Transformações geométricas e transformações matriciais. Condições de equivalência num estudo de caso (levantamento topográfico de uma peça arqueológica do Complexo Megalítico da Grota do Medo-Terceira, Açores, Portugal)

Transformações geométricas e transformações matriciais. Condições de equivalência num estudo de caso (levantamento topográfico de uma peça arqueológica do Complexo Megalítico da Grota do Medo-Terceira, Açores, Portugal) Tavares, M.1, Silva, P.C.1, Botelho, R.1, Rodrigues, A.F.1 & Martins, N.2 1- Departamento de Ciências Agrárias-Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo. 2- Departamento de Economia e Gestão da Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo.

Resumo Recorrendo aos dados de campo do levantamento topográfico de uma peça arqueológica do Complexo Megalítico da Grota do Medo, Terceira, Açores, Portugal, efetuado por Rodrigues, et al. (2014) pretendeu-se planificar sobre a forma de carta tal objeto, utilizando para isso o programa “AutoCAD”. Para a concretização desse objetivo foi necessário estabelecer uma metodologia apropriada que correspondeu à definição de um sistema de referência cartesiano, a partir do qual se identificariam todos os pontos notáveis da peça. Dada a grande dimensão da peça, houve necessidade de recorrer a translações e/ou rotações do sistema de referência, de modo a identificar todos os pontos relevantes do levantamento topográfico. De modo a que no futuro se possa produzir em “AutoCAD” um modelo tridimensional da peça arqueológica em estudo, foram assinaladas no plano, as projeções de pontos notáveis paralelos ao plano da carta (cotas). O processo geométrico de transformação de sistemas de coordenadas é aparentemente intuitivo, todavia, o processo matricial de tais transformações encerra, nalguns casos, incoerências.

Assim

sendo,

neste

trabalho

exploraram-se

teoricamente

as

transformações matriciais que coincidem com as transformações geométricas usuais. Considerou-se ser um produto deste trabalho a elaboração cartográfica do levantamento digital da peça arqueológica encontrada no Complexo Megalítico da Grota do Medo.

Palavras-chave:

Transformações

Geométricas,

Transformações

Matriciais,

Levantamento Topográfico, Arqueologia, Desenho Assistido por Computador.

