Transformação de Coordenadas Orbitais Polares Heliocêntricas para Equatoriais Esfêricas Geocêntricas - Forma Vetorial das Coordenadas Orbitais: Coordenadas Orbitais Heliocêntricas Retangulares (V3 Set 2016)

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ORBITAIS POLARES HELIOCÊNTRICAS PARA EQUATORIAIS ESFÉRICAS GEOCÊNTRICAS Por Eng. Andrés Esteban de la Plaza – (revisão Setembro 2016) A posição do astro no plano da sua órbita num determinado instante está definida pelo ponto P, cujas coordenadas orbitais polares heliocêntricas, tomando como eixo de referência a linha SQ do periélio (eixo principal da elipse, parábola ou hipérbole), são r e  (raio vetor e argumento). Com referência ao plano eclíptico e ao ponto vernal parâmetros:

,

a órbita está definida por três

i



Inclinação da órbita sobre a eclíptica:



Longitude do nodo ascendente (medida a partir do ponto vernal ): 



Argumento do periélio: 

1

FORMA VETORIAL DAS COORDENADAS ORBITAIS: COORDENADAS ORBITAIS RETANGULARES HELIOCÊNTRICAS Observando a Figura 1 verificamos que podemos transformar a posição do ponto P nas coordenadas orbitais polares heliocêntricas P ( r,  ) (que estão contidas no próprio plano orbital), em coordenadas orbitais retangulares heliocêntricas ou seja P (x,y,z), (o ponto P referido agora a uma terna ortogonal xyz). Para isso, colocamos o eixo x coincidindo com a linha do periélio SQ. O plano orbital do astro fica então contido no plano XY, e o eixo Z será perpendicular ao orbital XY, como indicado na Figura 2, em vermelho. Neste caso o problema se reduz às conhecidas fórmulas: x  r cos 

y  r sen 

z0

Resulta mais interessante porém, expressar estas coordenadas em forma vetorial, isto é, o  vetor posição PS , representado por uma matriz de 3 x 1:

x  r cos        PS  y  r sen    z   0 

    PS  x  i  y  j  z  k

2

Na Figura 2 observamos a posição do ponto P agora referido a terna XYZ própria da órbita. Em vermelho temos a órbita do astro em seu respectivo plano (cinza escuro) e sentido. Na mesma figura, observamos que o plano orbital (cinza escuro) corta o plano eclíptico (azul claro) determinando a linha dos nodos. A terna própria do plano eclíptico é a X’’’Y’’’Z’’’, na qual a X’’’ coincide com o Ponto Vernal.

  O nosso objetivo agora é referir o vetor PS (inicialmente PS está no sistema XYZ) à terna eclíptica (X’’’Y’’’Z’’’), ou seja obtermos as coordenadas orbitais retangulares eclípticas heliocêntricas (x’’’y’’’z’’’). Para isso é necessário fazermos então uma transformação de coordenadas. Como dissemos, o processo de transformação de coordenadas exige então referirmos o vetor  PS ao sistema X’’’Y’’’Z’’’. Para isto é necessária um transformação geral geral levando o eixo de referência inicial X a coincidir com o eixo X’’’. Entretanto, esta transformação complexa das coordenadas pode ser decomposta numa série de giros ou rotações sucessivas, segundo o seguinte esquema: (xyz )  (x’y’z’)  (x’’ y’’ z’’)



(x’’’y’’’z’’’)

Para isso, conhecemos a posição xyz na órbita e as caraterísticas da própria órbita, isto é: 

Argumento do periélio: 



Inclinação da órbita sobre a eclíptica:



Longitude do nodo ascendente (medida a partir do ponto vernal ): 

i

Logo, temos três transformações (giros ou derrotações): 

A primeira transformação faz coincidir X  X’. Ou seja uma derrotação em Z = Z' igual ao

argumento do periélio (- ). Desta forma agora o eixo X da cónica (em vermelho) coincide agora com o eixo X' (em verde) do nodo ascendente. Esta transformação representa um giro de ângulo -





em Z. Denominamos esta transformação de A

A segunda transformação faz coincidir Y’  Y’’. Ou seja, uma derrotação em X' = X’’ igual à inclinação da órbita sobre a eclíptica (-

i). Desta forma o eixo Y’ (em verde) coincide

agora com o eixo Y’’ (em amarelo). Como esta transformação representa um giro de ângulo

i

(- ) em X’, nossa órbita está agora referida a una terna (X’’ Y’’ Z’’) (em amarelo), cujos X’’ Y’’ estão no plano eclíptico e o Z’’ perpendicular ao mesmo. Entretanto devemos notar que o eixo X’’ não aponta para o Ponto Vernal X’’’. Denominamos esta transformação de A



