competidores, s, o valor pago pela aposta feita é tido como α s e o número de vezes que s é recebido dado

l* = q − p

(8)

que r foi transmitido é a variável Wsr . Assim, temos a seguinte formula para o capital após N eventos:

Gmax =

Para exemplificar o resultado obtido na fórmula (8), a Figura 1 demonstra a taxa máxima de crescimento exponencial do montante em dois distintos casos de probabilidades da fonte binária.

Wsr

VN = ∏ [ a(s / r)α s ] V0

(11)

r,s

Fazemos algumas modificações na expressão acima para explicitarmos ela em taxa de crescimento exponencial do capital.

log

Vn = ∑Wsr log a(s / r)α s Vo

(12)

Tal como fizemos na expressão (4), consideramos um n suficientemente grande, temos pela lei fraca dos grandes números a seguinte fórmula:

1 V log n = ∑ p(s, r)log a(s / r)α s c/ prob. 1 (13) n→∞ N Vo

lim Fig. 1.

Variação de Gmax em relação à l *

Ao encontrarmos a expressão de l , o seu valor é substituido na função (6) para encontrar a taxa maxima de crescimento exponencial do capital. Assim chegamos a seguinte expressão:

Gmax (l * ) = 1+ q log(q) + p log( p)

(9)

A expressão (9) da otimização do crescimento do investimento é igual a expressão de transmissão de informação binária por um canal ruidoso definida por Shannon:

Gmax (l * ) = 1+ H ( p) = R

(10)

Tal afirmação comprova a teoria apresentada por Kelly na qual os conhecimentos de capacidade do canal da teoria de

Partindo inicialmente do pressuposto que as apostas tenham distribuição justa, ou seja, todo o dinheiro arrecadado das apostas é distribuído entre os apostadores. Temos:

αs =

1 p(s) 1

∑α

(14)

=1

(15)

s

Dado as considerações acima, substituímos (14) em (13) para evoluir na expressão da taxa de crescimento exponencial do capital. Assim temos:

G = ∑ p(s, r)log r,s

a(s / r) p(s)

(16)

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= ∑ p(s, r)log a(s / r) − ∑ p(s, r)log p(s) (17) r,s

Gmax = −H (X | Y ) + ∑ p(s)log(α s )

r,s

= ∑ p(s, r)log a(s / r) − ∑ p(s)log p(s) r,s

s

(18) (19)

r,s

& ∂ # %%∑ p(s, r)log a(s / r)(( + λ ∑ a(s / r) = 0 ∂a(s / r) $ r,s '

(28)

Outras conclusões significativas e não facilmente descobertas sobre a taxa de crescimento exponencial máxima do caso acima são descritas por John L. Kelly em seu artigo: 1.

O apostador pode ignorar as distribuições de probabilidades estimadas pelo bookie, que representam os valores para pagos por cada resultado, pois a sua aposta proporcional é sempre relacionada a probabilidade verdadeira do resultado ocorrer.

2.

Como já mencionado anteriormente, a relação entre o ganho de uma aposta já não é necessariamente inverso a sua probabilidade, porém podemos inferir que o valor mínimo de H(α) é igual a H(X), dado a expressão (14). Portanto, temos a menor taxa de crescimento exponencial do capital quando o jogo tem probabilidades justas. Isso representa que o apostador que utilizar o Critério de Kelly terá vantagens caso o jogo não possua probabilidades justas.

3.

Outro ponto importante é relacionado a analogia à capacidade do canal. Quando não houver informação prévia sobre o evento, ou seja, H(X|Y) é igual a H(X), teremos a capacidade do canal como R= H(α) –H(X). Tal afirmação indica que se as probabilidades forem justas, teremos a mesma relação descrita acima, então a taxa de crescimento exponencial do capital será zero. Isso representa a inexistência de canal, que pode ser interpretada como a descaracterização do evento como uma aposta.

