UM NOVO PRINCÍPIO DE DISSIPAÇÃO DE ENERGIA PARA A FRATURA BASEADO NA TEORIA FRACTAL

UM NOVO PRINCÍPIO DE DISSIPAÇÃO DE ENERGIA PARA A FRATURA BASEADO NA TEORIA FRACTAL Lucas Máximo Alves Al. Nabuco de Araújo ,469,Uvaranas,CEP - 84031-510, Caixa Postal 1007, Fone/Fax: (042) 223-9355 Ramal-38, [email protected], Centro Interdisciplinar de Pesquisas em Materiais, Universidade Estadual de Ponta Grossa-PR, CIPEM/UEPG-PR.

RESUMO  Teoria Fractal para a descrição do processo de propagação das trincas, com algumas modificações  Algumas considerações da Termodinâmica dos Procesos Irreversíveis

Um novo princípio de dissipação de energia, ()  Válido para estruturas fractais ramificadas como trincas e rupturas dielétricas OBJETIVOS  Compreender melhor o processo de formação destas estruturas e em particular o processo de propagação destes fenômenos.  Foi possível calcular a taxa máxima de trincamento numa fratura catastrófica

 Compreender o processo de ramificação das trincas numa visão Fractal. INTRODUCÃO Qual o caminho seguido por uma trinca?? Fratura Estável  G = Rf Catastrófico Ramificada  G>Rf e G/a Rf/a)   Conectando os “defeitos” concentradores de tensão mais próximos (Ao = ec, c 0) a) Fenômeno da ruptura, mostrando a caminho da trinca b) Princípio de ruptura de Weibull válido para o caminho da trinca

menor caminho para uma trinca caminho mais fraco ou “fácil”.

corrente de elos mais fracos .caminho dos elos mais fracos

3

Figura - 1.0. Analogia entre o caminho seguido por uma trinca, conectando os defeitos “mais próximos” numa região delimitada por defeitos em um material e uma corrente de elos fracos de Weibull.

4

Figura - 2.0. Superfícies de fratura, mostrando o número de micro-superfícies em função do número de defeitos presentes. FUNDAMENTACÃO TEÓRICA

Condições para ramificação?  Alta densidade volumétrica de energia acumulada  Volume limitado  Distância de interação característica  Velocidade máxima de propagação do fenômeno  tempo de interação caracteristica

A tendência geral observada numa fratura frágil, é a necessidade que o corpo tem de aliviar as tensões concentradas num ponto, da forma mais eficiente possivel, de forma que a dissipação seja máxima (  ) e o transporte seja mínimo (Ao = ec, c  0, onde e: espessura do corpo) através do mecanismo das ramificações, gerando um tipo de estrutura atualmente conhecida como fractal(3),

“A dimensão fractal se aplica a fenômenos físicos que se propagam eficientemente de sítio a sítio, sem re-visitar os sítios anteriores”. Stanley(4)

5

Deve haver um critério dinâmico de estabilidade(2), dado por alguma função que descreva o fenômeno da fratura. O MODELO

6

Figura - 1. Fractais ramificados, mostrando um elemento de estrutura a) Fractal Físico estatisticamente auto-similar b)Fractal Matemático auto-similar. dU/dt = (dU/dt)int + (dU/dt)ext APLICAÇÃO A FRATURA

Figura - 2. a) Trinca radial num disco de espessura ”e” e raio Rmáx. b) fragmento fractal de raio r e espessura “e”. Ao = Ar H-D A = Te

*

 = r/R

T = Tr H-D Nf()= H-D A Formulação Matemática do Princípio

7

int = (dUf/dNf)(H-D) [/( + 1)](Nf/r)vr int = (dUf/dNf)(H-D)(Nf/R)Vr onde:  = (dr/dt)/(dR/dt) -1. A direção escolhida para a dissipação é aquela em que o alívio (ruptura) se dará com a maior potência interna dissipada possível (int = Fv = Rv/c) entre dois pontos próximos favoráveis de fratura.

8

Figura - 4. Trincas formadas com diferentes graus de densidade de energia imposta ao material.

