Terciaria básica de Circuitos

CAPÍTULO 1  Introducción    1.1Cantidades básicas    Un  circuito  eléctrico  está  definido  como  una  interconexión  de  componentes  eléctricos.    La  cantidad  más  elemental  en  el  análisis  de  circuitos  eléctricos  es  la  carga  eléctrica.  En  el  sistema  métrico  la  carga  se  mide  en  coulombs  (C).  La  carga  sobre un electrón es negativa y de magnitud igual a 1.602 x 10‐19 C.    Un circuito eléctrico es esencialmente un conducto que facilita la transferencia  de carga desde un punto a otro. La razón de cambio de la carga con respecto  al tiempo constituye una corriente eléctrica. 

 

Donde  i(t)  y  q(t)  representan  a  la  corriente  y  carga,  respectivamente  (las  minúsculas representan dependencia del tiempo).    La unidad básica de corriente es el Ampere (A), y 1 ampere representa la carga  de 1 coulomb por segundo.    Aunque se sabe que el flujo de corriente en un conductor metálico procede  del  movimiento  de  electrones,  el  flujo  de  corriente  convencional,  adoptado  universalmente, representa el movimiento de cargas positivas.    El simbolismo que se usará para representar el flujo de corrientese muestra en  la figura 1.3.  

  Figura 1.3 (a, b) defincion incorrecta de una corriente, impropia o incompleta  c) Definición correcta para i1(t).     

Hay básicamente dos tipos de corriente que con frecuencia se encontra en las  aplicaciones  diarias:  corriente  alterna  (ca)  y  corriente  directa  (cd),  que  se  muestran como función del tiempo en la figura 1.4.    

  Figura 1.4  La corriente alterna es la corriente que normalmente se encuentra en todas  las  casas,  y  que  se  usa  para  hacer  funcionar  el  refrigerador,  el  horno,  la  lavadora, etc. Las baterías que se usan en automóviles o flashes son una fuente  de corriente directa.    Se cuenta con un símbolo para representar la corriente, colocando una flecha  sobre el conductor, en la figura 1.5a la dirección de la flecha y el valor de 3 A,  indica  que  cualquier  carga  positiva  de  3C/s  que  se  están  moviendo  hacia  la  derecha  o  bien  que  una  carga  negativa  de  ‐3C/s  se  esta  moviendo  a  la  izquierda.   

  Figura 1.5 dos métodos para represetar exactamente la misma corriente    A  continuación  se  define  el  voltaje  (también  llamado  fuerza  electromotriz  o  potencial) como la diferencia en el nivel de energía de una unidad de carga  localizada en cada uno de los dos extremos de un circuito.     El trabajo o energía, w(t) o W se mide en joules (J); 1 joule es 1 newton metro  (N.m).  Así,  el  voltaje  [v(t)  o  V]  se  mide  en  volts  (V),  y  1  volt  es  1  joule  por  coulomb, es decir, 1 volt =1 joule por coulomb newton metro por coulomb.   

Si  una  unidad  de  carga  positiva  se  mueve  entre  dos  puntos,  la  energía  requerida  para  moverla  es  la  diferencia  en  el  nivel  de  energía  entre  los  dos  puntos y así se define el el voltaje.    En la figura 1.6 la variable que representa el voltaje entre los puntos A y B es   v y se supone que el punto A está a un potencial más alto que el punto B, en  los (a, b). Los incisos (c, d) el punto B es el potencial más alto que el punto A.  Los signos + y ‐ definen una dirección de referencia para v.   

     a)                             b)                      c)                          d)  Figura 1.6    Se ha definido el voltaje en joules por coulomb como la energía requerida para  mover una carga positiva de 1 C a través de un elemento. Si se establece que  estamos tratando con una cantidad diferencial de carga y energía, entonces      Multiplicando  esta  cantidad  por  la  corriente  en  el  elemento  entonces  se  obtiene   



 

  que es una razón de cambio de la energía o potencia con respecto al tiempo,  medida en joules por segundo, o watts (W).    En general, tanto v(t) como i(t) son funciones del tiempo, p(t) es también una  cantidad que varía con el tiempo. Por tanto, el cambio en energía del tiempo  t1 al tiempo t2 puede encontrarse integrando la ecuación (1.3), es decir,    ∗           (1.3)   

La  convención  de  signos  para  calcular  la  potencia,  y  determinar  el  signo  de  cualquiera  de  las  cantidades  involucradas,  entonces  las  variables  de  la  corriente  y  voltaje  deben  colocarse  como  se  muestra  en  la  figura  1.10.  La  variable para el voltaje v(t) se define como el voltaje a través del elemento con  la  referencia  positiva  en  la  terminal  donde  la  variable  de  corriente  i(t)  está  entrando. Esta convención se llama convención de signo pasiva.     El  producto  de  v  por  í,  con  sus  signos  correspondientes,  determinará  la  magnitud  y  signo  de  la  potencia.  Si  el  signo  de  la  potencia  es  positivo,  la  potencia  está  siendo  absorbida  por  el  elemento;  si  el  signo  es  negativo,  la  potencia está siendo suministrada por el elemento.   

  Figura 1.10 potencia absorbida por el elemento, esta dado por el producto de  vi   Ejemplo  Se desea determinar la potencia absorbida, o suministrada por los elementos  de la figura 1.11.   

a)……………….……..…….b)…………………………….c)  Figura 1.11 ejemplos de dos terminales    Solución    En la figura 1.11a, P = VI = (2 V) (3 A) = 6 W es absorbida por el elemento.   En la figura 1.11b, P = VI = (‐2 V) (‐2 A) = 6 W es absorbida por el elemento.   En la figura 1.11c, P = VI = (4V) (‐5A) = ‐20 W es suministrada por el elemento.     

    Elementos de circuitos    Los  elementos  se  clasifican  como  elementos  activos  o  pasivos.  La  distinción  entre  esas  dos  clasificaciones  depende  esencialmente  de  si  uno  de  éstos  suministra o absorbe energía. Un elemento activo es capaz de generar energía  y un elemento pasivo no puede generarla.    Los elementos activos típicos son las baterías, generadores y los modelos de  transistor.  Los  tres  elementos  pasivos  comunes  son:  las  resistencias,  los  capacitores o condensadores y los inductores.    Los  elementos activos importantes.    l. Fuente de voltaje independiente.  2. Fuente de corriente independiente.  3. Fuentes de voltaje dependientes de corriente.  4. Fuentes de voltaje dependientes de votaje.  5. Fuentes de corriente dependientes de corriente  6. Fuentes de corriente dependientes de votaje    Fuentes independientes    Una  fuente  de  voltaje  independiente  es  un  elemento  de  dos  tenninales  que  mantiene un voltaje específico entre su s terminales a pesar de la corriente a  través de él. El símbolo general para una fuente de voltaje independiente, es  un círculo como se muestra en la figura 1.13  

  Figura 1.13 a) símbolo para una fuente de voltaje de cd, b) símbolo de una  batería c) símbolo de una fuente de voltaje de ca.     

Una fuente de corriente independiente es un elemento de dos terminales que  mantiene  una  corriente  específica  a  pesar  del  voltaje  a  través  de  sus  terminales. El símbolo general para una fuente de corriente independiente se  muestra en la figura 1.14 

  Figura 1.13 Simbolo para fuente de corriente independiente  donde  is  es  la  corriente  específica  y  la  flecha  indica  la  dirección  positiva  del  flujo de corriente.     En general, los modelos matemáticos se aproximan a los sistemas físicos reales  es  sólo  bajo  ciertos  intervalos  de  condiciones.  Raramente  un  modelo  representa exactamente a un sistema físico bajo todo grupo de condiciones.     Para ilustrar este punto, considere el modelo para la fuente de voltaje de la  figura 1.13a. Suponga que la fuente de  voltaje entrega v volts a pesar de la  carga que esté conectada a sus terminales. Teóricamente, se puede ajustar el  circuito  externo  de  modo  que  una  cantidad  infinita  de  corriente  fluya,  y  en  consecuencia la fuente de voltaje entregue una cantidad infinita de potencia.  Por supuesto, esto es, físicamente imposible.    Puede  hacerse  un  argumento  similar  para  la  fuente  de  corriente  independiente. Por tanto, se previene al lector de que tenga en mente que los  modelos tienen limitaciones y por esta razón solo son representaciones válidas  de sistemas físicos sólo bajo ciertas condiciones.    Fuentes dependientes  Las  fuentes  dependientes  generan  un  voltaje  o  una  corriente  que  está  determinado por un voltaje o corriente de un lugar específico en el circuito.  Estas  fuentes  son  muy  importantes,  ya  que  son  una  parte  integral  de  los  modelos matemáticos utilizados para describir el comportamiento de muchos  elementos de los circuitos electrónicos.    Por ejemplo, tanto los transistores de efecto de campo semiconductores de  metal y óxido (MOSFET, por sus siglas en inglés) y los transistores bipolares,  los  cuales  se  encuentran  comúnmente  en  una  multitud  de  equipos 

electrónicos, estos están modelados con fuentes dependientes, y por tanto, el  análisis de circuitos electrónicos incluye el uso de esos elementos controlados.    A diferencia del círculo utilizado para representar fuentes independientes, en  estos  se  usa  un  diamante  para  representar  una  fuente  dependiente  o  controlada. La figura 1.15 ilustra los cuatro tipos de fuentes dependientes. 

  Figura  1.15  cuatro  diferentes  tipos  de  fuentes  dependientes  a)  fuente  de  corriente  controlada  por  corriente,  b)  fuente  de  corriente  controlada  por  voltaje,  c)  fuente  de  voltaje  controlado  por  voltaje,  d)  fuente  de  voltaje  controlado por corriente    Note  que  en  la  figura  1.15  la  constante  K  es  adimencional,  ya  que  se  está  transformando corriente en corriente y voltaje en voltaje . Este no es el caso  de  la  figura  1.15b  y  d;  por  tanto,  cuando  se  empleen  esos  elementos,  debe  describirse las unidades para los factores g y r      Ejemplo  Dadas las dos redes que se muestran en la figura 1.1 6, deseamos determinar  el voltaje vL. 

  Figura 1.16 a) ejemplo de un circuito que contiene una fuente de voltaje  controlado por voltaje, b)información adicional provista para este circuito   

Solución En la figura 1.16a el voltaje de salida es VL =5v2 o bien VL =5 (3) = 15  V. Adviértase que el voltaje de salida ha sido amplificado de 3 V a las terminales  de salida.     

CAPÍTULO 2   CIRCUITOS RESISTIVOS    2.1 INTRODUCCIÓN   En  este  capítulo  se  presentan  los  conceptos  y  leyes  básicas  que  son  fundamentales para el análisis de circuitos. Dichas leyes son la ley de Ohm, la  ley de corriente de Kirchhoff y la ley de voltaje de Kirchhoff.     Se  iniciará  con  el  elemento  pasivo  más  simple,  la  resistencia,  y  con  las  relaciones  matemáticas  que  existen  entre  el  voltaje  a  través  de  ésta  y  la  corriente que fluye por ella, relacionada por la ley de Ohm. Posteriormente se  introducirán otras técnicas como el divisor de voltaje y el divisor de corriente.  También se consideran los circuitos que contienen fuentes dependientes, que  se utilizan en la modelación de dispositivos activos tales como los transistores.     2.2 LEY DE OHM    La ley de Ohm recibe este nombre en honor al físico alemán Georg Simon Ohm,  a quien se le acredita el establecimiento de la relación voltaje‐corriente para  la resistencia. Como resultado de su trabajo pionero, la unidad de medición de  resistencia lleva su nombre.    La  ley  de  Ohm  establece  que  el  voltaje  a  través  de  una  resistencia  es  directamente proporcional a la corriente que fluye por  ésta.     La resistencia, medida en ohms, es la constante de proporcionalidad entre el  voltaje y la corriente.    El lemento de un circuito cuya característica eléctrica principal es que se opone  al  paso  de  la  corriente  se  llama  resistencia,  y  se  representa  con  el  símbolo  eléctrico que se muestra en la figura 2.1     Figura 2.1 Simbolo eléctrico de la resistecia    Se utiliza el símbolo Ω para representar los Ohms y por tanto   1 Ω = 1 V/A 

  La relación matemática de la ley de Ohm se ilustra en la ecuación    v(t) = Ri(t) , para toda R mayor o igual cero    En el análisis de cicuitos siempre se considera que las resistencias son lineales  y por eso están descritas por la curva característica de una línea recta que pasa  por el origen.  