Chegamos no resultado que a maximização de G em função de a(s/r) ocorre em:

a(s / r)* = p(s / r)

(21)

Assim, ao substituir a expressão (21) em (19), temos:

G *max = ∑ p(s, r)log p(s / r) + H (X)

(22)

r,s

G *max = H (X) − H (X | Y )

(23)

Ao compararmos o resultado da fórmula (23) aos resultados obtidos por Shannon na teoria de Capacidade de Canal, na qual:

C = max I(X;Y ) = max H (X) − H (X | Y ) p( x )

(24)

Podemos concluir que Critério de Kelly para a utilização da teoria de capacidade do canal pode ser estendida para qualquer fonte de informação de m informações enviadas por um canal. Nessa primeira análise foi discutido o caso de apostas justas, porém existe o caso mais próximo da vida real, na qual as proporções não são totalmente distribuídas entre os apostadores. Parte do valor excedente é retido pela casa de apostas, como exemplo. Nesse caso, a expressão (14), referente ao valor pago por determinado resultado não é necessariamente proporcional a sua probabilidade. Entretanto, a expressão (15) continua válida, pois o somatório dos ganhos das apostas ainda permanece igual a 1. Dado as considerações acima descritas, a fórmula (13) é modificada, assim temos:

G = ∑ p(s, r)log a(s / r) − ∑ p(s, r)log(α s ) (25) r,s

H (α ) = −∑ p(s, r)log(α s )

O novo resultado obtido na expressão (26) para o Critério de Kelly, se comparado a expressão (21), ainda se mantém a mais interessante opção para o apostador, pois mesmo em jogos na qual ele poderia ter o lucro reduzido devido ao corte de parte do montante à ser distribuído, é interessante manter a aposta proporcional.

(20)

p( x )

(27)

r,s

A expressão (19) nos demonstra que a taxa de crescimento exponencial está diretamente relacionada com a entropia da fonte do evento. Para maximizarmos novamente a função G, devemos encontrar o valor ótimo da aposta em s dado r. Se aplicarmos Lagrange e igualarmos a zero, lembrando da restrição do somatório de a(s/r) é igual a 1, temos:

Gmax =

Gmax = −H (X | Y ) + H (α s ) Sendo,

s

G = ∑ p(s, r)log a(s / r) + H (X)

(26)

r,s

Os mesmos procedimentos utilizados anteriormente para otimização da taxa de crescimento exponencial são aplicados na fórmula (25). Intuitivamente, o resultado obtido é o mesmo da fórmula (21). Fazendo a substituição de (21) em (25) e já substituindo a primeira parte da equação pelo resultado fornecido na expressão (22), obtemos:

O conteúdo descrito nessa seção apresentou os fundamentos do critério de Kelly, entretanto o seu formato mais popular difere levemente das expressões previamente demonstradas. A próxima seção apresenta a versão simplificada e amplamente utilizada por apostadores e investidores. III.

APLICAÇÃO PRÁTICA DO CRITÉRIO DE KELLY

A fim de simplificar a utilização do Critério de Kelly e facilitar o seu uso no dia-a-dia dos apostadores e investidores, se tomou uma abordagem levemente diferente da apresentada para o canal com fonte binária na seção II.A, agregando o valor pago pela aposta, b, na expressão (4). Assim, temos:

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Gmax =

∂ (q log(1+ bl) + p log(1− l)) = 0 ∂l

(29)

Utilizando os mesmos passos previamente descritos para maximizar G, teremos como resultado final a fórmula amplamente conhecida como Critério de Kelly:

l=

pb − q b

(30)

Outro ponto importante, a expressão (8) é um caso especifico da fórmula (30), na qual os apostadores recebem o valor 1-para-1 quando acertam o resultado, ou seja, b=1. A expressão acima apresenta dois resultados importantes para o apostador de maneira simples e rápida, primeiro se ele deve apostar no evento e segundo qual a porção do seu montante deve ser investido em cada aposta. Caso l seja negativo, o apostador terá um decréscimo de capital no longo prazo caso decida apostar nesse evento. No caso de l > 0, temos a taxa de crescimento de capital investido positivo ao longo do tempo, como também teremos o valor ótimo a ser apostado por rodada. De acordo com o Critério de Kelly, se estivermos acima da condição de valor ótimo, estaremos praticando o overbetting, o que representa uma aposta de risco elevado que no longo prazo pode prejudicial. Se estivermos apostando abaixo do Critério de Kelly, temos o underbetting, que pode ser interpretado como o apostador não tirar vantagem das probabilidades do evento, o que pode levar à um capital abaixo do esperado. A Figura 2 apresenta um exemplo dos 3 cenários descritos acima para um mesmo evento: utilizando o Critério de Kelly, overbetting e underbetting para uma série de N eventos dentro de um cenário aonde q=0,7 e b = 1/q. Ao aplicarmos a fórmula (30), chegamos no valor de 0,49 como proporção ótima de aposta no evento.

