TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER 1

= (
 
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

=12 (
 
TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
10
MODULAION:

La señal de banda base producida por diferentes fuentes de información no son siempre adecuadas para la transmisión directa atraves de un canal dado. Estas señales son fuertemente modificadas para facilitar su transmisión. A este proceso se conoce como modulación.
Y esto funciona utilizando la señal de banda base para modificar algún parámetro de una señal portadora de alta frecuencia.
Una portadora es una senoide de alta frecuencia y uno de sus parámetros tal como su amplitud, frecuencia o fase se varia en proporción a la señal de banda base . De acuerdo a esto se tiene:
Modulación en amplitud (AM)
Modulación en frecuencia (FM)
Modulación en fase (MP)
47
En el receptor , la señal modulada debe pasar a través de un proceso inverso que se llama demulación con el fin de recuperar la señal de banda base.
Como ya se menciono la modulación se usa para facilitar la transmisión, y resulta mas económica ya que la transmisión es económica solo a frecuencias altas, porque de caso contrario necesitarían una antenas con mayor potencia y tamaño.

Algunas razones importante para modular:

Facilidad de radiación
Para muchas señales de banda base, las longitudes de onda son demasiadas largas para la dimensión de la antena por eso se modula.

Transmisión simultanea de varias señales
Este método de transmisión de varias señales en forma simultanea se conoce con el nombre de MULTIPLEXION POR DIVISION DE FRECUENCIA
48
RESONANCIA MAGNETICA :
NUCLEAR:
Como ya sabemos los átomos de la estructura atómica de los electrones requieren de una determinada energía para pasar de un nivel a otro la cual es característica de cada material.
El procedimiento consiste en hacer incidir rayos GAMA. Estos rayos al incidir en un material provocan una emisión de fotones con diferentes grados de energía, esta energía es convertida en pulsos eléctricos por medio de un foto multiplicador en cual proporciona pulsos eléctricos proporcionales a los rayos gama.
Pero estos pasan por un proceso de amplificación ya que la energía obtenida es pequeña.

El espectrómetro, espectrofotómetro o espectrógrafo, es un aparato capaz de analizar el espectro de frecuencias característico de un movimiento ondulatorio. Se aplica a diferentes instrumentos que operan sobre un amplio campo de longitudes de onda.

Un espectrómetro óptico o espectroscopio, es un instrumento que sirve para medir las propiedades de la luz en una determinada porción del espectro electromagnético. La variable que se mide generalmente es la intensidad luminosa.
49
En conclusión:
Con estos resultados se pueden determinar el elemento que estamos estudiando e incluso descubrir nuevos elementos.

Luego en un espectrómetro se puede observar la grafica de pulsos eléctricos en función del tiempo, de aquí las señales obtenidas son divididas en intervalos por medio de un selector de energía el cual tiene la misión de tomar valores de determinadas alturas y ancho de bandas
Estos valores son transferidos simultáneamente a una computadora donde se aplica el proceso de FFT.
Se ve que el espectro muestra picos de corriente a una determinada energía por frecuencia. Dichos picos indican EMISION DE ENERGIA ósea el núcleo a pasado de un estado base a un estada excitado, el cual es característica de cada elemento.


50
Sonido:
Es la perturbación del medio por donde se desplaza en un determinado tiempo, el cual se puede ver en un espectro como varia esta perturbación en el tiempo.
La perturbación es en realidad una onda que indica el cambio de energía en el tiempo "sonido".
Esta variación de energía se puede transformar en pulsos eléctricos por ejemplo mediante un micrófono.
El sonido puede ser convertido en señal eléctrica esta señal es llevado por medio de la transformada de Fourier del dominio del tiempo al dominio de frecuencias en donde la señal estará mostrándonos sus características y diferenciándose de las perturbaciones externas.
TRATAMIENTO DE AUDIO Y VIBRACIONES SONORAS :
51
TEOREMA DE TRASLACION DE FRECUEINCIA :
( ) entonces . 0 0
este teorema establece que un desplazamiento de 0 en el dominio de la frecuencia equivale a multiplicar por 0 en el dominio del tiempo. Entonces} decimos que este factor 0 traslada todo el espectro de frecuencia ( ) en la cantidad 0.
 
En los sistemas de comunicaciones muy a menudo hay que trasladar el espectro de frecuencia. Esto se suele llevar a cabo multiplicando la señal por una señal sinusoidal. A ESTE PROCESO SE LLAMA MODULACION.

Se demuestra fácilmente que un espectro se desplazara al multiplicar por una señal sinusoidal.

cos 0= 12[ 0 + 0 ]

Del teorema anterior :
( )
. 0 0
cos 0= 12[ + 0+ 0]

Este resultado es muy útil en la teoría de la comunicación.