  Figura 2.2 característica lineal de una resistencia    La conductancia, representada con el símbolo G, es otra cantidad que se aplica  comúnmente en el análisis, de circuitos. Por definición, la conductancia es el  inverso de la resistencia; es decir,    G = 1/R    La unidad de conductancia es el siemens y la relación entre las unidades es     1 S = 1 A/V    utilizando la .ecuación (2.4) podemos escribir la expresión    i(t) = ∙Gv(t)    Los  valores  específicos  de  la  resistencia  y,  por  consiguiente,  de  la  conductancia, son muy importantes por ejemplo si R = 0 ∙o  ∞ .     Existen  condiciones  en  las  que  la  resistencia  se  hace  más  y  más  pequeña,  finalmente  se  alcanza  un  punto  donde  la  resistencia  es  cero  es  decir,  la  resistencia puede reemplazarse por un corto circuito.   

Por otro lado, si la resistencia se incrementa y se hace más y más grande, se  alcanza un punto donde ésta es esencialmente infinita, así la resistencia puede  reemplazarse por un circuito abierto.    Note que en el caso de un cortocircuito donde R = 0, entonces v(t) = Ri(t) =0    Por tanto,v(t) = 0, aunque teóricamente la corriente pueda tener algún valor.     EJEMPLO  En el circuito de la figura 2.4a, determine la corriente y la potencia absorbida  por la resistencia. 

  Figura 2.4 Circuito para el ejemplo    Solución     Utilizando la ecuación (2.1) encontramos que la corriente es I=VIR= 5/10k=0.5  mA     Note  que  debido  a  que  muchas  de  las  resistencias  empleadas  en  el  análisis  están  en  kΩ,  se  usará  k  en  las  ecuaciones  en  lugar  de  1  000.  La  potencia  absorbida por la resistencia está dada por la ecuación (2.2) o la (2.3) como    P =VI= (5) (5 x I0‐4) = 0.0025 W  P= I2R = (5 x I0‐4)2 (5k) = 0.0025 W  P= V2/R = (5)2/5k = 0.0025 W      LEY DE KIRCHHOFF  Una  consideración  importante  es  que  la  interconexión  se  lleva  a  cabo  por  medio  de  conductores  eléctricos  (alambres)  que  tienen  resistencia  cero,  es  decir;  conductores  perfectos.  Debido  a  que  los  alambres  tienen  resistencia  cero, la energía en el circuito en esencia está agrupada en cada elemento, y  empleamos el término circuito de parámetro agrupado para describir la red.   

Por ejemplo, el circuito que se muestra, en la ‐figura 2.5 será utilizado para  describir los términos nodo, malla y rama.    Un nodo es simplemente un punto de conexión de dos o más elementos∙ del  circuito, como se muestra el punto A de lla firgura 2.5.     Una malla.es simplemente cualquier trayectoria cerrada a través del circuito  en  la  cual  ningún  nodo  se∙encuentra  más  de  una  vez.  Por  ejemplo,  comenzando desde el nodo A, una malla podría contener los elementos R4,  ∙R3, R1, y R2, de la figura 2.5    Finalmente;  una  rama  es  una  parte  de  un  circuito  que  contiene  sólo  un  elemento y los nodos extremos del elemento, por ejemplo la rama R4, está  entre los nodos A y B. en la figura 2.5  R2

R5

A

R4

R1

R8

R6

R3

B

R7

 

   

  El circuito de la figura 2.5 contiene ocho ramas, dada las definiciones previas,  ya se está en condiciones de considerar las leyes de Kirchhoff, a la que se le  puso el nombre ∙del científico alemán Gustav Robert Kirchhoff. Estas dos leyes  son completamente simples pero extremadamente importantes, en el análisis  de circuitos eléctricos.    La primera ley es la ley de corriente de Kirchhoff, la cual establece que la suma  algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es cero. Considere  la figura 2.3 para ilustrar la suma algebraica de corrientes   

 

Figura 2.3 Ejemplo de nodo para ilustrar la aplicación de la ley de corrientes de  Kirchhoff  Para comprender el uso de esta ley, considere el nodo que se muestra en la  figura 2.3. La aplicación de la ley de Kirchhoff a este nodo da     0      Se ha considerado que los signos algebraicos de las corrientes que entran en  el nodo son positivos y, por tanto, que los signos de las corrientes que salen  del nodo son negativos.    Si  se  multiplica  la  ecuación  anterior  por  ‐1,  se  obtene  la  expresión  la  cual  simplemente afirma que la suma algebraica de las corrientes que salen de un  nodo es cero. De manera alterna, la ecuación puede escribirse como    0      También puede establecerse que la suma de las corrientes que entran en un  nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.        Todas  estas  expresiones  son  formas  alternativas  de  expresar  de  manera  matemática de la ley de corriente de Kirchhoff.      EJEMPLO  Escribamos la LCK (ley de corriente de Kirchhoff) en cada nodo de la red de la  figura 2.5 suponiendo que las corrientes que salen del nodo son positivas.  i2

E i3

A

i1  4.8A

B

6

4 12 A

2

6

12  D

2

i4

i6 C

i5  1.6 A

 

Figura 2.5 

Solución  Las ecuaciones de la LCK para los nodos 1 al 5 son  Para el nodo A      12 12 4.8 7.2   Para el nodo B    4.8   Para el nodo C    4.8 1.6 3.2   Para el nodo E    7.2   Para el nodo D  12   7.2 1.6 3.2 12     De esta manera se recurrido a la ley de corriente de Kirchhoff para determinar  las corrientes presentes en cada una de las ramas del circuito de la figura 2.5      La segunda ley de Kirchhoff llamada ley del voltaje de Kirchhoff, establece que  la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla es cero.     En la ley de voltaje de Kirchhoff el signo algebraico es utilizado para vigilar la  polaridad  del  voltaje.  En  otras  palabras,  conforme  se  recorre  el  circuito,  es  necesario sumar los incrementos y restar las disminuciones de nivel de energía  para llegar a cero volts, cuando se recorre toda la mallla.  

  Figura 2.6 Diferencia de potencia entre los puntos A y B  Existe un valor único para cualquier voltaje en un circuito teorico. Así la energía  requerida  para  mover  una  unidad  de  carga  del  punto  A  al  punto  B  en  un 

circuito debe tener un valor idependientemente del camino seleccionado para  llegar de A a B. Por ejemplo, en la figura 2.6 si se acarrea una carga de 1 C del  punto A al punto B, através del elemento 1, la referecia del signo de polaridad  para  v1  muestra  que  se  hace  un  trabajo  de  v1  joules.  Por  otro  lado,  se  se  procede de A a B pasando por el nodo C, entonces se espera que el trabajo  realizado sea (v2‐v3) joules.    Haciendo un recorrido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj,  y escribiendo directamente el signo de la polaridad de referencia maraca en  cada elemento, es este ejemplo se inicia el recorrido del nodo A, pasando por  C y B hasta llegar al punto de inicio.    0    EJEMPLO 2.9  Considere el circuito que se muestra en la figura 2.7. determine el voltaje Vx,  teniendo los otros datos conocidos. 

  Figura 2.7 un circuito sencillo con dos fuentes de voltaje y una sola  resistencia.    Solución. Como la red es una sola malla, tenemos sólo una trayectoria cerrada.  Se  iniciara en la parte inferior de la fuente de 5 V, recorriéndola en la dirección  de las manecillas del reloj, obtenemos la ecuación  0  5 7 12     CIRCUITOS DE UNA SOLA MALLA    Divisor de voltaje  El circuito más simple está representado por una sola trayectoria cerrada, o  malla  de  elementos.  Los  elementos  de  una  sola  malla  conducen  la  misma  corriente y por tanto, se dice que están en serie. Sin embargo, cuando se aplica  la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm al circuito, se puede determinar  varias cantidades en el circuito. 

  Figura 2.8 Circuito que incluye polaridad de voltajes y dirección de corrientes.      Se ha considerado que la corriente fluye en la dirección de las manecillas del  reloj. Si esta suposición es correcta, la solución de las ecuaciones que dan la  corriente producirá un valor positivo. Si la corriente realmente está fluyendo  en la dirección opuesta, el valor de la variable de corriente simplemente será  negativa, indicando que la corriente está fluyendo en una dirección opuesta a  la que ha supuesto. También se han hecho asignaciones de polaridad para vR1,  y vR2. Esta asignación se han realizado utilizando la convención empleada en la  discusión de la ley de Ohm, dada la elección de la dirección de i.    Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a este circuito tenemos    0    Posteriormente se aplicar la ley de Ohm a los elementos resistivos        Sustituyendo en la ecuanción de la ley de voltajes se tiene    0    Dado que   es la variable desconocida, se despeja y se tiene que          Ahora  conociendo  la  corriente  i,  se  puede  aplicar  la  ley  de  Ohm  para  determinar el voltaje a través de cada una de las resistencias   y    

∗



∗

 

    Se observa que el cociente contiene  la  diferencia  de potencial,  multiplicado  por la resistencia donde se desea calcular dicho voltaje.    En el circuito de la figura 2.10 se muestra un ejemplo numérico para ilustrar el  concepto del divisor de voltaje. 