A terceira transformação faz coincidir X’’  X’’’. Ou seja, uma derrotação em Z” = Z’’’ igual

ao argumento do nodo ascendente (-Desta forma o eixo X’’ (em amarelo) coincide agora com o eixo X’’’ (em azul) que aponta para o Ponto Vernal. Assim, a posição inicial 3

(xyz) do ponto P na órbita referida à terna XYZ (em vermelho), está referida agora a uma terna X’’’Y’’’Z’’’ (em azul), orientada para o Ponto Vernal y coplanar com o plano eclíptico. Esta transformação representa um giro de ângulo

-

em Z’’’. Denominamos esta

transformação de A

 Genericamente podemos definir então uma transformação A (que representa um giro de  ângulo  num dos eixos) tal que o vetor H  x y z referido à terna inicial, terá no novo  sistema girado, coordenadas H   x  y  z .









A fórmula de transformação de coordenadas para este caso será então:

  H  A   H

onde A  

a11 a12  a 21 a 22 a 31 a 32

a13   a 23  a 33 

sendo a ij  funcoes de 

ou seja x  a11 a12     H   y   a 21 a 22  z  a 31 a 32

x  a13     a 23    y   z  a 33 

a11x a12 y a13z   a 21x a 22 y a 23z a 31x a 32 y a 33z

Para o nosso problema, e considerando mais de uma transformação de forma que o ângulo  tomará os valores dos ângulos que definem a órbita sobre a eclíptica: Portanto, as matrizes valem: cos   sen  0   A   sen  cos  0  0 0 1

1 0  A   0 cos  0 sen 

0    sen   cos  

- , - , - .

cos   A   sen   0

 sen  0  cos  0 0 1

Ou seja, que no nosso caso:

 

  Pxyz  A  A  A   Pxyz



    A  A  A   Pxyz  A HOREC Pxyz

Onde AHOREC é a matriz de passagem das coordenadas retangulares orbitais heliocêntricas (xyz) para as coordenadas retangulares eclípticas heliocêntricas. Fazendo então a multiplicação das três matrizes obtemos:

4

A HOREC

k 11 k 12   k 21 k 22 k 31 k 32

0  0 0

Os coeficientes desta matriz para converter retangulares orbitais em ret. eclípticas são: k11 

cos  cos  

k 21 

cos  sen 

k 31 

+

sen  sen 

sen  cos  sen  sen  cos  cos 

k12  - sen  cos   k 22  k 32 

cos  cos  sen 

- sen  sen  + cos  cos  cos  cos  sen 

Esta matriz é extremadamente importante pois nos permite calcular, por exemplo, a posição dos planetas do sistema solar referida ao plano eclíptico (valores x’’’, y’’’, z’’’). Graficando estes valores obtemos a imagem do sistema solar tal como se fosse visto desde o polo norte eclíptico. Desta forma a posição inicial do ponto P na órbita, referida à terna orbital XYZ (em vermelho), está referida agora à terna X""Y""Z"" (em azul) orientada para o Ponto Vernal y coplanar com o plano eclíptico.

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COORDENADAS POLARES ESFÉRICAS ECLÍPTICAS HELIOCÊNTRICAS As coordenadas retangulares eclípticas heliocêntricas são muito importantes pois permitem calcular as denominadas coordenadas polares esféricas eclípticas heliocêntricas, ou seja: Raio vetor: r Longitude eclíptica:  Latitude eclíptica: 

Com valores tais que: 0    360

-90    +90

e

Como pode ser visto na figura 3. Qual a razão disto? Simples: em Astronomia, a posição dos astros é normalmente definida, seja heliocêntrica o geocêntricamente, com três parâmetros: a distância observador-astro, e dois ângulos. Por isso falamos em coordenadas orbitais polares (um raio vetor e dois ângulos) e não retangulares (o vetor decomposto em três direções). Assim, voltando à mesma figura 3, se denominamos r’ a projeção de r no plano xy, então:

r  r cos

Logo:

, onde

2 2 r  r    x   y   z . 2

x  r cos 

x  r cos  cos 

y  r sen 

y  r cos  sen 

z 0

z  r sen 

2 2 Como r  r    x   y   z (é invariante às transformações), observando a figura 3 2

resulta podemos definir os cossenos diretores l, m, n do vetor

l

e como

tan 

m l

x rPS

m

y rPS

n

 PS :

Z rPS

resulta então:

6

tan  

y x

sen  

z r

0    360 e -90    +90

Porém não é difícil deduzir que:

tan     cos   tan     Logo, como  ,  ,  e  são valores conhecidos, podemos obter  da equação anterior, que introduzido na seguinte fórmula nos dá :

tan   tan   sen    =0

É interessante observar que se

então

 =

lp

(longitude do periélio),

ou seja:





tan l p    cos   tan   Sendo que o valor

lP

é dado nas efemérides.