 
46
Estas señales eléctricas se transmiten por medio de ondas eléctricas
En el proceso de transmisión estas señales se contaminan con señales de ruido presentes en todas partes ,estas alteraciones que sufren las señales eléctricas debido a las señales aleatorias de ruido son difíciles de identificar el receptor, una solución seria aumentando la potencia del mensaje.
COMPRESIÓN:
Consideremos hora el incremento de la velocidad de transmisión mediante la compresión en la escala del tiempo, con le objetivo de transmitir mas mensajes en un cierto intervalo de tiempo.
Al comprimir la señal sus variaciones aumentan son mas rápidas, esto incrementa naturalmente su frecuencia. Por lo tanto la compresión de una señal plantea el problema de transmitir señales de frecuencia más elevadas. El cual requiere un incremento en su ancho de banda del canal por donde se transmiten los mensajes.
45
SISTEMA DE COMUNICACIÓN :
En telecomunicaciones es muy aplicada la transformada de Fourier. Como sabemos existe muchas formas de comunicación, pero la que vamos a estudiar o la qe nos interesa es la comunicación por medio de señales eléctricas pues con ella se pueden transmitir a grandes velocidades.
Teóricamente a cualquier distancia en el universo y a ala velocidad de la luz.

44
BIBLIOGRAFÍA
La Transformada rápida de Fourier (FFT) Diseño de un Nuevo Programa Computacional y Aplicaciones Prácticas. Manuel Arevalo Villanueva –FIEE UNI 94-TESIS . Pág 3-26
Transformada de Fourier –Fundamentos de Circuitos Eléctricos I –Charles K. Alexander " Matthew N.O. Sadiku Pág 706
Algoritmo FFT de Cooley–Tukey en Wikipedia Inglesa.
Weisstein, Eric W. «Fast Fourier Transform». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
"The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing": se encuentra numerosa información relacionada con el tema, concretamente en los capítulos 10, 11, 12 y 31.


39
APLICACIONES DE LA FFT
Quenaya Hilario,Alexis Miguel

40
El desarrollo matemático de la transformada de Fourier fue explicado por Jean Baptiste Joseph Fourier, en su libro la Teoría Analítica del Calor, publicado en 1822; posteriormente, en 1965 Cooley y Tukey publicaron su artículo "Un algoritmo para calcular las Series de Fourier Complejas", el cual es conocido como algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) y que con el desarrollo acelerado de las computadoras digitales ha permitido la aplicación de la FFT a diferentes campos.
42
El poder extraordinario de las series y transformadas de Fourier se ponen de manifestó en la asombrosa variedad de las aplicaciones que ellas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática, desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica.
La FFT tiene sus aplicaciones en diversos campos científicos lo que a permitido la deducción de diferentes propiedades de diversos temas así como elementos de estudio. Estas aplicaciones nos ayudan ha obtener estas propiedades de otro forma a la que se obtendrían con métodos convencionales.
43
Después de hacer la representación mediante el FFT podemos encontrar infinidad de aplicaciones:
Diferenciación exacta de las voces, sonidos, ruidos ,etc.
Se puede lograr con esto por ejemplo que una puerta , ventana o encendido de luz funcione a una determinada voz , como sabemos la FFT nos proporciona un espectro de frecuencias donde existe una frecuencia predominante con una determinada amplitud, y además como sistema de seguridad ya que la voz es única en cada persona ya que depende de sus cuerdas vocales y en general de las características de la cavidad bucal.

52
3) Separación de las voz del cantante para obtener solo la nota musical
4) Otra aplicación seria la separación de una determinada señal de otra por ejemplo el ruido

53
RUIDO BLANCO:
El ruido blanco o sonido blanco es una señal aleatoria que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia es una constante, es decir, su gráfica es plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencia. Igual fenómeno ocurre con la luz blanca, de allí la denominación.
El ruido blanco es una señal no correlativa, es decir, en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna relación unos con otros.
54
FUNDAMENTO
MATEMÁTICO
Huamaccto Mendoza ,Agustín Tito

3
LA TRANSFORMADA
DE
FOURIER
2
Permite descomponer una curva arbitraria en una suma de curvas senoidales de diferentes frecuencias.

Dicha transformada identifica las frecuencias y las amplitudes de las curvas senoidales

La transformada de Fourier es la representación de la función en el dominio de la frecuencia y contiene la misma información que la función original en dominio del tiempo


9
El análisis de Fourier puede presentarse en un nuevo contexto , como una interesante transformación matemática que genera información en el dominio de las frecuencias y que generalmente difícilmente de aplicar a mano con lápiz y papel en la mayoría de casos prácticos.