1-Introdução

Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Um levantamento topográfico consiste na representação dos pontos notáveis, dos acidentes geográficos e outros pormenores de relevo de uma porção de terra ou de um objeto de dimensões consideráveis, numa planta topográfica. O rigor exigido por este levantamento deve ser tal que permita a representação fiel do terreno ou do objeto numa escala precisa. O programa AutoCAD utilizado neste trabalho foi desenvolvido pela empresa Autodesk, Inc. e consiste num software do tipo CAD (computer aided design) utilizado principalmente para a elaboração de peças de desenho técnico a duas dimensões mas com possibilidade de criação de modelos tridimensionais de peças. O programa utiliza uma programação consolidada em linguagem interpretada (AutoLISP) que permite personalizações de rotinas e comandos (AutoCAD 360, 2014). Matematicamente podemos classificar os processos de transformação de objetos em transformações geométricas ou transformações algébricas, incluindo-se nestas últimas as transformações matriciais. Uma transformação geométrica é uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de forma que, a partir de uma figura geométrica original se pode formar outra geometricamente igual ou semelhante, enquanto que as transformações algébricas estão sujeitas a um vasto conjunto de regras de operação, ditas de leis ou teoremas, e regras particulares ditadas por corolários. As transformações algébricas são injetivas, mas não forçosamente bijetivas. No campo algébrico-matricial de transformação de vetores, estamos perante uma transformação matricial T do espaço n-dimensional 𝑅 𝑛 para 𝑅 𝑛 quando se aplica a definição matemática de matriz e a regra de multiplicação de uma matriz A de dimensão nxm, por um vetor 𝑋 ∈ 𝑅 𝑚 , de tal modo que a transformação é definida pela equação matricial: T(X)=AX onde AX é o vetor imagem ou transformado de X por T. As principais transformações geométricas, da geometria Euclidiana, são a translação, a rotação, a homotetia ou transformação de escala e a reflexão. Neste trabalho centrarnos-emos apenas nas transformações geométricas de translação e rotação, quer vistas na perspetiva da geometria Euclidiana ou na perspetiva da álgebra matricial. A geometria Euclidiana parte de definições ou locuções básicas como ponto “o que não tem partes”, linha “comprimento sem espessura”, reta “linha que descansa por igual em todos os seus pontos”, plano, ângulo, etc, e com essas definições básicas constrói definições mais avançadas (Hilbert, 2003). Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Enuncia-se em geometria Euclidiana uma translação do seguinte modo: “Seja AB um segmento de reta orientado no plano ou no espaço E (orientado significa que a ordem em que os extremos são citados é relevante: primeiro A, e depois B). A translação determinada por AB é a transformação (correspondência biunívoca) 𝑡: 𝜋 → 𝜋 ou 𝑡: 𝐸 → 𝐸, definida por t(X) = X’, de modo que (AB, XX’) e (AX, BX’) sejam os pares de lados opostos de um paralelogramo” (Lima, 2001). Enuncia-se em geometria Euclidiana uma rotação do seguinte modo: “Fixemos um ponto O no plano Dado um ângulo , a rotação de centro O e amplitude  (como a tradição recomenda, no sentido anti-horário considerado positivo) é a transformação que a cada ponto A do plano associa o ponto A’ = R(A) de forma que se tenha A’O = AO, 𝐴𝑂̂𝐴′= e o sentido de A para A’ (em torno de O), positivo” (Wagner, 1993). Tanto o enunciado da translação como da rotação em geometria Euclidiana, estabelecem relações biunívocas, relações essas, que não se verificam nas transformações matriciais e que são alvo da investigação levada a cabo neste trabalho. Em álgebra matricial, uma translação de um sistema de referência xoyoz, que origina outro sistema de referência x’o’y’o’z’, em termos de transformações matriciais corresponde à seguinte equação: 𝑇𝑥 𝑥 𝑥′ Equação 1 [𝑦′] = [𝑦] + [𝑇𝑦 ] 𝑧 𝑇𝑧 𝑧′ onde Tx é a componente do vetor de translação segundo o eixo dos xx, Ty a componente do vetor de translação segundo o eixo dos yy e Tz, a componente do vetor de translação segundo o eixo dos zz (Ribeiro, 2012). Uma rotação de um ângulo  em torno do eixo dos zz no sentido anti-horário, de um referencial xoyoz, corresponde a um sistema de referência x’o’y’o’z’, descrito pela seguinte transformação matricial (Ribeiro, 2012): Equação 2

cos(𝜃) −sin(𝜃) 𝑥′ [𝑦′] = [ sin(𝜃) cos(𝜃) 0 0 𝑧′

𝑥 0 𝑦] ] 𝑋 [ 0 𝑧 1

Os formalismos algébricos e geométricos para descrever as mesmas operações são, como se pode observar anteriormente, completamente distintos, podendo por isso não resultar na descrição do mesmo efeito geométrico.

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2-Metologogia

De acordo com Rodrigues et al., (2014), para o levantamento topográfico da peça arqueológica em análise e elaboração da respetiva planta, foi utilizado um plástico transparente de dimensões 2mx3m que envolveu toda a peça de modo a que esta ficasse totalmente aderente ao objeto. Registaram a posição da peça em coordenadas UTM (Universal Transversa de Mercator) por GPS (Latitude 26S480272, Longitude 4290720 e Altitude 253m) que utiliza um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional para dar localizações de pontos à superfície da Terra. Trata-se de uma projeção num plano horizontal, comumente utilizada para identificar os locais na Terra, independentemente da sua posição vertical, diferindo grandemente do método tradicional de latitude e longitude. O sistema UTM não é uma mera projeção de pontos num mapa. Esse sistema de posicionamento geográfico divide a Terra em sessenta zonas, onde cada banda tem seis graus de longitude e utiliza uma projeção de Mercator transversa secante em cada zona. Tratam-se assim das coordenadas mais adequadas para entender a planificação da peça em análise, uma vez que a metodologia utilizada em CAD foi semelhante. A altitude da peça foi determinada também com GPS, mas recorrendo ao método isobárico. O ponto de referência, ou a origem do referencial, correspondeu ao ponto mais alto da peça tendo-se aí assinalado a cota dos zero metros, para que a partir dele se medissem as diferentes cotas a que se encontravam os petróglifos ou outras marcas existentes na peça arqueológica. A cota foi medida, mantendo uma régua na horizontal, apoiada no ponto 0 m, e medindo a distância abaixo dela, na vertical (como nas coordenadas retangulares), até encontrar um ponto da superfície da peça. Rodando a régua em torno desse ponto e mantendo-a sempre na horizontal, obtêm-se uma infinidade de pontos, que por se situarem abaixo do zero de referência são forçosamente negativos. Com marcadores de cores diferentes marcaram-se no plástico os contornos da peça bem como os rebordos das áreas trabalhadas e todos os petróglifos que aí se encontravam. Procedendo desse modo, registaram-se à escala real, os elementos gráficos que a peça continha bem como as áreas escavadas que aí se encontravam. Tal procedimento permite fazer uma planificação da peça, e usando um vasto conjunto de cotas, é possível, caso se pretenda, desenhar o objeto a três dimensões.