  Figura 2.10 divisor de voltaje  Debido a que se trata de un circuito de una sola malla, entonces la corriente  es igual a diferencia de potencial entre la suma de las resistencias conectadas  en el circuito  16 0.05   100 220 Según la ley de Ohms el voltaje en cada una de las resistencias es    100 ∗ 0.05 5 220 ∗ 0.05 11         Se llama el divisor de voltaje a la ecuación que relacióna la fuente de voltaje  de  entrada  v   y  dividida  entre  la  suma  de  las  resistencias  conectadas  en  la  malla, en este caso, el voltaje en las resistencias 100 Ω y 220Ω  se calcula de  manera directa, sin necesidad de calcular previamente la corriente.    ∗



  Sustituyendo los valores se tiene    16 100 ∗ 5 100 220

∗

220 ∗

 

16 100

220

11  

Otra aplicación es el calculo de la potecia que esta dada como p=R*i2. Como la  potencia absorbida es una función del cuadrado de la corriente, la potencia  absorbida en los dos casos son diferentes.    ∗



∗

 

  Realizando la sustitución de las cantidades involucradas se tiene    100 ∗

16 100

0.25 ,

220

220 ∗

16 100

220

0.55  

    Sin  hacer  un  solo  cálculo,  sabemos  que  debido  a  que  la  potencia  es  proporcional  al  cuadrado  de  la  corriente,  habrá  un  gran  incremento  en  la  potencia pérdida en la línea y, por tanto, la eficiencia de la planta disminuirá  sustancialmente. Esta es la razón por la que, en general, se trasmite potencia  a alto voltaje y baja corriente.      Note también que para cualquier resistencia   en el circuito, el voltaje   a  través de la resistencia   está dado por la expresión,    ∗

 

Donde    R  es la suma de las resistencias en serie  v  es el voltaje de la fuente de estrada  Ejemplo  Calcule el voltaje en la resistencia de 2 Ω, empleando la expresión del divisor  de voltaje    4 +

i

6

2

-

11 V

3

7

  Figura 2.11 Circuito con varias resistencias en serie 

Solucion   La fuente de voltaje de entrada es 11, la suma de las resistencias en serie son  22  Ω,  entonces  sustituyendo  estas  cantidades,  se  tiene  el  voltaje  en  la  resistencia de 2 Ω  2 ∗ 11 1   22   Circuitos de un solo par de nodos    Divisor de corriente  Un  circuito  con  solo  un  par  de  nodos  es  importante  para  determinar  varias  cantidades desconocidas del circuito. En este arregllo los elementos tienen el  mismo  voltaje  en  sus  terminales  y,  por  ende,  se  consideran  que  están  en  paralelo.     Considere el circuito que se muestra en la figura 2.22. Aquí se tiene una fuente  de corriente independiente en paralelo con dos resistencias.    is

v

i1

R1

i2

R2

  Figura 2.2 Circuito paralelo de solo un par de nodos    En este circuito se observa que la coniente   está entrando al nodo superior y  las  corrientes    e    están  saliendo  del  nodo,  aplicando  la  LCK,  se  tiene  la  ecuación siguiente        Esencialmente esta ley establece que lo que entra debe salir, si a la ecuación  anterior se sustituyen las corrientes de las ramas resistivas, empleando la ley  de Ohm, se tiene que la ecuación 2.10        También puede ser expresado como    

∗        o bien      Finalmente se despeja el voltaje v,  

∗

∗

∗  

∗  

Se sustituye   en la ecuación 2.10    

∗



∗  

  De  este  resultado  se  puede  observar  que  es  posible  calcular  de  manera  indivual    e   como se muestra a continuación    

∗   ∗  

Esta forma de calcular la corriente para un circuito formado por una fuente de  corriente independiente y en paralelo con dos resistencias se le conoce como  el calculo de la corriente empleando el divisor de corriente    De  manera  generalizada  la  corriente  por  una  rama  en  un  circuito  con  N  resistencias  conectadas  en  paralelo  se  puede  determinar  de  la  manera  siguiente    ∗     Donde   1

1

 

    EJEMPLO  Calcular la corriente que pasa cada una de las resistencias del circuito de la  figura 2.13, empleando la ecuación generalizada del divisor de corriente 

 

100 A

v

2

i6

i4

i2 4

6

i8 8

10 

i10

 

  Solución   La resistencia equivalente en paralelo se obiente de     1.1416666 , esto es que 

0.875912 

Sustituyendo  los  valores  conocidos  en  ecuación  del  divisor  de  corriente  se  tiene    0.875912 ∗ 100 43.7956   2 0.875912 ∗ 100 21.8978   4 0.875912 ∗ 100 14.5985   6 0.875912 ∗ 100 10.9489   8 0.875912 ∗ 100 8.7591   10   Si se realiza la suma de todas las corrientes que pasan por las ramas se tiene  99.9999 A que corresponde a la corriente de entrada.        Una  manera  alternativa  de  la  regla  divisora  de  corriente  es  cuando  los  elementos  resistivos  están  dados  en  unidades  de  siemens,  (inverso  de  los  Ohms)    ∗      

Donde    es la conductancia por donde se desea conocer la corriente,   es la conductacia equivalente de las ramas en parelelo    EJEMPO  Calcular la corriente que pasa cada una de las conductancias del circuito de la  figura 2.14, empleando la ecuación generalizada del divisor de corriente   

100 A

1 2

i2

1 4

i6

i4

1 6

1 8

i8

1 10

i10

 

  Solución    La conductancia eqivalente se obtiene haciendo la suma de cada una de ellas    0.5 0.25 0.16666 0.125 0.1 1.141666    La  corriente  en  cada  una  de  las  ramas  se  obtiene  empleando  la  ecuación  correspondiente    0.5 ∗ 100 43.7956   1.141666   0.25 ∗ 100 21.8978   1.141666   0.16666 ∗ 100 14.5985   1.141666   0.125 ∗ 100 10.9489   1.141666   0.10 ∗ 100 8.7591   1.141666 Estos resultados muestran que se tienen los mismos resultados, sin embargo  se observa que la conductancia equivante se obtiene de una forma directa al  realizar la suma de cada una de las ramas dada unidades de Siemens.   

Combinación de resistencia en serie y en paralelo    Se ha mostrado en los casos del divisor de voltaje y divisor de corriente  que  la resistencia equivalente de N resistencias en serie ( ) es    ⋯.     Representada de manera compacta la   puede ser expresada como    O bien para calcular la resistencia equivalente de N resistencias en paralelo   ( ) es  1 1 1 1 1 ⋯     Representada de manera compacta la  1

 puede ser expresada como  1

 

  Una forma alternativa para calculara la resistencia equivalente en el caso de  solo dos resistencias en paralelo, este puede ser obtenido como el producto  de las resistencia entre la suma de ellas.    ∗     Ejemplo   Determinar  la  resistencia  equivalente  RAB  del  circuito  de  la  figura  2.14,  medienta la identifición de las resistencias conectadas en serie, o en paralelo,  para  poder  emplear  ecuaciones  de  que  permiten  calcular  las  resistencias  equivalentes, según el caso,. 

X

RXY Y

2 k a

2 k

b

6 k

4 k

f

9 k

10 k

6 k

e

c 1k 

6 k

2 k

d

  Figura 2.14 crcuito resistivo que contiene conexiones serie y paralelo de  resistencias    La  reducción  del  circuito  puede  iniciarse  identificano  que  en  el  extremo  derecho en los nodos c, d, y e existen dos resistencias en serie     1 Ω 2 Ω 3 Ω    Al sustituir la resistencia    en los nodos c y d, se puede interpretar que esta  resistencia esta en paralelo con la resistencia de 6kΩ, del cual se obtiene otra    3∗6 2 Ω  3 6   Sustituyendo este equivalente se puede interpretar que ahora se encuentra  en serie con la resistencia de 10kΩ que está entre los nodos b y c.    2 Ω 10 Ω 12 Ω    Esta resistencia   ahora está en paralelo con la resistencia la resistencia de  6kΩ que esta entre los nodos b y e,    12 ∗ 6 4 Ω  12 6     esta  en  serie  con  la  resistencia  2kΩ  que  esta  entre  los  Esta  resistecia  nodos a y b,     2 Ω 4 Ω 6 Ω   

Ahora la resistencia  en los nodos a y e    

La resistencia   

 está en paralelo con la resistencia de 6kΩ que está 

6∗6 3 Ω  6 6  está en serie con la resistencia de 9kΩ   3 Ω

  Esta resistencia  los nodos a y f   

9 Ω

12 Ω 

 está en paralelo con la resistencia de 4kΩ que esta entre  12 ∗ 4 12 4

3 Ω 

   está en serie con la resistencia de 2kΩ que  Finalmente esta resistencia  está entre los nodos X y a, por lo tanto, la resistencia total equivalente es     3 Ω 2 Ω 5 Ω    Transformaciones Estrella ‐ Delta    En  el  ejemplo  anterior  fue  posible  calcular  la  resistencia  equivalente  total,  mediante  la  reducción  de  elementos  en  serie  o  paralelo.  Sin  embargo  se  pueden encontrar circuitos que en ningún lado hay una resistencia en serie o  en paralelo con otra. Por tanto, no podemos atacar el problema direc tamente  usando l as técnicas que hasta aquí hemos aprendido.   Para circuitos con ese tipo de complejidad se puede reemplazar una parte de  la red con un circuito equivalente, y esta conversión permitirá, con facilidad,  reducirla combinación de resistencias a una sola resistencia equivalente. Esta  conversión se llama transformación estrelle ‐ delta o delta – estrella.     Considere las redes que se muestran en la figura 2.31. Note que las resistencias  de la figura 2.31a forman una A (delta) y las resistencias de la figura 2.31 b  forman una Y (y e) . Si ambas configuraciones están conec tadas a sólo tres te  rminales  A,  B  y  C,  seria  ventajoso  si  pudiera  establecerse  una  e  quivalencia  entre ellas.  

A

A

R2

R2

R1

RC C

B

R3

C

RB B

  Figura 2.31 conexin delta ‐ estrella    De hecho, es posible relacionar las resistencias de una red con las de la otra de  modo que sus características terminales sean las mismas. Esta relación entre  las dos configuraciones de redes se llama transformación Y ‐,1.        La transformación que relaciona las resistencias R1, R2 y R3 con las resistencias  RA, RB y RC se deriva como sigue.     Para  que  en  las  dos  redes  sean  equivalentes  cada  par  de  terminales,  es  necesario que la resistencia en las terminales correspondientes sea igual (es  decir, que la resistencia en las terminales A y B con C a circuito abierto debe  ser la misma para ambas redes).     Por  consiguiente,  si  igualamos  las  resistencias  para  cada  conjunto  correspondiente de terminales, obtenemos las siguientes ecuaciones:      Resolviendo este conjunto de ecuaciones paraRA, RB y RC se obtiene    1∗ 2   1 2 3   2∗ 3   1 2 3   1∗ 3   1 2 3

De manera similar se puede calcular R1, R2 y R3    ∗ ∗ 1   2   3

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

     

    Las ecuaciones (2.28) y (2.29) son relaciones generales y se aplican a cualquier  conjunto  de  resistencias  conectadas  en  Y  o  en  .  Para  el  caso  balanceado  donde RA = RB = RC y R1 = R2 = R3, las ecuaciones precedentes se reducen a     1   3      3      Ejemplo  Determinar la resistencia equivalente RXY del circuito de la figura 2.33a) .   La solución puede obtenerse mediante una transformación delta – estrella en  los nodos a c y b. como se muestra en la figura 2.33b), como puede observarse  en este circuito ya es posible obtener resistencias equivalentes de las ramas  que  están  en  serie,  y  después  el  equivalente  de  las  ramas  en  paralelo  que  resultan de la simplificación.    6 ∗ 18 3 Ω  6 18 12 18 ∗ 12 6 Ω  6 18 12 12 ∗ 6 2 Ω  6 18 12 Finalmente se tiene un resistencia equivalente que    

20

∗

3

30.875 Ω  

  X

20 k 6 k

RXY

12 k

c

X

a

18 k 

3k n

2 k

RXY

b

a

20 k

6 k

c

12 k

12 k Y

b

12 k

12 k

Y

d     a)                                              b)  Figura 2.33 ejemplo de circuito con conexiones en delta ‐ estrella        Circuitos con combinaciones de resistencias en serie y en paralelo    Se se ilustrará su aplicación a través de un ejemplo que se tratará a detalle.    Se desea encontrar todas las corrientes y voltajes indicados en la red que se  muestra en la figura 2.33a.    d

i1

i2 i 3

9 k

va

12V

3k

i4

vb

6 k

i5

vc

4 k

i3

i1

9 k

3k

i5

 

a) 

i1

12V

i2 i 3

9 k

va

6 k

i1

3k

vb

3k

12V

   b)                                                                 c) 

9 k

va

3k

 