Aún con la aparición del ordenador digital , un análisis de Fourier útil consumía demasiado tiempo y resultaba caro de realizar

1965 : Publiccación de P.M. Cooley J.W. Tukey del famoso FFT Algoritmo de la Transformada Rápida.
4
LA TRANSFORMADA DE FOURIER

La serie de Fourier permite representar una función periódica como sumatoria de senoides y obtener el espectro de frecuencia .
La Transformada de Fourier permite extender el concepto de un espectro de frecuencia a funciones no periódicas.
La Transformada de Fourier permite una transformación del tiempo al dominio frecuencial .
La Transformada de Fourier es una transformada Integral ,como la transdormada de Laplace.
La transformada de Fourier maneja circuitos con entradas para t0


5
CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
6
Aplicaciones
Procesamiento de señal:
En general, el ruido blanco tiene muchas aplicaciones en procesado de señales:
Sirve para determinar la función de transferencia de cualquier sistema lineal e invariante con el tiempo . Por ejemplo, en acústica arquitectónica la función de transferencia se usa para medir el aislamiento acústico y la reverberación de la sala.
En síntesis de audio (música electrónica) se usa para sintetizar el sonido de instrumentos de percusión, o los fonemas sordos: /s/, /t/, /f/, etc.
- Generación de números aleatorios:
El ruido blanco generado por ciertos procesos físicos naturales o artificiales se usa como base para la generación de números aleatorios de calidad, puesto que es, como ya se ha dicho, una fuente de entropía.

Uso en vehículos de emergencia:
Algunos vehículos de emergencia lo usan debido a que es fácil distinguirlo del ruido de fondo y no queda enmascarado por el eco, por lo que es más fácil su localización espacial.

- Uso en los seres humanos:
El ruido blanco puede usarse para desorientar a personas antes de un interrogatorio y como técnica de privación sensorial.
Por otra parte, el ruido blanco de baja intensidad puede favorecer la relajación y el sueño. En tiendas especializadas pueden adquirirse discos compactos con largas secuencias de ruido blanco, así como aparatos electromecánicos que hacen uso del principio del ruido blanco para "enmascarar" los ruidos repentinos y molestos.
El ruido blanco también se ha utilizado para camuflar ronquidos y con éxito para personas con tinnitus.
En ambientes de trabajo el ruido blanco es usado para que determinadas conversaciones no sean escuchadas, manteniendo así la confidencialidad.
55
MUCHAS GRACIAS

56
TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER
8
( ) tenga límites diferentes de infinito.

( )dt sea un valor infinito

Las discontinuidades de ( ) así como sus máximos y mínimos sean números finitos .[Condiciones de Dirichlet]

 
7
Comparación entre el uso de la DFT y la FFT
38
TELECOMUNICACIONES (SISTEMA DE COMUNICACIONES)
ANALISIS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES
TRATAMIENTO Y RECONOCIMIENTO DE SONIDOS
VIBRACIONES MECANICAS
RESONANCIA MAGNETICA (NUCLEAR, TOMOGRAFIA CEREBRAL)
ESTUDIO DE VIBRACIONES DEL SUELO
TRATAMIENTO DE IMAGEN (JPEG) Y AUDIO (MP3)
REDUCCIÓN DE RUIDO EN SEÑALES, COMO EL RUIDO BLANCO




41
El proceso de la sección anterior se puede representar mediante un diagrama de flujo que ofrece una descripción mas ilustrativa del proceso FFT.
Las columnas de puntos Representan cada uno de los vectores de datos, siendo de izquierda a derecha 0[ ] , 1[ ] , 2 =
Es necesario calcular x arreglos para procesar 2 datos correspondientes a matrices factorizadas
El vector representa los datos de entrada.

 
36
Proceso eficiente de cálculo
Proceso de decimación de tiempo [Descomposición en 2 sumas]
= = / + = / + +

Suma de 2 DFTs de longitud N/2

= = / + = / +

 
18
Punto de partida : Ecuación de la DFT

[ ]= = ( ) = , , ,….,
Nueva variable [El nro de muestras que se va a procesar]

=
Luego
[ ]= = ( )
















 
19
37
FORMA PRELIMINAR
ALGORITMO FFT
22
Para este caso de N= 4 puntos de datos, es posible escribir la TTF en forma de matriz como:
 
[ ] [ ] [ ] [ ]= [ ] [ ] [ ] [ ]
 
Efectuar la multiplicación usual de matrices directa requeriría N² multiplicaciones complejas y N(N-1) adiciones complejas.


[ ]= ( )

 
21
DESARROLLO DEL
ALGORITMO FFT
17



( ) operaciones aritméticas
Es requerida para la evaluación directa.
( ) operaciones
Mediante el algoritmo FFT se logra el mismo resultado


Es requerida para la evaluación directa.