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Para a digitalização em AutoCAD do levantamento topográfico realizado previamente, utilizou-se um sistema de eixos cartesianos centrado primeiramente no ponto de cota zero que, relativamente ao qual, se determinavam coordenadas retangulares que poderemos designar por x e y. Uma vez que se tornava difícil referenciar todos os pontos notáveis do levantamento topográfico da peça, houve a necessidade de efetuar a translação desse referencial do ponto P do espaço para um ponto P’, que corresponde à aplicação de um vetor T de modo a que o sistema de referência sofresse uma translação no plano, de P para P’, mantendo ou não a orientação dos eixos, ou seja, por vezes as medições segundo o eixo dos xx eram transformadas em medições segundo o eixo dos yy, por haver necessidade de desenhar reentrâncias da peça. As medidas reais do objeto ao serem introduzidas no AutoCAD sofreram uma alteração automática de escala, efetuada pelo próprio programa, o que permite um melhor desempenho do operador enquanto se desenha a peça. Por exemplo, ao introduzirem-se segmentos de retas reais de 10 centímetros, no programa tal medida corresponde a 0,10 cm. Este processo não altera a proporcionalidade das dimensões originais do esquema da peça. Na prática, o mapa obtido apresenta erros difíceis de contabilizar, pois em cada medida real é cometido um erro equivalente a metade da menor divisão da escala, que no caso em apreço correspondia a 0,5 cm. Esse erro corresponde no desenho em AutoCAD, na transformação de escala utilizada, a 5 mm para cada medição. Por diversas vezes houve necessidade de recomeçar o desenho num ponto notável específico, já que algumas curvas acabavam por não se fechar sobre si próprias, devido à propagação do erro de medida.

3- Carta obtida do objeto arqueológico Após a conclusão do processo de digitalização, há que escolher o “layout” que melhor se adequa a uma dada utilização. É possível também apresentar o mapa cartográfico numa determinada escala, consoante o uso que lhe esteja destinado. Para este trabalho utilizou-se uma escala de 1:8, onde os motivos centrais do objeto arqueológico foram preenchidos a azul e a vermelho. Usou-se a cor preta apenas para definir contornos da peça e dos petróglifos.

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Na carta, o número negativo junto a um pequeno traço horizontal ou vertical, indica a cota em cm de um ponto da peça que se situa sob o ponto médio do traço. Assinalou-se com uma seta a verde a orientação da peça no terreno. A grande mancha vermelha corresponde a uma bacia, claramente paralelepipédica, mas que, dada a erosão dos seus rebordos, faz com que na planificação efetuada possua uma forma quase trapezoidal. A azul, assinalaram-se petróglifos que correspondem a depressões claramente visíveis na peça com formas pouco usuais. Numa dessas depressões assinaladas a azul, encontrase um símbolo em forma de arco claramente identificado e sem qualquer hipótese de ter uma explicação natural (ver figura 1).

Figura 1- Carta de objeto arqueológico presente no Complexo Megalítico da Grota do Medo.

Na figura 2, apresenta-se uma fotografia do objeto que foi cartografado no âmbito deste trabalho.

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Figura 2- Objeto arqueológico sujeito a planificação.

A vista da planificação efetuada é contrária àquela que se apresenta na imagem da figura 2. Não é objetivo deste trabalho explorar os significados da peça arqueológica nem dos seus símbolos, mas sim, usar esse objeto como estudo de caso no estabelecimento de equivalências entre transformações geométricas e transformações matriciais, que intuitivamente deveriam produzir os mesmos resultados. Assim sendo, partiu-se de um caso prático para que a partir dele pudéssemos teorizar sobre as operações matemáticas envolvidas. Essa análise é realizada no ponto seguinte.

4- Diferenças entre transformações geométricas Euclidianas e transformações matriciais.