Figura 2.33 circuitos con combinaciones de resistencias en serie – paralelo    Solución  Para iniciar nuestro análisis de la red, se inicia en el extremo derecho  del  circuito  y  mediante  la  reducción  del  circuito,  calculando  la  resistencia  equivalente  de  ramas  en  serie,  o  en  paralelo,  se  obtiene  la  resistencia  total 

acompañada por la fuente de 12 V. Esto permitirá calcular la corriente i1,  Por  lo tanto, empleando la LVK, LCK, ley de Ohm, y/o la división de corriente, se  podrá calcular todas las corrientes y voltajes en la red.    En el extremo derecho del circuito, las resistencias de 9 kΩ y 3 kΩ están en  serie y, en este caso, pueden combinarse en una resistencia equivalente de 12  kD.  Esta  resistencia  está  en  paralelo  con  la  resistencia  de  4  kΩ,  y  su  combinación  da  una  resistencia  equivalente  de  3  kΩ,  que  se  muestra  en  el  extremo derecho de la figura 2.33b. En la figura 2.33b las dos resistencias de 3  kΩ están en serie y su combinación está en paralelo con la resistencia de 6 kΩ,  produce una resistencia equivalente de de 3 kΩ. como se muestra el circuito  de la figura 2.33c.    Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 2.33c se obtiene     I1 (9 kΩ + 3 kΩ) = 12  I1= 1 mA  Va puede calcularse con la ley de Ohm como    Va = i1 (3k)  Va =3V    o bien utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff,   ‐12+9k*il1+ Va=0  Va= 12‐ 9k*il1  Va = 3V  Conociendo i1 y Va,  ahora se pueden determinar todas las corrientes y voltajes  en la figura 2.33b. Como Va = 3 V, entonces la corriente i2 puede encontrarse  utilizando la ley de Ohm como   3 0.5   6 Ω Entonces utilizando la ley de corriente de Kirchhoff, tenemos   i1 = i2 + i3    i3 = i1‐ i2=2 mA    Note que la i3  también puede calcularse utilizando la ley de Ohm:  Va = (3 kΩ + 3 kΩ)*i3 

3 = 6 kΩ*i3  i3=0.5 mA    Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a la malla del lado derecho de la figura  2.33b obtenemos    ‐ Va + 3kΩ* i3+ Vb = 0  vb =3‐ 1.5=1.5 V    o  como  Vb  es  igual  a  la  caída  de  voltaje  a  través  de  la  resistencia  de  3  kΩ,  podemos usar la ley de Ohm como  Vb = 3kΩ* i3  Vb = 1.5V  Ahora  estamos  en  posición  para  calcular  las  últimas  corrientes  y  voltajes  desconocidos en la figura 2.33a. Conociendo Vb, podemos calcular i4 usando  la ley de Ohm como    Vb = 4 kΩ *i4  i 4 = 1.5/4 kΩ  i 4 = 3/8 mA  Entonces de ley de corriente de Kirchhoff, tenemos  i3 = i4 + i5  i5= 0.5‐3/8 mA  i5= 1/8 mA    También pudimos haber calculado i5 usando la regla del divisor de corriente.  Por ejemplo,  4 Ω 1   4 Ω 9 Ω 3 Ω 8   Finalmente, Vc puede calcularse como  Vc= i5*3 kΩ  Vc= 3/8  V  Vc también puede encontrarse usando el divisor de voltaje; es decir, el voltaje  Vb será dividido entre las resistencias de 9 kΩ y de 3 kΩ. Por tanto,  3 Ω 3   3 Ω 9 Ω 8

    Circuitos con fuentes dependientes      A continuación se muestra un ejemplo sencillo, pero es útil para ilustrar los  conceptos  básicos.  El  ejemplo  siguiente  emplea  una  fuente  de  voltaje  controlada por corriente.    EJEMPLO 2.25  Determine el voltaje Vo en el circuito de la figura 2.35    I1

3 k  2000 I 1

12V

5k

VO

  Figura 2.35 circuito con fuente de voltaje dependiente de corriente     Solución   Se aplica la ley de voltaje de kirchhoff      2000 12 3 Ω ∗ 2 Por lo tanto   5 Ω ∗ 2  

5 Ω∗   10  

0 

CAPÍTULO 3   TÉCNICAS DE ANALISIS NODAL Y DE MALLAS    3.1 INTRODUCCIÓN     En los ejemplos previos se analizarn circuitos simples, es decir, aquellos que  contienen sólo un par único de nodos o una sola malla. Estos circuitos pueden  analizarse por medio de una sola ecuación algebraica. En el caso de un circuito  de un solo par de nodos (es decir, uno que contiene dos nodos, otro de los  cuales es un nodo de referencia), una vez que se conoce el voltaje del nodo, se  pueden  calcular todas las corrientes. En un circuito de una sola malla, una vez  que se conoce la corriente de ésta, se pueden calcular todos los voltajes.    En  este  capítulo  se  abordan  circuitos  para  calcular  todas  las  corrientes  y  voltajes en los circuitos que contienen múltiples nodos y mallas. El análisis está  basado principalmente en dos leyes con las que estamos familiarizados: ley de  corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK).    En  un  análisis  nodal  empleamos  la  LCK  para  determinar  los  voltajes  de  los  nodos, y en un análisis de malla usamos la LVK para determinar las corrientes  de la malla.    Análisis nodal  En  el  análisis  nodal  las  variables  que  se  eligen  son  los  voltajes  nodales  del  circuito. Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común  en el circuito. Un nodo se selecciona como el nodo de referencia, y todos los  voltajes de los otros nodos se definen con respecto a ese nodo. Con frecuencia  este  nodo  es  uno  al  que  está  conectado  el  mayor  número  de  ramas.  Con  frecuencia se le llama tierra debido a que se dice que está a potencial de tierra  cero,  y  algunas  veces  representa  el  chasis  o  la  línea  de  tierra  en  un  circuito  práctico.    Se seleccionan las variables como positivas con respecto al nodo de referencia.  Si uno o más de los voltajes de los nodos realmente son negativos con respecto  al nodo de referencia, el análisis lo indicará.   

A fin de comprender el valor de conocer todos los voltajes de los nodos en una  red,  consideramos  una  vez  más  la  red  de  la  figura  2.33,  la  cual  se  dibuja  nuevamente en la figura 3.1.     vs  12V

i1

12V

v1

9 k

va  3V

i2 i 3 6 k

v3

3k

vb 1.5V v 5 i5

i4

4 k

vc  3/8V

9 k

3k

 

FIGURA 3.1 Circuitos con voltajes nodales conocidos.      Los voltajes, Vs, Va, Vb y Vc, se miden con respecto al nodo inferior, que se  selecciona como el de referencia y se marca con el símbolo de tierra. Por tanto,  el voltaje en el nodo 1 es Vs = 12 V con respecto al nodo de referencia 5; el  voltaje en el nodo 2 es Va = 3 V con respecto al nodo de referencia 5, y así  sucesivamente.    Notese que una vez que se conocen esos voltajes de los nodos, entonces se  pueden  calcular  inmediatamente  cualquier  corriente  en  una  rama  o  la  potencia suministrada o absorbida por cualquier elemento, ya que  se conoce  el voltaje a través de todos los elementos de la red. Por ejemplo, el voltaje V1  a través de la resistencia de 9 kΩ que está más a la izquierda es la diferencia  en potencial entre los dos extremos de la resistencia; es decir,    V1 = Vs‐Va=12‐ 3=9 V    Esta ecuación en realidad no es más que la aplicación de la LVK alrededor de  la malla que está más a la izquierda; es decir,  ‐Vs+V1 +Va=0    De modo similar, encontramos que  V3 = Va‐ Vb=9‐1.5 = 9 V      Entonces las corrientes en las resistencias son 

vs  12V

i1

12V

v1

9 k

va  3V

i2 i 3 6 k

v3

3k

vb 1.5V v 5 i5

vc  3/8V

9 k

i4

3k

4 k

9 9 kΩ 9 kΩ 3 6 kΩ 6 kΩ 1.5 3 kΩ 3 kΩ 1.5 4 kΩ 4 kΩ 1.125 9 kΩ 9 kΩ

 

1

 

0.5

 

0.5

 

0.375

 

0.125

 

  Como  regla  general,  cuando  se  conocen  los  voltajes  de  los  nodos  en  un  circuito,  entonces  es  posible  calcular  la  corriente  a  través  de  cualquier  ;  es decir, como se ilustra  elemento resistivo utilizando la ley de ,  en la figura 3.2.  vb

va I ab

R

figura 3.2 elemento resistivo entre los nodos a y b    El número de ecuaciones de la LCK linealmente independientes para una red  de n nodos era n ‐1. Por ejemplo, en un circuito de dos nodos, en el que un  nodo es el nodo de referencia, sólo se requería una ecuación para resolver el  voltaje  del  nodo  desconocido.  Cuando  se  resuelvan  este  conjunto  de  n  ‐1  ecuaciones simultáneas linealmente independientes, se obtienen los voltajes  desconocidos de los n ‐ 1 nodos del circuito.    En  la  solución  de  circuitos  empleando  la  LCK  es  necesario  en  un  principio  especificar  un  nodo  de  referencia.  Para  que  los  voltajes  calculados  correspondan a una magnitud con respecto a ese nodo de referencia.  

El circuito de la figura 3.3 ilustra una parte de una red que contiene tres nodos,  uno de los cuales es el nodo de referencia.    v1  4V

R1

v2  2V

R2

R3

  FIGURA 3.3 Ilustra la interpretación de los voltajes nodales.    El voltaje V1 = 4V es el voltaje en el nodo 1 con respecto al nodo de referencia  3. De manera similar, el voltaje V2 = ‐2V es el voltaje en el nodo 2 con respecto  al nodo 3. Sin embargo, el voltaje en el nodo 1 con respecto al nodo 2 es +6 V,  y el voltaje en el nodo 2 con respecto al nodo 1 es ‐6 V.     Además,  como  la  corriente  fluirá  del  nodo  de  mayor  potencial  al  nodo  de  menor potencial, la corriente en R 1 es de arriba hacia abajo, la corriente en R2  es de izquierda a derecha, y la corriente en R3 es de abajo hacia arriba.    Circuitos que contienen sólo fuentes de corriente independientes    Considere la red que se muestra en la figura 3.4. Hay tres nodos, y el nodo del  fondo se elige como el nodo de referencia. Se supone que las corrientes en las  ramas fluyen en las direcciones indicadas en las figuras. Si una o más de las  corrientes  de  las  ramas  fluyen  en  realidad  en  una  dirección  opuesta  a  la  supuesta, el análisis simplemente producirá una corriente de rama negativa.   

v1 i2 R1

i1

iA

R3

i3

R2

v2

R5

R4

i5 v 3

iB

i4 vreferencia

Figura 3.4 ejemplo de la LCK 

 

Aplicar la LCK al nodo 1, se puede considerar que las corrientes que entran al  nodo son positivas y negativas las corrientes que salen.    iA ‐ i1 – i2 + i3 = 0    Si se sustituye esta ecuación en términos de voltajes y resistencia, aplicando la  ley de Ohm (I = V/R) y tomando en cuenta que el nodo de referencia está a un  potencial cero volts,  entonces se obtiene    0  También puede se representado como   1 1 1

1

1

 

  Para el nodo 2 también se aplica la LCK se tiene     I2 – i4 + i5 = 0    Esta ecuación en términos de voltaje    0  1

1

1

1

1

0 

  En el nodo 3 la ecuación es    ‐IB ‐ i3 ‐ i5 = 0    0   

   

1

1

1

1

 

Agrupando las ecuaciones que resultan de LCK para los nodos del circuito de  la  figura  3.4,    se  llega  al  siguiente  conjunto  de  ecuaciones  lineamente  independientes, representadas de forma matricial.      1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1

