Uma aplicação do teorema dos resíduos

Uma aplicação do teorema resíduos: Z ∞ dos 1/2 x o cálculo da integral 2 dx 2 (x + 1) 0 a c tort 7 de abril de 2016 Considere a integral: Z

∞

I1 = 0

x1/2 dx. (x2 + 1)2

(1)

Se você consultar uma boa tabela de integrais, por exemplo, [1], verá que esta integral vale: Z

∞

I1 = 0

x1/2 π √ . 2 dx = 2 4 2 (x + 1)

(2)

Como este resultado foi obtido? A resposta é: com a técnica do cálculo de resíduos! Vejamos como. Considere a integral no plano complexo: I I2 = Γ

z 1/2 dz = (z 2 + 1)2

I Γ

z 1/2 dz. (z + i)2 (z − i)2

(3)

De acordo com o teorema dos resíduos, [2]: I f (z) dz = 2πi Γ

k X

Resf (z) |z=zj .

(4)

j=1

No nosso caso z 1/2 f (z) = . (z + i)2 (z − i)2

(5)

No plano complexo, a função f (z) definida acima tem um ponto de ramificação em z = 0 e polos de segunda ordem em z = ± i. Para efetuar a integração devemos especificar a curva fechada Γ, o caminho de integração no plano complexo, e o corte. Escolheremos o corte coincidente com o semi-eixo real x > 0 conforme mostrado na Figura 1. Completando o 1

contorno temos um círculo de raio ρ e um círculo menor de raio . Para este caminho fechado, a integral no plano complexo é igual I I2 = Γ

  2 X z 1/2 z 1/2 dz = 2πi Res . 2 2 (z 2 + 1)2 (z + i) (z − i) z=zj j=1

(6)

Cada resíduo deve ser calculado com fórmula [2]: Resf (z) |z=zj =

dm−1 1 lim [(z − zj )m f (z).] (m − 1)! z→zj dz m−1

(7)

Em seguida somamos os resíduos calculados e multiplicamos o resultado por 2πi. No nosso caso, o polo é de segunda ordem, isto é: m = 2, logo um cálculo direto nos dá

Resf (z) |z=−i =

−(1 + i) √ 8 2

(8)

Resf (z) |z=+i =

(1 − i) √ 8 2

(9)

e

Somando os dois resíduos e multiplicando o resultado por 2πi, obtemos I z 1/2 π √ . I2 = 2 dz = 2 2 2 Γ (z + 1)

(10)

Os detalhes destes cálculos são mostrados no apêndice. Portanto, segue que podemos escrever: Z 

ρ

x1/2 dx + (x2 + 1)2

Z cír. de raio ρ

Z + cír. de raio 

Z  z 1/2 (x exp 2πi)1/2 dz + 2 dx 2 (z 2 + 1)2 ρ [(x exp 2πi) + 1] z 1/2 π dz = √ , 2 2 2 (z 2 + 1)

(11)

Agora, exp( 2πi) = 1 e (exp 2πi)1/2 = −1. Por outro lado, como veremos mais adiante, fazendo uso da desigualdade M L [2] podemos mostrar que as integrais sobre o círculo maior e sobre o círculo menor tendem a zero quando ρ → ∞ e  → 0, respectivamente. Segue então que Z ρ Z  x1/2 x1/2 π dx − = √ , (12) 2 2 2 2 2  (x + 1) ρ (x + 1) ) ou, invertendo os limites de integração da segunda integral Z ρ Z ρ x1/2 x1/2 π dx + = √ . 2 2 2 2 2  (x + 1)  (x + 1) ) 2

(13)

Figura 1: Contorno para a integração da equação (3). Segue que ∞

Z 0

x1/2 π dx = √ . 2 4 2 (x2 + 1)

(14)

O resultado está em concordância com o dado na literatura, ver por exemplo [1], fórmula 3.241.5. Para completar o cálculo mostraremos que a contribuição das integrais sobre o círculo maior e sobre o círculo menor, como afirmado acima, é desprezível nos limites ρ → ∞ e  → 0. Primeiramente lembremos a desigualdade M L: Z f (z) dz ≤ M L, (15) Γ

onde L é o comprimento do caminho Γ no plano complexo e M é um valor tal que |f (z)| ≤ M . Considere agora f (z) =

z 1/2 . (z 2 + 1)2

(16)

Para estabelecer uma estimativa de |f (z)| considere inicialmente 2 2 z = z + 1 − 1 ≤ z 2 + 1 + 1. 3

(17)

Segue que − z 2 + 1 ≤ − z 2 + 1,

(18)

ou ainda, 2 z + 1 ≥ z 2 − 1.

(19)

Multiplicando ambos os lados desta equação por 1/ [|z 2 + 1| × (|z 2 | − 1)], temos 1 1 ≥ 2 . −1 |z + 1|

(20)

|z 2 |

Permutando os lados 1 1 ≤ , |z 2 + 1| |z 2 | − 1

(21)

que o resultado ao qual queríamos chegar. Vejamos agora como aplicar este resultado. Para o círculo de raio ρ temos, |z 2

1 1 ≤ 2 , + 1| ρ −1

(22)

logo, z 1/2 |z|1/2 ρ1/2 1 = = |f (z)| = 2 2 2 → 7/2 . 2 2 2 ρ (z + 1) |z + 1| (ρ − 1)

(23)

Portanto, para ρ → ∞, ML →

1 ρ7/2

× 2πρ =

2π → 0. ρ5/2

(24)

No caso do círculo de raio , quando  → 0, temos 1/2 z 1/2 1/2 1/2 = |z| = . |f (z)| = 2 2 2 →  2 2 2 (z + 1) |z + 1| ( − 1)

(25)

Segue que M L → 1/2 2π = 2π 3/2 → 0.

(26)

Referências [1] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik; A. Jeffery, Editor: Table of Integrals Series, and Products 5th edition. (Academic Press: San Diego), 1994. [2] E. Kreyszig Advanced Engineering Mathematics 7th edition (Wiley; New York), 1993.

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Apêndice Nas Figuras 2 e 3 mostramos o cálculo dos resíduos efetuado com um programa simples de computação algébrica, o Symbolic Logic.

Figura 2: Cálculo do resíduo em z == −i.

Figura 3: Cálculo do resíduo em z = +i.

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