Consideremos então que se efetuam duas operações sobre um referencial: Uma translação e uma rotação. Em termos geométricos quando efetuamos uma translação num plano de um referencial por um vetor T, esse passa do ponto P para o ponto P’ do plano, sem que os seus eixos tenham sofrido qualquer alteração de direção. Se de seguida lhe aplicarmos uma rotação de um ângulo  em torno do eixo dos zz, os eixos dos xx e dos yy sofrem uma mudança Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

de direção, de um mesmo ângulo, relativamente à direção que possuíam aquando da translação. Imaginemos agora que invertemos a ordem das operações geométricas e que sobre um referencial colocado num ponto P do plano, o fazemos rodar em torno do eixo dos zz de um ângulo . Nessa situação a origem do referencial continua no mesmo ponto P do plano e os eixos dos xx e dos yy, mudaram de direção no mesmo sentido e com o mesmo afastamento angular. Se em seguida aplicarmos ao referencial a translação T, o referencial passa para o ponto P’, ficando com a mesma disposição que tinha no primeiro conjunto de transformações geométricas. Quer isso significar que as operações geométricas aqui referidas gozam da propriedade comutativa. Vamos proceder agora de acordo com as regras do cálculo matricial, onde, em primeiro lugar se efetua uma translação e depois uma rotação. Assim sendo tem-se essa translação definida pela equação 3: Equação 3

𝑇𝑥 𝑥 + 𝑇𝑥 𝑥 𝑥′ 𝑇 𝑦 𝑦 [𝑦′] = [ ] + [ 𝑦 ] = [ + 𝑇𝑦 ] 𝑧 𝑇𝑧 𝑧 + 𝑇𝑧 𝑧′

Sobre a matriz anterior (equação 3) vamos aplicar uma rotação de um ângulo  no sentido anti-horário, em torno do eixo dos zz, obtendo-se assim equação 4:

cos(𝜃) 𝑥′′ [𝑦′′] = [ sin(𝜃) 0 𝑧′′

Equação 4 (𝑥 + 𝑇𝑥 ) cos(𝜃) − (𝑦 + 𝑇𝑦 )sin(𝜃) 𝑥 + 𝑇𝑥 −sin(𝜃) 0 cos(𝜃) 0] 𝑋 [𝑦 + 𝑇𝑦 ] = [(𝑥 + 𝑇𝑥 ) sin(𝜃) + (𝑦 + 𝑇𝑦 )cos(𝜃)] 𝑧 + 𝑇𝑧 0 1 𝑧 + 𝑇𝑧

O resultado indica que o único eixo que sofreu translação e rotação e cuja direção e sentido não se alterou relativamente às transformações geométricas euclidianas, foi o eixo dos zz, que passou do ponto P para P’ enquanto que os eixos dos xx e dos yy sofreram uma rotação em torno do eixo dos zz de um ângulo , mas sofreram também a translação de um vetor que rodou do mesmo ângulo que os eixos. Ora, daqui resulta que essa operação não corresponde apenas a uma rotação dos eixos e a uma translação pura e que a origem do referencial não está em P’. No fundo para se obter a situação geométrica adequada teríamos que introduzir fatores de correção nas componentes de T que anulassem a rotação desse vetor e essa intervenção teria que ser feita a nível do resultado final e não pela aplicação de uma rotação inversa sobre T, de modo que quando o associássemos a uma outra rotação direta esse efeito desparecesse. Não sendo tal possível, não se encontra uma regra ou algoritmo que permita obter o resultado pretendido para que as duas transformações anteriores deem o mesmo resultado geométrico. Assim sendo, para se ter com essas Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

operações matriciais o que se obtêm na geometria Euclidiana, a solução final teria que ser a da equação 5: 𝑇𝑦

𝑇

(𝑥 + cos𝑥(𝜃)) cos(𝜃) − (𝑦 + −sin(𝜃)) sin(𝜃)