1 1

0   1

    En  este  punto  es  importante  notar  la  forma  simétrica  de  la  matriz  de  estas  ecuaciones,  esto  se  cumple  cuando  el  circuito  no  incluye  fuentes  dependientes. Esto es que las ecuaciones nodales para redes que contienen  sólo  resistencias  y  fuentes  de  corriente  independientes  siempre  pueden  escribirse en esta forma simétrica.     Se puede tomar ventaja de este hecho y aprender a escribir las ecuaciones por  inspección. Se puede observar que el coeficiente de v1 es la suma de todas las  conductancías (  conectadas al nodo 1 y que el coeficiente de v2 es  el negativo de la suma de conductancias conectadas entre el nodo 1 y el nodo  2,  asi  como  también  el  coeficiente  de  v3  es  el  negativo  de  la  suma  de  conductancias conectadas entre el nodo 1 y el nodo 3.    El lado derecho de la ecuación es la suma de las corrientes que entran al nodo   a  través  de  las  fuentes  de  corriente.  En  este  ejemplo  al  nodo  1  entra  ,  mientras que al nodo 2 hay cero fuentes de corriente. Sin embargo al nodo  sale  la  corriente  a  tráves  de  la  fuente  de  corriente,  por  esa  razón  en  lado  .   derecho de la matriz, aparece el valor de    Para formular las ecuaciones de LCK mediante el método por inspección en un  circuito  resistivo  que  incluye  solo  fuentes  de  corriente  independiente,  es  necesario  transformar  los  ohms  de  las  resistencias  a  su  equivalente  en  conductancias  en  unidades  de  siemens.    Como  se  muestra  en  e  siguiente  ejemplo 

1 / 4

v1 i2

i3

v2

i1

25 A

v1 i2

i5 v 3

1 / 3

1

4

1 / 2 1 / 2

i4 vreferencia

8A

i3

v2

i5 v 3

3

1

i1

25 A

2 2

8A

i4 vreferencia

  Figura 3.6 ejemplo uso del método por inspección     En la figura 3.6ª) se tiene el circuito donde las resistencia están en términos de  ohms, en la figura 3.6 b) muestra las conductancias correspondientes    La matriz resultante se muestra a continuación     1 3 4 3 4 25 2 3 3 2 2 0   8 4 2 2 4   En el arreglo matricial se muestra el renglón 1 donde el coeficiente de v1, se  obtuvo de la manera siguiente, se enfoca visualmente en el nodo v1, desde  este punto se observan las ramas que inciden a este nodo, en este caso es la  rama de 1  , 3  y 4 , están cantidades se suman. Para este mismo reglon, se  observa que ‐3  es el coeficiente de v2, debido a que esta rama esta entre el  nodo 1 y el nodo 2, finalemente se tiene el coeficiente de ‐4 , porque es la  rama que conecta al nodo 1 y nodo3. En el lado derecho de este renglón se  tiene un valor de 25, ya que la fuente de corriente de 25A alimenta este nodo.  Notese que la rama de 1  no forma parte de ningún coeficiente, porque esta  rama va del nodo 1 a nodo de referecia (0 v).        Circuitos que contienen fuentes de corriente dependientes  La presencia de una fuente dependiente puede destruir la forma simétrica de  las  ecuaciones  nodales  que  definen  al  circuito.  Considere  el  circuito  que  se  muestra en la figura 3.8, el cual contiene una fuente de corriente controlada 

por corriente. Las ecuaciones de la LCK para los nodos que no son de referencia  son    v1

v2

6 k

2io

12 K 

1 / 2

3k

2 mA

io vreferencia

 

figura 3.8  Empleando el método de inspección se obtiene la ecuación LCK para en nodo  1.  1 1 1 2   6kΩ 12kΩ 6kΩ Sin embargo, io se obtiene según la ley de ohm, como      3kΩ Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación previa       1 1 1 2∗   6kΩ 3kΩ 12kΩ 6kΩ O bien     1 1 2 1 0  6kΩ 3kΩ 12kΩ 6kΩ   La ecuación de LCK para el nodo 2, empleando el método por inspección se  tiene  1 1 1 2   6kΩ 3kΩ 6kΩ Finalmente de manera matricial se tiene     

1 12kΩ

1 6kΩ

1 2 6kΩ 3kΩ 1 1 6kΩ 3kΩ

1 6kΩ

0 2

 

  Note  que  la  presencia  de  la  fuente  dependiente  ha  destruido  la  naturaleza  simétrica de la ecuación nodal.    La solución de este sistema de ecuaciones linealmente independiente es    24/5   12/5     A  partir  de  los  resultados  donde  se  conocen  los  voltajes  nodales,  ahora  es  posible calcular la corriente por cada rama y comprobar que se cumple la LCK  para cada uno de los nodos.     Circuitos que contienen fuentes de voltaje independientes     Este  es  caso  en  el  que  una  fuente  de  voltaje  independiente  está  conectada  entre dos nodos del circuito. El siguiente ejemplo ilustra este caso.    6V v1

v2

i3

iA

6 mA

6 k

i1

12 k 

iB 4 mA

i2

  Figura 3.12    Solución      Si plantean las ecuaciones de LCK para cada uno de los nodos se tiene:  Para el nodo 1  0  Sustituyendo los valores conocidos se tiene 

6 Para el nodo 2   

0 

6kΩ 0 

  Sustituyendo los valores conocidos se tiene    12kΩ

4

0 

  En la sustitución de las dos ecuaciones previas se observa que no es posible  sustituir  el  valor  de  la  resistencia  que  conecta  a  los  nodos  v1  y  v2.  Porque  realmente no se conoce, entonces se debe realizar otro planteamientos para  los casos donde esta presente una fuente de voltaje entre dos nodos.   En el ambiente de análisis de circuitos se conoce como el super nodo, y debe  ser tratado como si fuera un solo nodo, así a apliacar la ley de LCK para dicho  nodo se tiene la ecuación siguiente.     0    Haciendo uso de la ley de Ohm, se tiene    6

6kΩ

12kΩ

4

0 

  Por otro lado, si se  recuerda la defincion de voltaje, que es la diferencia de  potencial entre dos puntos, entonces en este circuito esta diferencia entre los  nodos v1 y v2 se tiene  6     Estas  dos  últimas  ecuaciones  representan  a  las  dos  ecuaciones  linealmente  independiente para calcular los voltajes v1 y v2.    1 1 2   6kΩ 12kΩ 6 1 1  

10   4

      EJEMPLO 3.7  Determinemos la corriente !0 en la red de la figura 3.14a.      v1 2 k v2

i3

i1

12V v3

i2

1k  6V

1k  2 k

2 k i4 v 4

12V

i0     FIGURA 3.14 Ejemplo de circuitos con supernodos.    Solución   En este ejemplo se tienen cinco nodos incluyendo al nodo de referecia, por lo  tanto se requieren realmente cuatro ecuaciones linealmente independientes.     Por  otro  lado,  existen  tres  fuentes  de  voltajes  independientes  que  su  vez  permiten establecer tres ecuaciones, dadas por definición de la diferencia de  potencial  para  cada  fuente,  por  ejemplo  la  fuente  de  6  V  que  está  en  terminales del nodo de referencia y el nodo v2, produce la siguiente ecuación.    6  o bien  6   0   La fuente que está entre el nodo de referencia el nodo v4, implica la siguiente  ecuación    0 12   La fuente de 12 V ubicada entre el nodo v1 y v3 produce la ecuación siguiente 

  12     La cuarta ecuación se obtiene aplicando la ley de LCK al supernodo, según la  dirección de corrientes indicadas en el circuito se tiene la siguiente ecuación   

0    Si se sustituye esta ecuación, según la ley de Ohm se tiene lo siguiente     

2kΩ 1 2kΩ

1 2kΩ

1kΩ

1 2kΩ

2kΩ 1 2kΩ 1 1kΩ

1 1kΩ

1kΩ

2kΩ 1 1kΩ

0  1 1kΩ

1 2kΩ

0 

  La solución de estas cuatro ecuaciones arroja los siguientes valores de voltaje  v1=1.1428 V  v2=‐6 V  v3=‐0.8571 V  v4=12 V  finalmente la corriente i0 = v3/2k = 0.4285 mA      3.2 Análisis de malla  En un análisis nodal las variables  desconocidas son los voltajes de los nodos, y  la LCK se emplea para determinarlos. En contraste con este método, el análisis  de  malla  utiliza  la  Ley  de  Voltajes  de  Kirchhoff  (LVK)  para  determinar  las  corrientes en el circuito. Una vez que se conocen las corrientes, se puede usar  la  ley  de  Ohm  para  calcular  los  voltajes.  Si  el  circuito  contiene  N  mallas  independientes,  entonces  se  requerirán  N  ecuaciones  simultáneas  independientes  para  resolver  la  red.  Para  aplicar  el  método  de  mallas  es  necesario  suponer  que  los  circuitos  son  planos,  esto  significa  que  podemos  dibujar  Jos  circuitos  sobre  una  hoja  de  papel  de  una  forma  tal  que  ningún  conductor cruce a otro conductor.   

Circuitos que contienen sólo fuentes de voltaje independientes    EJEMPLO 3.11  Escribamos las ecuaciones de malla por inspección de la red de la figura 3.20.    4k

6V

i1 6 k

9 k

3k

i2

12 k i3

  FIGURA 3.20 Circuito usado en eJ ejemplo 3.11.      Solución    Este circuito consta de tres mallas, por lo tanto requiere del planteamiento de  tres ecuaciones simultáneas linealmente independientes.  La  ecuación  para  la  malla  1  puede  obtenerse  sumando  todos  voltajes  presentes en las ramas hasta recorrer toda la malla e igual a cero la ecuación.  Otra forma de obtener la ecuación de la malla de manera directa es, ubicarse  en la parte central de la malla, sumar todas las resistencias presentes en esa  malla y multiplicarla por la corriente de la malla, posteriormente se revisa si  alguna  resistencia  es  común  con  alguna  malla  contigua,  si  esto  se  cumple  entonces se multiplica es resistencia ( o la suma de resistencias si es mas de  una)  por  la  corriente  de  esa  malla.  Se  continua  de  esta  manera  hasta  considerar todas las corrientes de malla, en los casos donde no se tenga una  resistencia  compartiendo  con  otra  malla,  puede  agregarse  un  cero  multiplicada  por  la  corriente  de  la  malla  que  no  comparte  una  resistencia.  Finalmente se revisa si existe una fuente de voltaje conectado en el recorrida  de la malla, si existe se debe observar a que polaridad se llega primero en el  recorrido de la malla, y se agrega al lado derecho de la ecuación con el signo  opuesto de la polaridad registrada.   Para  ejemplificar  esta  explicación  se  obtiene  la  ecuación  de  la  malla  1  mediante la suma de voltajes de lazo cerrado y se iguala a cero   