DECORRÊNCIAS DO PRINCÍPIO

9

Dividindo-se o processo de fratura em graus de intensidade de energia aplicados a um material frágil, pode-se entender através das expressões (D) e (G) os diversos níveis de dissipação de energia de fratura dento de um material. Se: a) ap = f e dR/dt  0, regime estável ( processo quasi-estático, Figura - 4a). b) ap > f e 0 < dR/dt < Vs, regime instável não catastrófico (Figura - 4b). c) ap >> f e 0 < dR/dt = Vs, regime instável catastrófico (Figura - 4c). d) ap >>> f e 0 < dR/dt = Vs, regime instável catastrófico com ramificações de trincas (Figura - 4d). e) ap >>>> f e 0 < dR/dt = Vs, regime instável catastrófico com ramificação de trincas e superposição de ramos sem fechamento de contornos (Figura - 4d). f) ap >>>>> f e 0 < dR/dt = Vs, regime instável fragmentante com ramificação de trincas superposição de ramos e fechamento de contornos em fragmentos (fragmentação) porém com velocidade dos fragmentos aproximadamente nula (Figura - 4e). A partir deste regime qualquer saldo energético proveniente da densidade de energia externamente aplicada, é impingido sobre a energia cinética dos fragmentos, o que representa uma “explosão” (Figura - 4f). dU/dt =(dU/dN)(dN/dt) = (dU/dV)(dV/dt)

10

dN/dt = (H - D)(Nf/R)(dR/dt) = (H - D)(Nf/R)Vr dN/dt)máx = VS/ao = [E/ (1-)]1/2)/ao dU/dt = (dU/dN) (H - D)(Nf/R)Vr = Fr.Vr = 2reVr Fr = (dUint/dNf)(H - D) (Nf/R) r (R) = (-1/2e)(dU/dN) (H - D)(Nf/R) dV/dt = 2RedR/dt = 2reVr dUint/dV) = (f2 /E) = r/R dUint/dV)máx = r/ao Vmáx = VS =[E/ (1-)]1/2) dU/dN = 2aoe f2 /E = (2/Tr)1/2  f2 /E = (2/T)D--H

11

12

CONCLUSÕES Foi possível:  Relacionar o fenômeno da fratura frágil com a Termodinâmica dos Processos Irreversíveis, através de um princípio geral de dissipação.  Relacionar a dimensão fractal com alguns parâmetros físicos da mecânica da fratura.  Explicar o crescimento de estruturas fractais (trincas, dendritas, rupturas dielétricas, etc) que têem a necessidade de dissipar a energia acumulada num volume limitado da forma mais eficiente possível, mas possuem tempos de interação microscópicos característicos.  Entender o processo de ramificação destas estruturas como uma forma eficiente de distribuir a energia pela maximização da área superficial, e do número de estruturas com a minimização do transporte de energia.  O abaixamento da energia livre numa situação de instabilidade capaz de gerar uma estrutura fractal, se dá de forma que, a estrutura gerada possua a forma geométrica que melhor otimiza o processo de dissipação e transporte de energia no espaço e no tempo  A limitação do escalonamento entre escalas min    max é explicado pela quantidade de energia total armazenada inicialmente no sistema  É possível garantir que quando a escala de dissipação for mínima a potência dissipada é máxima.  A menor estrutura correspondente à escala mínima, passa obrigatóriamente a existir, porque necessariamente existe um tamanho mínimo onde a interação microscópica acontece.  Os tamanhos críticos responsáveis pelos fenômenos de nucleação de trincas, são os limitantes inferiores para o processo de escalonamento  A teoria de Griffith para trincas está implicitamente incluida no processo quando  = min, e o máx, corresponde a escala microscópica da dimensão da trinca ou do corpo de prova.

13

 A partir das considerações feitas neste trabalho foi possível entender de forma heurística os conceitos decorrentes da teoria fractal, desde a fratura até a “explosão” em fragmentos, cujo conjunto deles pode ser entendido como o pó do material frágil, formado num processo de “trituração” ou “explosão”.

14