TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES MATEMÁTICAS

˜ ˜ TRANSFORMAC ¸ OES DE FUNC ¸ OES ´ MATEMATICAS Prof. Dr. Carlos A. P. Campani 1 de mar¸co de 2017

1

Introdu¸c˜ ao

Existem diversas transforma¸c˜oes que podem ser aplicadas `as fun¸co˜es matem´aticas: transla¸c˜ao; dila¸ca˜o; compress˜ao; reflex˜ao; etc. O estudo destas transforma¸co˜es permitir´a uma maior compreens˜ao das fun¸co˜es matem´aticas e ser´a uma facilidade para a constru¸ca˜o do gr´afico de fun¸co˜es. Na se¸ca˜o seguinte apresentaremos as transforma¸c˜oes de fun¸co˜es matem´aticas. Ao final do trabalho ser˜ao apresentados exemplos da aplica¸c˜ao das transforma¸co˜es na constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸c˜oes.

2

Transforma¸c˜ oes 1. Transla¸ca˜o para cima no eixo y: f (x) + c, c > 0 f (x) = x2

1

g(x) = x2 + 1

2. Transla¸ca˜o para baixo no eixo y: f (x) + c, c < 0 f (x) = x2

2

g(x) = x2 − 1

Transla¸c˜ ao no eixo y Resumindo: f (x) + c • c > 0 - transla¸c˜ao para cima • c < 0 - transla¸c˜ao para baixo 3. Transla¸ca˜o para a esquerda no eixo x: f (x + c), c > 0 f (x) = x2

g(x) = (x + 1)2

4. Transla¸ca˜o para a direita no eixo x: f (x + c), c < 0 f (x) = x2

g(x) = (x − 1)2

3

Transla¸c˜ ao no eixo x Resumindo: f (x + c) • c > 0 - transla¸c˜ao para a esquerda • c < 0 - transla¸c˜ao para a direita 5. Dila¸c˜ao (ou expans˜ao) em rela¸ca˜o ao eixo y: cf (x), c > 1 f (x) = x2

4

g(x) = 2x2

6. Compress˜ao em rela¸c˜ao ao eixo y: cf (x), 0 < c < 1 f (x) = x2

g(x) = 0.5x2

f (x) = sin(x) g(x) = 0.5 sin(x) 5

Dila¸c˜ ao e compress˜ ao no eixo y Resumindo: cf (x) • c > 1 - dila¸c˜ao ou expans˜ao em rela¸c˜ao ao eixo y • 0 < c < 1 - compress˜ao em rela¸c˜ao ao eixo y 7. Compress˜ao em rela¸c˜ao ao eixo x: f (cx), c > 1 f (x) = x2

6

g(x) = (2x)2

f (x) = sin(x) f (x) = sin(2x)

8. Dila¸c˜ao (ou expans˜ao) em rela¸ca˜o ao eixo x: f (cx), 0 < c < 1 f (x) = x2

g(x) = (0.5x)2 7

Dila¸c˜ ao e compress˜ ao no eixo x Resumindo: f (cx) • c > 1 - compress˜ao em rela¸c˜ao ao eixo x • 0 < c < 1 - dila¸c˜ao ou expans˜ao em rela¸c˜ao ao eixo x 9. Virar o gr´afico de cabe¸ca para baixo ao multiplicar a fun¸c˜ao por -1 (reflex˜ao em rela¸ca˜o ao eixo x): −f (x) f (x) = x2

8

g(x) = −x2

f (x) = sin(x) g(x) = − sin(x)

10. Virar o gr´afico da fun¸ca˜o no sentido esquerda-direita (reflex˜ao em rela¸ca˜o 9

ao eixo y): f (−x) f (x) =

√

x g(x) =

√

−x

Observe que, neste exemplo anterior, os dom´ınios das fun¸co˜es s˜ao diferentes, pois f tem como dom´ınio [0, +∞) e g tem como dom´ınio (−∞, 0]. f (x) = x2

10

g(x) = (−x)2

Observe que, neste caso, ambas as fun¸co˜es, a original e a transformada, s˜ao idˆenticas, j´a que f ´e uma fun¸ca˜o sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixo y. 11. Toda a parte de baixo do gr´afico da fun¸ca˜o refletida para cima em rela¸ca˜o ao eixo x pelo uso da fun¸c˜ao valor absoluto: |f (x)| f (x) = sen(x)

11

g(x) = |sen(x)|

12. Simetria em rela¸c˜ao ao eixo y pelo uso da fun¸c˜ao valor absoluto no 12

argumento: f (|x|) f (x) = sen(x)

g(x) = sen(|x|)

13

Simetrias e reflex˜ oes Resumindo: • Reflex˜ao em rela¸ca˜o ao eixo x: −f (x) • Reflex˜ao em rela¸ca˜o ao eixo y: f (−x) • Refletir para cima do eixo x: |f (x)| • Simetria em rela¸c˜ao ao eixo y: f (|x|)

3

Exemplos

Nos exemplos, aplicaremos as transforma¸c˜oes de forma iterativa, a partir de uma fun¸c˜ao b´asica. A fun¸ca˜o b´asica ´e obtida simplesmente ao eliminar todas as transforma¸co˜es da fun¸c˜ao que se quer construir o gr´afico. 1. f (x) = 2x2 + 1 Fun¸c˜ao b´asica: x2

Dila¸ca˜o em rela¸ca˜o ao eixo y: 2x2

14

Transla¸ca˜o no eixo y: 2x2 + 1

2. f (x) = 10 − x2 Fun¸c˜ao b´asica: x2 15

Virar de cabe¸ca para baixo: −x2

Transla¸ca˜o no eixo y: 10 − x2

16

3. f (x) =

5 x−3

Fun¸c˜ao b´asica:

1 x

Transla¸ca˜o para a direita:

1 x−3

17

Dila¸ca˜o em rela¸ca˜o ao eixo y:

5 x−3

18