∗ 4kΩ ∗ 4kΩ

6kΩ

∗ 6kΩ 6 ∗ 6kΩ

0  6  

  6

∗ 3kΩ

∗ 3kΩ ∗ 9kΩ 0  9kΩ ∗ 3kΩ 6  

  ∗ 6kΩ ∗ 12kΩ ∗ 6kΩ ∗ 3kΩ ∗ 6kΩ

∗ 3kΩ 0  12kΩ 3kΩ ∗ 0 

  La obtención de manera directa la ecuación para la malla 1 es, sumar todas las  resistencias  conectadas,  esto  es  10kΩ  multiplicada  por  ,  no  hay  una  resistencia común entre la malla 1 y malla 2, entonces se agrega  ‐0* , entre  la malla 1 y malla 3 exisite una resistencia de 6kΩ , entonces debe agregarse  ∗ 6kΩ,  finalmente  cuando  se  hace  el  recorrido  por  la  multiplicada  por  malla se encuentra a la polaridad positiva de la fuente de voltaje, entonces en  el lado derecho de la ecuación se agrega el  6  , de esta manera llega a la  misma ecuación que en el primer planteamiento.    ∗ 10kΩ 0∗ ∗ 6kΩ 6     Siguiendo esta técnica se obtienen las siguientes ecuaciones    ∗ 12kΩ ∗ 3kΩ 6   0∗   ∗ 6kΩ ∗ 3kΩ ∗ 21kΩ 0    Expresadas de estas ecuaciones de forma matricial    6 10kΩ 0 6kΩ 6   0 12kΩ 3kΩ 0 6kΩ 3kΩ 21kΩ   Observe la forma simétrica de la matriz, la solución resulta.    0.6756 0.4684   0.1261  

  Circuitos que contienen fuentes de corriente independientes.     Tal como la presencia de una fuente de voltaje en una red simplificó el análisis  nodal, la presencia de una fuente de corriente simplifica el análisis de malla. El  ejemplo siguiente ilustran este punto.    4 mA i1

6 k

2 k

v0

4k

3V

2 k

2 mA

i2

i3

 

  Solución   En este circuito hay tres mallas, esto implica que para su solución se requieren  tres  ecuaciones  simultaneas  linealmente  independientes.  Por  otro  lado,  se  observa que en la malla 1 existe una fuente de corriente de 4 mA, esto indica  que la corriente de la malla 1 ya esta establecida por la fuente y es de 4 mA.  En el caso de la malla 2 se tiene una fuente de 2 mA, pero en sentido contrario  a la dirección de la malla 2, por lo tanto, la corriente de la malla 2 es de ‐2 mA.  Por  último,  se  aplica  la  ley  de  LVK  para  la  malla  3,    del  cual  se  obtiene  la  ecuación siguiente    ∗ 2kΩ ∗ 2kΩ ∗ 10kΩ 3    En forma matricial se tiene   4 1 0 0   2 0 1 0 3 2kΩ 2kΩ 10kΩ 4   2 0.25  

Por lo tanto vo es     ∗ 6kΩ

3

1.5  

  Circuitos que contienen fuentes dependientes  Tratamos  con  circuitos  que  contienen  fuentes  dependientes  tal  como  lo  hicimos en el pasado. Primero, tratamos a la fuente dependiente como si fuera  una  fuente  independiente  cuando  escribimos  las  ecuaciones  de  la  LVK.  Después, escribimos la ecuación controladora para la fuente dependiente. Los  siguientes ejemplos ilustran el punto.    vX 2000

i1

2 k

vX

6 k

4k 2 mA

v0

3V

i2

i3  

Figura 3.25      Encontremos V0 en el circuito de la figura 3.25, el cual contiene una fuente de  corriente controlada por voltaje.    Solución    Las corrientes de la malla1 y malla 2, son cantidades ya establecidas por las  fuentes de corriente que esta presentes en dichas mallas.  Por ejemplo la corriente de la malla 1 es de 2 mA, en el caso de la malla 2 la  corriente esta dada por vx/2000, esto es primero de debe determinar el valor  de vx, el cual a su vez esta la caída de tensión en la resistencia de 4k por la  corriente i1‐i2.  Esto es la siguiente ecuación  ∗ 4kΩ 2∗ 2∗   2000 2000   2∗ 0  ∗

  Por ultimo la ecuación de la malla 3 aplicando la LVK se tiene    ∗ 2kΩ ∗0 ∗ 8kΩ 3    De manera matricial estas ecuaciones son representadas como    0 1 2 0   2 0 1 0 3 2kΩ 0 8kΩ   Como  punto  final,  es  muy  importante  examinar  cuidadosamente  el  circuito  antes de seleccionar un método de análisis. Un método podria ser mucho más  simple  que  otro,  y  un  poco  de  tiempo  invertido  al  principio  puede  ahorrar  mucho tiempo en et largo plazo.       

CAPÍTULO 4    TEOREMAS Y TÉCNICAS AVANZADAS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS    4.1.  Se  presenta  varias  técnicas  nuevas  de  análisis  que  reforzarán  las  herramientas de análisis de circuitos ya revisadas. Basicamente se aprovechan  en algunas situaciones donde las técnicas conducen a una solución rápida y en  otros casos no lo hacen. Sin embargo, esas técnicas nuevas en muchos casos  proporcionan una penetración más profunda en la operación de circuitos que  no puede obtenerse de un análisis nodal o de malla.      Por ejemplo, la representación de  una red mediante un circuito equivalente  simple, entonces la tarea de analizar el comportamiento de un elemento en  particular de la red resultará mucho más simple. Para lograr esta simplificación  del  circuito  se  hace  uso  de  dos  de  los  teoremas  que  presentaran  en  este  capítulo.    Introducción Antes de introducir técnicas adicionales de análisis, revisemos algunos de los  temas  que  hasta  aquí  hemos  usado  ya  sea  explícita  o  implícitamente  en  nuestros análisis.    Linealidad  Todos  Jos  circuitos  que  han  analizado  hasta  aquí  y  todos  los  circuitos  que  estudiaran  en  estas  notas  son  circuitos  lineales.  Se  ha  considerdo  desde  el  inicio de estas notas que la resistencia es un elemento lineal debido a que su  relación de corriente‐voltaje tiene una curva característica lineal; es decir,      ∗     La  linealidad  requiere  aditividad  y  homogeneidad  (escala).  En  el  caso  de  un   el voltaje a través de la resistencia es   elemento resistivo, si se aplica    ∗      entonces.  De manera similar, si se aplica 

  ∗

 

     el voltaje a través de la resistencia   es   Por otro lado, si se aplica    ∗ ∗    ∗   Esto demuestra la propiedad aditiva. Además, si la corriente es escalada por  una constante  , el voltaje también resultará escalado por la constante  , ya  que    ∗   ∗   Esto demuestra la homogeneidad.      Note que si las fuentes independientes se multiplican por una constante, los  voltajes nodales o las corrientes de malla también están multiplicadas por la  misma constante. Así, definimos un circuito lineal como uno que se compone  sólo  de  fuentes  independientes,  fuentes  lineales  dependientes  y  elementos  lineales.  Los  capacitores  e  inductores,  que  examinaremos  en  el  capítulo  6,  también son elementos de circuito que tienen una relación lineal de entrada‐ salida siempre que su energía almacenada inicial sea cero.    EJEMPLO 4.1  Para el circuito que se muestra en la figura 4.1, deseamos determinar el voltaje  ∙ Sin embargo, en lugar de abordar el problema de una manera  de salida  directa y calcular   , después  , luego  , y así sucesivamente. En este ejemplo  se usará= la linealidad y se considerará simplemente que el voltaje de salida es  1 .  Esta  suposición  dará  un  valor  para  la  fuente  de  voltaje.  Posteriormente se utilizará el valor real de la fuente de voltaje y aplicando el  .  principio de la linealidad se calcula el valor real de 

v0

v1 i0

v2

2 k

4 k

12V

i2

3k

2k Vsal

i1

i2

  FIGURA 4.1 Circuito utilizado en el ejemplo 4.1.    SOLUCIÓN   Si suponemos que   



1 , entonces  0.5

2

 

 

 puede entonces calcularse como     4 ∗

3  

  De aquí se tiene que      Aplicando ahora la LCK entonces      Por lo tanto   

3

1



1.5

 

 

 

2 ∗



6  

  1 ,  el  análisis  arroja  que  esto  se  Por  tanto,  como  se consideró  que  cumple si el voltaje de la fuente es de 6 V .    Sin embargo, ya que el voltaje real de la fuente es 12 V, entonces el voltaje de  salida real es 1V*(12/6) = 2 V  (aplicando la regla de tres)    Superposición  A  fin  de  proporcionar  motivación  para  este  tema,  se  examina  un  circuito  simple en el que dos fuentes contribuyen a la corriente en la red. 

  EJEMPLO 4.2  Considere  el  circuito  de  la  figura  4.2a),  en  el  que  los  valores  reales  de  las  fuentes del voltaje se dejan sin especificar. Esta red se utiliza para examinar el  concepto de superposición.    3k

v1

3k 

i1

 

6 k

 

v2

v1

i1 3 k 

6 k

3k 

i2

i1"

3k

6 k

3k 

i 2"

i2

    b)        c)  figura 4.2 utilizado para ilustrar método de superposición 

  SOLUCIÓN    Las ecuaciones de malla para la figura 4.2a son las siguientes     3 ∗   6 ∗ 9 ∗   3 ∗   Si se despeja   de la segunda ecuación, se obtiene las siguiente expresión    3 ∗ 9      Posteriormente se sustituye en la primera ecuación     3 ∗ 3 ∗   6 ∗ 9     6 ∗ 3 1 ∗   sumando las i1,  dejando en el extremo derecho los voltajes se tiene    5 ∗ 3    si se multiplica por 3 toda la ecuación se obtiene    3   15 ∗ Finalmente despejando   

v2

5 15  De este resultado se observa que la corriente i1 tiene una componente debido  a    y una componente debido a  .     Ahora para obtener  , se sustituye   en la primera ecuación     6 ∗

5

 

5

3 ∗    

5

3 ∗

15 6

5

15

6

15

6

5 15

2

 

6

15  45 

15 

  También se observa que la corriente   tiene una componente debido a    y  una componente debido a  .     Dado  que    tiene  dos  componentes,  debido  a  cada  fuente  independiente,  entonces sería interesante examinar lo que cada fuente por sí sola contribuirá  tanto en i1 como en  . Para que   actúe sola,   debe ser cero, esto significa  que la fuente   sea reemplazada con un corto circuito.    Por  tanto,  para  determinar  el  valor  de    debido  sólo  a  ,  empleamos  el  circuito de la figura 4.2b y nos referimos a este valor de   como  ´     ´   3 ∗6 3 3 6   ´ 3 2     ´

5  

  utilizando el divisor de corriente, se puede determinar  ´    

3

´

6

∗ ´ 

3

  3

´

6

3

∗

5

 

  1

´

∗

3

5

 

  ´

15  

  Ahora  se  puede  calcular  el  valor  de    debido  a  ,  actuando  sola,  a  esta  corriente se va establecer como  " , usando la red de la figura 4.2c,    "   3 ∗ 3 6 3 3   " 6 1.5     "





2

15  

  Utilizando el principio del divisor de corriente se obtendrá  "   debido al efecto  de la fuente  .    " 3 ∗ "  3 3   2 " 3 ∗ 15   3 3   " 15     Finalmente, se suma el efecto de la fuente   y la fuente  , para obtener las  corriente de   e      ´ "  15   5

  15

´

"

 

