Uma Identidade Trigonométrica e um Teorema de Arquimedes

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UMA IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA E UM TEOREMA DE ARQUIMEDES Rui Eduardo Brasileiro Paiva Genário Sobreira Santiago

“

Dê-me um ponto de apoio e moverei o mundo

”

arquimedes

O nome de Arquimedes de Siracusa (cerca de 287 – 212 a. c.), hoje em dia, está principalmente ligado a um importante princípio da Física chamado lei do empuxo. No entanto, a sua contribuição na Geometria é também de grande importância. Segundo Maor [4] foi Arquimedes quem primeiro propôs um método capaz de fornecer o valor de p com qualquer precisão desejada através de procedimento matemático – um algoritmo, em lugar de medição. A ideia de Arquimedes era obter um círculo e nele inscrever uma série de polígonos regulares com um número cada vez maior de lados. Cada polígono tem um perímetro ligeiramente menor do que a circunferência, mas conforme aumentamos o número de lados dos polígonos eles se aproximam cada vez mais do círculo. Outro importante resultado de Arquimedes já foi tema de um artigo do professor Geraldo Ávila, na RPM 10, que relata as descobertas de Arquimedes sobre a área e o volume da esfera. A proposição 21 do livro I sobre a esfera e o cilindro, de Arquimedes afirma que:

14 | no. 83 | revista do professor de matemática

AK + BJ + CI + DH + EG FK = . FL KL

(1)

Agora, sendo c o comprimento de uma corda em uma circunferência l de raio R e sendo q o ângulo entre os raios que partem do centro de l até as extreθ midades da corda, temos c = 2R ⋅ sen . 2 I

I H

J

H

J

G

K

G

K R

P3

P1

L

P2

P5 P4

P9

P7 P6

P8

F

LFK

θ

L

F

R E

A

E

A

D

B

AK + BJ + CI + DH + EG = ρ, FL sendo r a razão de semelhança. Em seguida, utilizamos a propriedade do ângulo inscrito numa circunfeπ rência para concluir que LFK = , e como todos 12 os triângulos retângulos sombreados possuem um ângulo inscrito na circunferência também medindo p/12, segue que o triângulo KFL é semelhante a qualquer triângulo retângulo sombreado, daí estabelecemos a igualdade:

D

B

C

Por exemplo, a figura acima apresenta um dodecácono regular cuja soma dos segmentos na cor laranja (AK + BJ + CI + DH + EG) está para o diâmetro FL, assim como FK está para o lado KL do polígono. Para comprovar isso, basta olhar primeiramente para as semelhanças entre os triângulos retângulos sombreados, das quais obtemos:

Uma identidade trigonométrica e um teorema de Arquimedes

Se em um círculo inscreve-se um polígono regular de 2n lados e traçam–se segmentos paralelos que ligam cada vértice desse polígono ao seu simétrico em relação a um diâmetro perpendicular a tais segmentos, então a soma desses segmentos está para o diâmetro assim como o segmento que subentende (n – 1) lados está para um dos lados do polígono.

C

Um fato interessante é que existe uma relação preciosa entre o exemplo do dodecágono e a equação do comprimento de uma corda: o comprimento da corda que subentende 2k lados desse polígono é igual kπ a 2R ⋅sen . 6 1 Em particular, tomando-se R = obtemos os 2 seguintes resultados: segmento

subentendendo

comprimento da corda

AK

2 lados (k = 1)

sen(p/6)

BJ

4 lados (k = 2)

sen(2p/6)

CI

6 lados (k = 3)

sen(3p/6)

DH

8 lados (k = 4)

sen(4p/6)

EG

10 lados (k = 5)

sen(5p/6)

Comprimento da corda subentendida entre os lados do dodecágono regular.

revista do professor de matemática | no. 83 | 15

Uma identidade trigonométrica e um teorema de Arquimedes

Archimedes Thoughtful (1620) Domenico Fetti (1589 – 1623)

Arquimedes, matemático, físico e inventor grego nasceu em Siracusa (Sicília) em 287 a.C. Foi educado em Alexandria e pensa-se que possivelmente fora aluno de Euclides. Algumas obras de Arquimedes: A esfera e o cilindro Os conóides e os esferóides A medida do círculo A quadratura da parábola Dos corpos flutuantes

Por outro lado, também é válida a seguinte relação no triângulo retângulo KFL: cotg

π FK = . 12 KL

(2)

Comparando as equações obtidas em (1) e (2) com a tabela anterior, naturalmente chegamos ao seguinte resultado: π 2π 3π 4π 5π π sen + sen +sen +sen +sen = cotg . 6 6 6 6 6 12 O leitor certamente não encontrará dificuldades ao generalizar esse resultado para o caso de um polígono regular de 2n lados inscrito numa circunferência cujo diâmetro é igual a 1. Nesse caso, o teorema de Arquimedes equivale a seguinte identidade trigonométrica: π 2π (n − 1)π π sen + sen +  +sen = cotg . n n n 2n 16 | no. 83 | revista do professor de matemática

REFERÊNCIAS [1] ÁVILA, G. S. S. Arquimedes, a esfera e o cilindro. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 10, [2] BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. [3] HEATH, T. L. The Works of Archimedes. Dover Publications, 1897 [4] MAOR, E. A história de um número. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003.