Mediante el algoritmo FFT se logra el mismo resultado

16
Eficiente algoritmo para el cálculo de las DFTs.
Se han desarrollado muchos algoritmos para el cálculo digital eficiente de las DFTs.

El método de las FFT se apoya en las DFT pero mediante una serie de procedimientos.
Con las FFT se logra incrementar la velocidad del proceso y por lo tanto disminuir el tiempo empleado en la computadora.

Hay una diferencia clara: "DFT" hace alusión a una transformación o función matemática, independientemente de cómo se calcule, mientras que "FFT" se refiere a una familia específica de algoritmos para calcular DFTs.


15
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
(DFT)
11
VERSIÓN DISCRETA

El creciente uso de métodos digitales para la computación y para aplicaciones para el procesamiento de señales.
= Es una representación del dominio temporal . Las señales se pueden expresar como una función continua del tiempo [variable independiente]
El análisis de Fourier demuestra que cualquier señal puede expresarse como suma de sinusoides de varias frecuencias
Muchas funciones de procesamiento de señales tal como correlación se pueden expresar en temas de la Transformada de Fourier y su inversa.




 
12
Versión modificada de la Transformada continua de Fourier –DFT
La transformada de Fourier de una Función continua del tiempo puede adaptarse al cálculo digital mediante el muestreo de las variables tiempo y frecuencia limitando el cálculo de un conjunto finito de puntos.
Para obtener la DFT realizamos ciertos cambios
= =
La integral de la Transformada de Fourier se convierte en una suma dada por

= = [ ] = , ,…,
La transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) viene dada por

= = [ ] = , ,…,

DFT e IDFT son similares.








 
13
TRANSFORMADA
RÁPIDA DE FOURIER
(FFT)
14
Recordando la naturaleza periódica de W

= ( ) ( )


 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]= [ ] [ ] [ ] [ ]
 
23
SITUACIÓN DE
=

 
20
= [0] [2] [1] [3]

 
Al vector con los índices
desordenados se llamara


 
Calculando parcialmente el
producto de las matrices de la derecha


1[0 1[1 1[2 1[3= 0[0 0[1 0[2 0[3
 
25
Ya que el resultado es y no como se esperaría .
UNSCRAMBLING
Este problema se soluciona simplemente intercambiando los argumentos de los elementos mediante ese conocido procedimiento.
= [0] [2] [1] [3] que se debe convertir a = [0] [1] [2] [3]
Dicho proceso visualiza mejor escribiendo los argumentos n en forma binaria de tal forma que se hace un proceso de inversión de los bits. Esto se logra fácilmente mediante un procesador digital de señales

 
32
Factorizamos la matriz cuadrada


[0 [2 [1 [3= 0[0 0[1 0[2 0[3
 
24
= 1 2
 
Extendiendo este resultado en situaciónes donde = se tiene que el número de multiplicaciones requerido con FFT es de apenas Nx/2 mientras que la suma es Nx.
Se debe esta eficiencia a la factorización matricial introducida .
Es evidente la ventaja que tienen con el empleo del algoritmo del FFT.

 
34
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FFT

35
¿Cómo se aclara el hecho de cambio de filas introducido en la factorización de las matrices?

31
SITUACIÓN DE
=

 
33


20= 1+ 0
21= 1+ ( 2)
22= 1+
23= 1+ ( )

20= 1+ 0
21= 1 ( 0)
22= 1+
23= 1 ( )








 
29
Propiedades Exponencial Compleja
 
= + 2 ; 0 /2 = 2 ; /2


 


10= 1+ 0+ 0+ 0
11= 0+ 1+ 0+ ( 0)
12= 1+ 0+ 2+ (0)
13= 0+ 1+ 0+ ( 2)



 
Para N =4 [Caso partícular] =
 
26
La importancia de las FFT radica en la dramática reducción que introducen en cuanto a número de productos y sumas (carga computacional) necesarios para calcular la DFT.


Si bien el cálculo de Xn requiere =16 multiplicaciones complejas y N[N-1] = 12 sumas complejas.

El cálculo de mediante el procedimiento descrito sólo exige 4 multiplicaciones complejas y 8 sumas complejas.



 
30


10= 1+ 0
11= 1+ ( 0)
12= 1+
13= 1+ ( )

10= + 0
11= + ( 0)
12=
13= ( )







 
27
[0] [2] [1] [3]= 2[0 2[1 2[2 2[3= 1[0 1[1 1[2 1[3
 
Calculando parcialmente el
producto de las matrices de la izquierda

28
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
"
"
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic en el icono para agregar una imagen
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic en el icono para agregar una imagen
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic en el icono para agregar una imagen
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel


Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic en el icono para agregar una imagen
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic en el icono para agregar una imagen
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
7/1/2015

Nº
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
7/1/2015

Nº
7/1/2015

Nº
2


01/07/2015

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel

Nº