2

15  

  Lo que ha demostrado en el ejemplo 4.2 es cierto en general para circuitos  lineales y es un resultado directo de la propiedad de linealidad. El principio de  superposición,  el  cual  proporciona  la  habilidad  de  reducir  un  problema  complicado  a  varios  problemas  más  fáciles  cada  uno  conteniendo  sólo  una  fuente  independientes,  establece  que  en  un  circuito  lineal  que  contiene  múltiples fuentes independientes, la corriente o el voltaje en cualquier punto  de  la  red  puede  calcularse  como  la  suma  algebraica  de  las  contribuciones  individuales de cada fuente al actuar sola.    Cuando  se  determina  la  contribución  debida  a  una  fuente  independiente,  cualesquiera fuentes de voltaje restantes quedan en cero al reemplazarlas con  corto circuitos, y cualesquiera fuentes de corriente restantes quedan en cero  reemplazándolas con circuitos abiertos.    Aunque  la  superposición  puede  ser  usada  en  redes  lineales  que  contienen  fuentes dependientes, no es útil en este caso, ya que la fuente dependiente  nunca debe ser igual a cero, es decir, siempre esta conectado al circuito que  se está analizado.    Es interesante notar que, como indican los ejemplos previos, la superposición  proporciona  alguna  idea  al  determinar  la  contribución  de  cada  fuente  a  la  variable bajo investigación.    EJEMPLO 4.3    Usemos la superposición para encontrar   en el circuilo de la figura 4.3a.    v1

v1

2 k

1k 

2 k

3V 2mA

6 k

v0

1k 

2mA

6 k

v0

i0  

 

v1

v1 2 k

1k 

2 k

3V 6 k

v0

1k 

3V

i1

2mA

i2

6 k

v0

    figura 4.3 circuito utilizado para el ejemplo 4.3    Solución    En el primer caso se toma en cuenta la contribución de la fuente de 2 mA, para  el voltaje de salida   . Se analiza la red de la figura 4.3b, usando el concepto  del divisisor de corriente    2 2 ∗ 1 1 2 6     2   3   ´ ∗6     ´ 2 ∗6 4   3   En segundo caso se toma en cuenta la contribución de la fuente de 3 V para el  voltaje de salida  . Se analiza el circuito de la figura 4.3c. Utilizando el divisor  de vollaje    " 2   3∗ 6 1 2 6   Por lo tanto, el voltaje de salida   tomando el efecto de las dos fuentes es:    ´ "    4 2 6    

Aunque  usamos  dos  circuitos  separados  para  resolver  el  problema,  ambos  eran muy simples.    Si  usamos  el  análisis  nodal  y  la  figura  4.3a  para  encontrar  .  Se  puede  observar que la fuente de 3 V forman un supemodo.    3    La suma de corrientes en el supernodo es    0  2 6 1 2   Además   3    Entonces sustituyendo   en la ecuación de la suma de corriente se tiene:    3 2 0  3 3 6   3 3   6   6       Además, el análisis de malla establecido como se muestra en la figura 4.3d se   pueden obtener las ecuaciones siguientes:    2     3 6 ∗ 0  3 ∗   3 6 ∗ 0  6 3 ∗   9  9 ∗   1    

6 ∗     6

 

    Transformación de fuentes    En general, una fuente de voltaje práctica no genera un voltaje constante ante  la resistencia de carga o la corriente que suministra. Una fuente de corriente  práctica tampoco entrega una corriente constante a través de la resistencia de  carga o el voltaje a través de sus terminales.    Las  fuentes  prácticas  contienen  resistencia  interna,  y  esta  resistencia  de  la  fuente no es accesible al usuario.     Como las fuentes prácticas contienen una resistencia interna, los modelos que  se muestran en la figura 4.5a y b representan mas de cerca a fuentes reales.        iL

Rv

v

vL

RL

iL

Ri

i

vL

RL

 

  FIGURA 4.5 Efecto de la resistencia interna en fuentes de voltaje y de corriente  reales.      Considere  que  la  potencia  entregada  por  una  fuente  de  voltaje  prática  está  dada por la expresión siguiente    ∗     ∗ La cual puede expresarse como 

 

1

 

1 Y por lo tanto si   

≫

, entonces   

  Esto  es  la  potencia  entregada  por  una  fuente  ideal,  de  manera  similar  la  potencia entregada por la fuente de corriente práctica, utilizando en concepto  del divisor de corriente.    ∗     ∗     ∗   y dado que   

≫



1 1

 

 entonces  ∗

 

  Es la potencia entregada por la fuente de corriente ideal.    A partir de las consideraciones anteriores se puede intercambiar un modelo  de  fuente  de  voltaje  por  un  modelo  de  fuente  de  corriente.  o  viceversa.  Podemos intercambiar una fuente por otra, con tal que sean equivalentes; es  decir,  cada  fuente  produce  exactamente  el  mismo  voltaje  y  corriente  para  cualquier carga que esté conectada a través de sus terminales.    A fin de determinar las condiciones requeridas para que las dos fuentes sean  equivalentes, sus características terminales deben ser idénticas; es decir,   

∗

  Estas  relaciones  indican  que  una  fuente  de  corriente  i  en  paralelo  con  una  resistencia  R,  puede  ser  reemplazada  esta  combinación  con  una  fuente  de  voltaje con valor  ∗ en serie con la resistencia R.   Lo inverso es también cierto; es decir, una fuente de voltaje v en serie con una    resistencia R puede reemplazarse con una fuente de corriente de valor  en  paralelo  con  la  resistencia  R.  Los  parámetros  dentro  del  circuito  (por  ejemplo, un voltaje de salida) quedan sin cambio bajo esas transformaciones.    EJEMPLO 4.5  Se tiene el circuito de la figura 4.7a,      v1

v1

2 k

1k 

3k

3V 2mA

6 k

v0

6V

3V 6 k

v0  

a)               b)  Figura 4.7 Circuito de ejemplo 4.5    Solución    Se realiza el intercambio de fuente de corriente que está en paralelo con las  resistencias  en  serie  (2 1 ,  y  resulta  una  resistencia  equivalente  de  3   como se mencinó previamente, esto resultará en una fuente voltaje con valor  de  3 ∗2 6     La fuente de voltaje se conecta en serie con la misma resistencia de 3 . La red  resultante se muestra en la figura 4.7b.   El voltaje de salida   es calcuada usando el concepto del  divisor de voltaje,  sabiendo que la fuente equivalente es de 9 volts , además se desea conover la  tensión en terminales de la resistencia de 3 . Por tanto,    6 9∗ 6   3 6

Finalmente,  se  advierte  al  lector  que  conserve  la  polaridad  de  la  fuente  de  voltaje  y  la  dirección  de  la  fuente  de  corriente  en  concordancia,  como  se  muestra en la figura 4.7.      Teoremas de Thévenin y de Norton    Supóngase  que  se  desea  encontrar  la  corriente,  voltaje,  o  la  potencia  que  entrega a alguna resistencia de la red a la cual se llamará carga.    El  teorema  de  Thévenin  establece  que  se  puede  reemplazar  toda  la  red,  excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente  de  voltaje  independiente  en  serie  con  una  resistencia,  de  tal  forma  que  la  relación corriente‐voltaje en la carga se conserve sin cambio. El teorema de  Norton es idéntico a la afirmación anterior con la excepción de que el circuito  equivalente  es  una  fuente  de  corriente  independiente  en  paralelo  con  una  resistencia.    Si se examina cualquier red desde un par de terminales, entonces con respecto  a esas terminales, toda la red es equivalente a un circuito simple consistente  en  una  fuente  de  voltaje  independiente  en  serie  con  una  resistencia  o  una  fuente de corriente independiente en paralelo con una resistencia.      Supoóngase que el circuito que se muestra en la figura 4.9a puede dividirse en  dos partes, como se muestra en la figura 4.9b. En general, el circuito B es la  carga y puede ser lineal o no lineal. El circuito A es el balance de la red original  excluyendo la carga y debe ser lineal.   Entonces  el  circuito  A  puede  contener  fuentes  independientes,  fuentes  dependientes y resistencias, o cualquier otro elemento lineal. Sin embargo, se  requiere que existe una fuente dependiente, su variable de control aparezcan  en el mismo circuito. 

i

i v0

v0  

figura 4.9 Conceptos utilizados para desarrollar el teorema de Thevenin 

  El  circuito  A  entrega  una  corriente    al  circuito  B  y  produce  un  voltaje    a  través de las terminales de entrada del circuito B. Desde el punto de vista de  las relaciones terminales del circuito A, se puede reemplazar el circuito B por  una  fuente  de  voltaje  de    volts  (con  la  polmidad  apropiada),  como  se  muestra en la figura 4.9c. Como el voltaje terminal no cambia y el circuito A  tampoco lo hace, la corriente terminal i no cambia.        Aplicando ahora el principio de superposición a la red que se muestra en la  figura 4.9c, la corriente total   que se muestra en la figura es la suma de las  corrientes ocasionadas por todas las fuentes en el circuito A y la fuente   , la  cual  apenas  hemos  añadido.  Por  tanto,  por  medio  de  la  superposición,  la  corriente   puede escribirse como         Donde   es la corriente debida a   con todas las fuentes independientes en  el circuito A igualadas a cero (es decir, las fuentes de voltaje reemplazadas por  corto circuitos y fuentes de corriente reemplazadas por circuitos abiertos), e   es la corriente de corto circuito debida a todas las fuentes en el circuito A  con   reemplazado por un corto circuito.      Los términos   y   están relacionados por la ecuación         es la resistencia equivalente que retoma en el circuito A desde las  donde  tenninales A ‐B con todas las fuentes independientes en el circuito A igualadas  a cero.       Esta  es  una  relación  general  y,  por  tanto,  debe  ser  válida  para  cualquier  condición específica en las terminales A‐B. Como caso específico, suponga que 

las terminales son circuitos abiertos. Para esta condición,  al voltaje de circuito abierto   , por lo tanto     0

0 y   es igual 

 

∗

 

  Esta ecuación establece que el voltaje de circuito abierto es igual a la corriente  de corto circuito multiplicada por la resistencia equivalente que se ve hacia el  circuito A con todas las fuentes independientes igualadas a cero. Se conoce   como la resistencia de Thévenin equivalente.      Se puede establecer que corriente que entrega el circuito A  es        ∗   El  circuito  representado  por  esta    última  ecuación  se  muestra  en  la  figura  4.10a.  El hecho de que este circuito es equivalente en las terminales A‐B al  circuito A en la figura 4.9 es una afirmación del teorema de Thévenin.   El circuito representado por la ecuación (4.4) se muestra en la figura 4.10b. El  hecho de que este circuito es equivalente en las terminales A‐B al circuito A de  la figura 4.9, es una afirmación del teorema de Norton.  i voc

RTH

v0

isc

i RTH v0

  FIGURA 4.10 Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton.      Un caso particular es cuando es están presentes fuentes dependientes en el  circuito de análisis, donnde la impedancia equivalente de Thévenin se obtiene   , es decir, se requiere previemante  calcula   e   ,  del cociente 

ya que éste es el mejor método para determinar   en una red que contiene  fuentes dependientes.     Finalmente, si el circuito A no contiene fuentes independientes, entonces      mediante  e   necesariamente serán cero. Así no es posible determinar  la relación de  ⁄  , ya que la relación es indeterminada.     Se  debe  buscar  otro  método,  se  sugiere  aplicar  una  fuente  independiente  externa en el circuito A conocida como fuente de prueba  , así se calcula  la  corriente  , que fluye en el circuito A de esta manera    puede ser  determinada. El valor numérico de   no necesita especificarse,  pero puede  utilizarse  1  y entonces     De  manera  alterna,  se  puede  us  ar  una  fuente  independiente  de  corriente  1 , así se calcula  , posteriormente se  como fuente de prueba y hacer  obtiene          Circuitos que contienen sólo fuentes independientes    EJEMPLO 4.7    Utilicemos los teoremas de Thévenin y de Norton para encontrar   en la red  del circuito de la figura 4.11  v1

v1

2 k

1k 

2 k

3V 2mA

6 k v 0

1k 

                                 a)                                                  b) 

2 k

3V

v oc

2mA

 

 

1k 

 

c) 

 