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COORDENADAS RETANGULARES ECLÍPTICAS GEOCÊNTRICAS

  P Agora nós temos o vetor S do astro referido ao sol (S) e o vetor TS da Terra, também referido ao sol (S). Como podemos observar na figura 4, o vetor que define a posição geocêntrica em coordenadas retangulares eclípticas geocêntricas é o vetor

 PT .

Resulta óbvio que: PS = TS + PT

{heliocêntrico}

 {geocêntrico} ou seja:

   PT  PS  TS

PT = PS - TS

{geocêntrico}

Quer dizer que a diferença (para o instante dado) entre as coordenadas heliocêntricas retangulares eclípticas do astro e as coordenadas heliocêntricas retangulares da Terra (que já são eclípticas per se), nos proporciona as coordenadas geocêntricas retangulares eclípticas do astro em questão. De posse destas coordenadas depois faremos a transformação de eclípticas para equatoriais e depois para polares esféricas, obtendo assim a posição do astro como: distância, ascensão reta e declinação. Assim, já com o vetor PT o que resta agora e fazermos a transformação de eclípticas para equatoriais; para isto devemos girar o eixo de referência X’’’ (direção do Ponto Vernal -  ) um ângulo -  , onde  é o valor da inclinação da eclíptica terrestre ( 23 27).

8

COORDENADAS RETANGULARES EQUATORIAIS GEOCÊNTRICAS Tal como foi dito, o vetor

 PT

referido ao plano eclíptico, deve ser agora referido ao plano

equatorial. Fazemos isto mediante a transformação

  PT  EQ  A  PT  ECL

A

tal que:

e

1 0 0    A   0 cos   sen   0 sen  cos  

Logo:

 X 1 0     PT  EQ  Y = 0 cos  Z  0 sen  ou seja:

 x      sen    y cos    z  0

=

  x    y cos   z sen    y sen   z cos  

 X   x      PT  EQ   Y =  y cos   z sen    Z   y sen   z cos  

Logo, a distância do planeta à Terra será:

rPT  X2  Y2  Z2

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COORDENADAS GEOCÊNTRICAS EQUATORIAIS ESFÉRICAS A posição do astro é definida normalmente, do ponto de vista geocêntrico, em coordenadas polares esféricas, ou seja, o raio vector e dois ângulos. De acordo com a figura 5, as coordenadas polares esféricas geocêntricas são: P ( rT, ,  ), onde rT é a distância Terraastro,  é a ascensão reta e  é a declinação do astro P. É fácil observar que a projeção de rT no plano xy vale Logo:

rT  rT cos .

X  rT cos  = rT cos  cos  Y = rT sen  = rT cos  sen  rT sen 

Z =

rPT  X2  Y2  Z2

e

Podemos assim definir os cossenos diretores l, m, n do vetor

l

 =

Logo:

X rPT

m

Arcsen n

 PT :

Y rPT

n

0 =

 m Arctan   l

Z rPT

Como 0  0  360 e -90    +90,a determinação do quadrante se faz segundo a seguinte regra:

l0  m0



   0  90

l0  m0



   0  270

l0  m0



  0



I quadrante

 0  0



l0  m0



  180   0



II quadrante

 0  0

 90    180

l0  m0



  180   0



III quadrante

 0  0

 180    270

l0  m0



  360   0



IV quadrante

 0  0

 270    360

0    90

Entretanto, os valores retornados de  pela função Arctan estão em graus sexagesimais, e  é dada em horas, devemos fazer  [] / 15 para obtermos  [h]. Pois 15 = 1 hora para a Terra. O valor de  [h] está em horas decimais (ex. 1.25 h = 1h 15m) e não em horas sexagesimais [h m s]. Portanto temos que 0 h.  0  24 h. e -90    +90. Assim, as coordenadas geocêntricas equatoriais esféricas são: ,  e rT. 10