Fig. 2.

Exemplo da Aplicação Prática do Critério de Kelly [q=0,7]

Como pode ser observado na figura acima, o Critério de Kelly maximiza a taxa de crescimento exponencial de capital para uma série de rodadas de apostas. Apesar dos resultados demonstrados nessa seção, existem algumas criticas e pontos negativos desse sistema de apostas que serão apresentados na próxima seção. IV.

DESVANTAGENS DO CRITÉRIO DE KELLY

O principal ponto negativo do Critério de Kelly é ser muito arriscado no curto prazo, devido as frações de apostas grandes impostas pela fórmula no caso de apostas muito favoráveis ao apostador. O que pode parecer muito atraente ao apostador pode levar ele rapidamente a perder o seu capital caso nas primeiras rodadas obtenha resultados desfavoráveis. Uma proposta criada para ser mais cauteloso nesses casos é o chamado Kelly fracional [7]. O conceito dessa modificação da teoria de Kelly é apostar uma fração do resultado do sugerido como ótimo, geralmente 50% do Critério de Kelly, com o intuito de não sofrer um grande impacto no capital caso no curto prazo os resultados não forem satisfatórios. Outro ponto interessante é o tempo esperado de retorno do Critério de Kelly. Por se fundamentado na lei fraca dos grandes números, se parte do pressuposto na qual a longevidade do evento é infinita, pode se levar um número relativamente grande de rodadas do evento para um determinado valor esperado de retorno do capital. V.

O conceito do Critério de Kelly desde a sua criação tem sido amplamente utilizado por apostadores e investidores, além de largamente discutido pela comunidade acadêmica. É um tópico tido como essencial para certas profissões e cursos, como também um primeiro passo para aperfeiçoamento em diversas áreas que envolvem gestão de riscos [8]. Independente das discussões relacionadas ao assunto, o maior triunfo da teoria de John L. Kelly foi fazer uma analogia aos conhecimentos de Teoria da Informação recém modelados pelo seu colega Claude E. Shannon a eventos nas quais um observador tem interesse em prever o resultado a partir das suas probabilidades, como por exemplo apostas em corrida de cavalos e investimentos na bolsa de valores. A abordagem de Kelly ajudou a estender as aplicações da Teoria da Informação para diversos campos além do seu objetivo primordial de prever transmissão de informações em canais de comunicação. O Critério de Kelly se mostra um ótimo sistema de apostas ao apresentar matematicamente e utilizar dois conceitos muito importantes na observação de eventos com probabilidades de resultados diferentes: a noção de perpetuidade infinita do evento e a quantidade de risco ótima para atingir resultados em longo prazo. Tais conceitos foram observados em estudos psicológicos em apostadores e investidores profissionais, mesmo que inconscientemente, eles entendem que os resultados esperados acontecem em longos prazos e a melhor aposta é proporcional ao risco implícito do resultado, a ganância exacerbada ou comedida não chega a resultados ótimos. REFERÊNCIAS [1] [2] [3] [4]

O Critério de Kelly é um tema amplamente discutido desde a sua criação em 1956. Diversos apostadores e investidores, alegam ter aumentado seu capital se baseando no sistema de apostas proporcional. Contudo, esse modelo possui algumas desvantagens que devem ser analisadas pelo jogador antes de utiliza-la [6].

CONCLUSÕES

[5] [6]

J. Kelly. A new interpretation of the information rate. Bell System Technical Journal, 35:917–926, 1956. Thomas M. Cover e Joy A. Thomas, Elements of Information Theory, A John Willey & Sons , INC., Publication, pp. 159-166, 2006 1C.E. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, B.S.T.J., Oct., 1948. Edward O. Thorp, Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One, Knopf Doubleday Publishing Group, 1966 Willian Poundstone, Fortune’s Formula, Macmillan, 2010 L. MacLean, E. Thorp, e W.T. Ziemba. Long-term capital growth: The good and bad properties of the kelly criterion. Quantitative Finance, 10(7), pp.681–687, 2010.

ET-231 TEORIA DA INFORMAÇÃO, 14 DE JULHO DE 2015, SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP [7]

L. MacLean, E. Throp e G. Blazenko, Growth Versus Security in Dynamic Investment Analysis, School of Business Administration, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia, Canada V5A 1S6, pp. 1562-1585, Novembro 1992

[8]

Dylan Evans, Risk Intelligence: How to Live with Uncertainty, Free Press, 2012.