FIGURA 4.11 Circuitos utilizados en el ejemplo 4. 7.    Solución    El circuito es redibujado en la figura 4.11a. Para determinar el equivalente de  Thévenin visto desde el par de terminales de la resistencia de 6  tal como se  muestra en la figura 4.11 b. La LVK indica que el voltaje de circuito abierto,    es  igual  a  3     más  el  voltaje  ,  que  es  el  voltaje  a  través  de  la  fuente  de 

corriente.  La  fuente  de  2   fluye  a  lo  largo  de  las  dos  resistencias  (única  2 ∗ 1 2 6 . Por lo tanto,  9   opción), por tanto,  Haciendo  ambas  fuentes  igual  a  cero,  se  puede  encontrar  la  resistencia  ,  usando  el  circuito  de  la  figura  4.11c.  equivalente  de    Thévenin,  3 Ω  Obviamente,  ,  está  Ahora  el  circuito  equivalente  de  Thévenin,  consistente  en    y  conectado de regreso a las terminales originales de la carga, como se muestra  en la figura 4.11 d     RTH

3k

vTH

9V

2 k 6 k v0

4.11 d)   

Finalmente, el voltaje  de voltaje,  

3V

1k 

 

 

isc

2mA

isc

4.11e)    

 

3mA RTH

4.11 f) 

3k

6k v 0

 

 puede ser calcullado usando el concepto de divisor  6 ∗

9 3

6

6  

  Para  determinar  el  circuito  equivalente  de  Norton  en  las  terminales  de  la  carga,  se debe encontrar la corriente de corto circuito como se muestra en la  figura 4 .11e. Observe que el corto circuito ocasiona que la fuente de 3 V esté  directamente  en  paralelo  con  las  resistencias  y  la  fuente  de  corriente.  Por  1 .  Entonces  tanto,  la  corriente  por  las  resistencias  es    2 1 3 . Dado que ya se conoce  . El  usando la LCK,  circuito equivalente de Norton, conectado a la carga se muestra en la figura  4.11f    Por tanto, conectar el equivalente de Norton a la carga resulta en el circuito  de la figura 4.11f. De aquí,   es igual a la corriente de la fuente multiplicada  ∗ 2  , que es 6 V.  por la combinación en paralelo de resistencias (         EJEMPLO 4.8 

Se usará el teorema de Thévenin para encontrar   en la red de la figura 4.12a.    2 k

3k

6 k

12V

4 k 8 k

2mA

2 k

3k v0

voc1

6 k

12V

 

a)                                                                  b)  FIGURA 4.12 Circuitos utilizados en el ejemplo 4.8. 

  Solución    Si  se  divide  la  red  hacia  la  izquierda  de  la  fuente  de  corriente,  el  voltaje  de  , tal como se muestra en la figura 4.12b. Como no fluye  circuito abierto  corriente por la resistencia de 2 , por tanto no hay voltaje a través de ella.   es igual al voltaje a través de la resistencia de 6 , que puede  Entonces  determinarse mediante el divisor de voltaje como  6 12 ∗ 8   3 6   ,  se  encuentra  realizando  la  La  resistencia  equivalente  de  Thévenin,  reducción de las resistencias de la figura 4.12c   3 ∗6 2 4   3 6 RTH 1

3k

2 k 6 k

4 k

4 k

RTH 1

voc1

8V

2mA

8 k  v0  

c)                                                                 d)  FIGURA 4.12 Circuitos utilizados en el ejemplo 4.8.     y   ) se conecta  a la  El circuito equivalente de Thévenin (formado de  red original y resulta el circuito que se muestra en la figura 4.1 2d. Nuevamente  se busca el equivalente  de Thévenin, y esta vez se divide la red de tal manera  que se considera la fuente de corriente como se muestra en la figura 4.12e.   

voc1

8V

RTH 1

RTH 1

RTH 2

4 k

4 k

4 k

2mA voc2

RTH 2

voc2

4 k

16V

8 k  v0  

e)                               f)           g)  FIGURA 4.12 Circuitos utilizados en el ejemplo 4.8.     a partir de la figura 4.12e, se observa que la fuente  Se obtiene el voltaje  de corriente fluye por la resistencia de 4 , esto provoca una caída de 8 V.    2 ∗4 8 16       se  obtiene  directamente  a  partir  de  La  resistencia  de  equivalente  de  4   4.12f es de     y  Finalmente este último circuito equivalente de Thévenin (formado por   ) se conecta al resto de la red para formar el circuito que se muestra en  la figura 4.12g. Nuevamente se emplea el concepto del divisor de voltaje para  obtener el   .     8 16 ∗ 8   4 4 8   Circuitos que contienen sólo fuentes dependientes   Como hemos establecido antes, el equivalente de Thévenin o de Nonon de una  red que contiene sólo fuentes dependientes e:, Rrh∙ Los siguientes ejemplos  servirán  para  ilustrar  cómo  determinar  esta  resistencia  equivalente  de  Thévenin.    EJEMPLO 4. 1 0  Deseamos determinar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 4.14a  en las terminales A‐B.   

VX

VX

1k 

1k 

2 k

1k 

v1

1k  2VX

2 k

i2 2 k

1k 

i1 i0

1k  2VX

2 k i3

a)                                      b)  FIGURA 4.14 Redes empleadas en el ejemplo 4.10. 

1V

 

  Solución   El método para resolver este problema consistirá en aplicar una fuente de 1 V  a  las  terminales  como  se  muestra  en  la  figura  4.14b,  y  después  calcular  la  1/     corriente   y posteriormente calcular como    Las ecuaciones  para la red de la figura  4.104b se  obtiene  si se aplica  la LVK  alrededor de la malla exterior, la cual  especifica que    1 1     Aplicando  la  ecuación  de  la  LCK  en  el  nodo  etiquetado  con  ,  se  tiene  la  ecuación siguiente    2 1 0  1 2 1   1 1 1 1 2 0  2 1 1   1.5   3.5   3   7   Una vez conocido el voltaje   , entonces se pueden calcular las conientes  , , , . Los valores son:     

 

1

1

2



1 2



1 2



1

   

15 14



  Por lo tanto 

 

1 7

1

   

3 7





 

14   15

EJEMPLO 4. 1 1  Se desea determinar la resistencia de equivalente de Thévenin  de la figura 4.15a en las terminales A‐B.  v2

v1 2 k 2000 I X

2 k

3k

1k 

2 k

2000 I X

IX

 de la red 

3k

1k 

2 k

1A

IX

a)                                      b)  FIGURA 4.15 redes empleadas en el ejemplo 4.10 

 

  Solución    El método para este problema consistirá en aplicar una fuente de corriente de  1 mA en las terminales A‐B. Posteriormente se calculará el voltaje terminal  ,  como se muestra en la figura 4.15b, y entonces      .   Las ecuaciones nodales para para el nodo      2000 0  1 3 2  

1

 

2000    

    Entonces    

2

1



3 5 6 2 6

1 1

2

0 

3  

2 0

6 5 6

1

 

4   7 10   7



10   7

    Circuitos que contienen fuentes independientes y dependientes    En  ese  tipo  de  circuitos  se  debe  calcular  el  voltaje  de  circuito  abierto  y  la  corriente  de  corto  circuito  a  fin  de  calcular  la  resistencia  equivalente  de  Thévenin.  Además,  se  debe  recordar  que  no  podemos  separar  la  fuente  dependiente y su variable de control cuando se divide la red para encontrar el  equivalente de Thévenin o de Norton.    EJEMPLO 4.13  Se usa el teorema de Thévenin para encontrar   en la red de la figura 4.17a.   

2k

VX 2000

VX i1 2000

4k

v0

6k

2 k

4 k

VX

v oc

VX

2mA

2mA

3V

3V

i2

 

a)                                      b)  FIGURA 4.17 Circuitos utilizados en el ejemplo 4.13. 

  Solución   El voltaje de circuito abierto se calcula de la red de la figura 4.17b. observese  que la corriente de malla  es     

2000

 

2

 

  4 ∗

4 ∗

2000

2

 

  8   Por lo tanto,       4   El calculo de 

8 2000

4

∗2

3

  11  

 se obtiene se del circuito de la figura 4.17c.   VX i1 2000

RTH

2 k

isc

4 k VX

2mA i2

2 k

voc 3V

i3

11V

6k

v0

i3

 

c)                              d)    FIGURA 4.16 Circuitos utilizados en el ejemplo 4.13. 

Las fuentes de corriente establecen los valores de las corrientes de malla   e  .       4 ∗

2000

 

2

 

4 ∗

2000

2

 

  8   Por lo tanto,  

8 2000

4

 

  La ecuación de la malla 3, se tiene que     3  2 ∗   2 ∗ 3  2 ∗ Sustituyendo el valor de la corriente      3 2 ∗ 4 /2     11   2   Por lo tanto la resistencia equivalente es 

2  

  El circuito equivalente de  Thevenin conectada al resto del circuito se aprecia  en  la  figura  4.17d.  Finalmente  utilizando  el  concepto  del  divisor  de  voltaje,  tiene      6 33 11 ∗   2 6 4    

Transferencia máxima de potencia  En  análisis  de  circuitos  algunas  veces  estamos  interesados  en  determinar  la  máxima potencia que puede ser entregada a una carga. Empleando el teorema  de Thevenin, podemos determinar la potencia máxima que un circuito puede  suministrar y la forma en la cual ajustar la carga para efectuar la transferencia  de potencia máxima.    Suponga que se nos da el circuito que se muestra en la figura 4.18. La potencia  que se entrega a la carga está dada por la expresión.     iL RL

R

v

 

Figura 4.18 circuito para determinar la máxima transferencia potencia       

 

  Para  determinar  el  valor  de    que  maximiza  transferencia  de  potencia.  Se  deriva esta expresión con respecto    y se iguala la derivada a cero    2 0    

2

∗

2 ∗

∗  



2

∗

0 

  Se concluye que debe satisfacerse la siguiente igualdad          En  otras  palabras,  la  máxima  potencia  transferida  tiene  lugar  cuando  la  resistencia de carga.  Aunque este es un resultado muy importante, se obtuvo 

derivado  usando  la  red  simple  de  la  figura  4.18.  Sin  embargo,  debemos  recordar que v y R en la figura 4.18 pueden representar el circuito equivalente  de Thevenin para cualquier red lineal.    EJEMPLO 4.14  Encontremos el valor de   para la transferencia máxima de potencia en la  red de la figura 4.19a y la potencia máxima que puede transferirse a esta carga.    voc

voc

RL

4 k 2mA

3k

6 k 3V

4 k 2mA

i1

4 k

6 k 3k

i2

3V

6 k 3k

 

a)                                 b)        Figura 4.19 circuitos utilizados en el ejemplo 4.14 

c) 

Solución    Lo primero que se requiere es obtener el circuito equivalente de Thévenin para  la red excluyendo la carga. El voltaje   puede ser calculada del circuito de la  figura 4. 19b. Las ecuaciones de malla para la red son    2     9 ∗ 3  3 ∗   3 3 ∗ 2 / 9     1   3   1 4 ∗ 2 6 ∗ 10   3    se obtiene de la figura 4.19c  y es  La resistencia equivalente de thevenin  6  para máxima transferencia de potencia.   6 , por tanto,  La máxima potencia transferida a la carga es   

10 6

6

6



25 6

 

    REFERENCIAS   1. Hayt, William H. Jr. Y Kemmerly, Jack E. Análisis De Circuitos En Ingeniería.  Editorial Mc.Graw‐ Hill de México S.A. de C.V. Distrito Federal. México.   2. Irvin David J., Análisis Básico de Circuitos en Ingeniería, Editorial Prentice  Hall , Mexico.