𝑥′′ Equação 5 [𝑦′′] = (𝑥 + 𝑇𝑥 ) sin(𝜃) + (𝑦 + 𝑇𝑦 ) cos(𝜃) sin(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑧′′ [ 𝑧 + 𝑇𝑧 ] Quer o resultado anterior significar que teríamos que aumentar os módulos das componentes do vetor de translação T, para que o efeito geométrico produzido fosse o mesmo que intuitivamente pressupúnhamos. Contrariamente ao espectável e apesar de podermos considerar que o referencial inicial era ortogonal monométrico, a transformação de ajuste do vetor translação, quando a ordem das operações geométricas é a considerada, passa a ser dimétrica. Assim sendo, não só se opera sobre o vetor T uma transformação de escala como também se transformam as suas componentes de modo dissemelhante. Repare-se também que essa trajetória de cálculo, depois de corrigida, nunca dará resposta a situações geométricas que correspondam a rotações em torno do eixo dos zz no sentido anti-horário de ângulos de 90º, 180º e 270º, pois admite-se que o ângulo de 360º tem o mesmo efeito que o ângulo 0º, o que significa geometricamente, não ter havido rotação. Esse tratamento matemático, mesmo depois de efetuadas correções introduz erros substanciais no tratamento de um problema geométrico e a sua aplicabilidade está condicionada a um subdomínio específico de rotações . Tentemos agora a ordem inversa das duas operações geométricas, com um tratamento algébrico matricial, onde se realiza primeiramente uma rotação do sistema de referência de um ângulo  no sentido anti-horário em torno do eixo dos zz, e só depois, se realiza uma translação por um vetor T. Equação 6

cos(𝜃) −sin(𝜃) 𝑥′ [𝑦′] = [ sin(𝜃) cos(𝜃) 0 0 𝑧′

𝑥 0 𝑥 cos(𝜃) − 𝑦sin(𝜃) 0] 𝑋 [𝑦] = [𝑥 sin(𝜃) + 𝑦cos(𝜃)] 𝑧 1 𝑧

Apliquemos então a essa transformação uma translação por T: 𝑇𝑥 𝑥 cos(𝜃) − 𝑦 sin(𝜃) + 𝑇𝑥 𝑥′′ 𝑥 cos(𝜃) − 𝑦sin(𝜃) 𝑇 𝑥 Equação 7 [𝑦′′] = [𝑥 sin(𝜃) + 𝑦cos(𝜃)] + [ 𝑦 ] = [ sin(𝜃) + 𝑦 cos(𝜃) + 𝑇𝑦 ] 𝑇𝑧 𝑧 + 𝑇𝑧 𝑧 𝑧′′ Esse resultado corresponde de facto a uma rotação de um ângulo no sentido antihorário, a que se segue uma translação pelo vetor T, passando um referencial de P para P’, tal como previsto intuitivamente pela geometria Euclidiana. Não existe aqui Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

qualquer limitação no domínio das rotações e não há que corrigir com fatores algébricos o resultado obtido.

5- Conclusões

Conclui-se do ponto anterior que para que haja significado geométrico, idêntico ao da geometria Euclidiana, das operações matriciais que atuam conjuntamente para representar uma rotação e uma translação de um sistema de referência, a ordem das operações tem que ser precisa, necessitando a rotação de ter prioridade sobre a translação. Caso tal não se verifique, haverá que introduzir correções no resultado, a posteriori, onde não se aplica um raciocínio semelhante ao raciocínio geométrico, nem um algoritmo algébrico claro. As conclusões teóricas aqui mencionadas não se parecem repercutir em trabalhos práticos semelhantes ao que aqui se realizou e onde se usam essa duas transformações em simultâneo, mas estão claramente subjacentes. Poderá querer isso significar que o raciocínio geométrico é um raciocínio intuitivo, enquanto o raciocínio algébrico matricial se apresenta como contraintuitivo. Como produto deste trabalho também resultou a digitalização e planificação de um objeto arqueológico numa escala de 1:8, o que permite utilizá-la em contextos muito diversificados.

6- Bibliografia

AutoCAD 360. 2014. AutoCAD 360 Learning. https://www.autocad360.com/ learning/. Data de consulta: Janeiro de 2014.

Hilbert, D. 2003. Fundamentos da Geometria. Gradiva, Lisboa.

Lima, E.L. 2001. Medida e Forma em Geometria. Comprimento, Área, Volume e Semelhança. SBM. Rio de Janeiro.

Ribeiro, C. 2012. Álgebra Linear e Geometria Analítica. Vol I. ISEL. Lisboa.

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Rodrigues, A.F., Martins, N., Ribeiro, N. & Joaquinito, A. 2014. Early Atlantic navigation: Pre-Portuguese presence in the Azores Islands. (Em preparação).

Wagner, E. 1993. Construções Geométricas. Gráfica Wagner. Rio de Janeiro.

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