Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/.

Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática An initiation to Stochastic Differential Equations: some discussions and insights without mathematical minutiae Jorge Guerra Pires Department of Information Engineering, Computer Science and Mathematics University of L'Aquila, Italy Institute of Systems Analysis and Computer Science (IASI) Cosiglio Nazionale delle Ricerche (CNR) Rome, Italy CAPES Foundation, Ministry of Education of Brazil Email: {[email protected], [email protected]}

Abstract. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz a mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística. Abstract. Amongst the most significant scientific revolution of the last century lies on the mutation of the lines of attack we make use of for facing and model our reality. We started out with a reality scrupulously defined, precise, with scientists such as Laplace and Einstein, for so arriving to a reality which is stochastic, with scientists such as Ito. On this paper we dissert, even in an interim style, regarding the changes that has occurred in science, we argue regarding stochastic calculus, golden fruit of the twentieth century, on the other hand with roots in the sixtieth century. We portray some examples, we show methods either to solve the problems analytically or numerically, which are born from this mentality. Some references are left over with the aim of serving as a staring point for anymore that could potentially want to jump in the area. The scope of the work is catching the attention for the area of stochastic modelling, and the motivation is the apparent lack of interest for stochastic modelling coming from areas such as production engineering. Keywords. Stochastic Modelling; Stochastic Models; Evolution of Scientific Rationale; History of Science; Statistics. 1. Introdução Umas das maiores questões não-respondidas do século vinte - que continua até os tempos atuais - com raízes no século dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade:

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. determinística ou estocástica? Por determinística, diz-se que ao se repetir um experimento várias vezes- dado que se tome os devidos cuidados de se manter as mesmas condições (condições iniciais, parâmetros, variáveis de estado e etc.) para todos os experimentos-, obter-se-ia os mesmos valores. Um caso fácil de se visualizar, mas tendencioso, equivale a resolver numericamente uma equação diferencial ordinária repetidamente, ou mesmo calcular ótimos de funções sobrepondo métodos como gradiente, assumindo-se que se inicie sempre do(s) mesmo(s) valor(es) inicial(is). Como caso alternativo, caso se jogue uma moeda, ou um dado, várias vezes e procure adivinhar (prognosticar) os próximos valores, certamente encontrar-se-ia problemas em acertar todas as vezes1. Quando se confronta com problemas desta natureza, e se procura relações similares a equações diferenciais ordinárias, toca-se ao que se chama de Equações Diferencias Estocásticas (EDE). Equações diferencias estocásticas diz respeito a um grupo de modelos titulados 'Modelos Estocásticos'; sendo um dos modelos, ao lado de equações diferenciais parciais, com maior número de pesquisas e pessoas envolvidas quando se discorre em matemática aplicada nos tempos atuais. Em EDE, trabalha-se com funções de probabilidade em vez de números (equações algébricas) ou funções ordinárias (equações diferenciais ordinárias ou parciais). Apesar de que Louis Bachelier (1900), em sua tese "Teoria da Especulação", deparou "as bases" (uso eficiente e pioneiro) para o cálculo estocástico2, Albert Einstein (1905), físico Americano-Alemão com origens judaicas, é na maioria das vezes creditado pela fundação do cálculo estocástico, em sua tese de doutorado e um dos seus cinco artigos de 1905, agora classificado como um dos "artigos miraculosos de 1905"3. 1.2 Fatores históricos e filosóficos As investigações de Einstein no movimento browniano4 institui um dos pontos mais supinos na longa reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo. Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda" 1

Um exemplo interessante seria o "problema" de adivinhar o sexo do filho no estado inicial da gravidez. Apesar de se

saber que igual probabilidade é atribuída aos dois casos possíveis, dado que seja o primeiro, é impossível acertar o sexo com precisão. 2

Este é o nome geral, que inclui equações diferenciais estocástica, integrais, sistemas dinâmicos, e modelos.

3

Não existem evidências de que Einstein estava ciente do trabalho publicado cinco anos antes; e não seria a primeira

vez que isso ocorreria, Einstein derivou resultados similares ao de Josiah Willard Gibbs, conhecido em engenharia pelo emprego por muitos de parte do seu trabalho em simulated annealing, em termodinâmica estatística e otimização, aparentemente sem saber. 4

On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat (1905), Stachel (1998).

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. (tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física5. Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies, abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre). Como se pode inferir da literatura (Winston, 1996; Sen, 2010), modelos estocásticos já é parte da grande área chamada Pesquisa Operacional. De acordo com ponto de vista do autor do artigo corrente, mesmo sendo parte de livros-referências, o conceito de modelos estocásticos não é explorado de forma ativa em salas de aula em cursos de engenharia produção; um exemplo de conhecido do autor, mas com certeza outros casos existem. Uma forma de ver a questão pode ser aceita como sendo um certo "preconceito", ou mesmo falta de cultura. Mesmo modelos estocásticos sendo abordados em materiais didáticos geralmente adotados em engenharia de produção, o conceito aqui discutido não aparece nesses materiais. Uma possível explicação consiste na demanda da aplicação de ferramentas "mais elaboradas", como cadeia de Markov. Infelizmente, evolução significa em todos os sentidos, principalmente em termos metodológicos, de forma prática, sem crescimento intelectual contínuo, pouco se pode esperar do futuro, se falar-se em campos científicos sólidos; um exemplo interessante seria mecânica quântica, algo "completamente difícil", mas que mesmo assim faz parte da grande de muitos engenheiros, incluído de engenheiros industriais e de produção. Talvez umas das sentenças mais salientes de Einstein seja "Deus não joga dados"; na verdade essa é uma forma reduzida de um discurso mais bem elaborado. Em mesma discussão, Niels Bohr, cientista dinamarquês conhecido por liderar físicos nos anos 1920s, o que deu origem à "busca da unificação" e mecânica quântica, afirmava que Deus joga dados, e que Einstein não deveria intervir na forma como Deus governa o universo. O mais interessante é que hoje ou essa discussão não existe devido à não-aplicação de teorias estocásticas ou quando justapostas, pouco se fala no assunto, de grande importância; Einstein acreditava firmemente que estocástico é somente temporário, ao contrário de Bohr e outros da época; na verdade Pierre-Simon Laplace insistiu neste ponto muito antes de Einstein. O que se pode dizer dos tempos atuais? especialmente sobre o valor da teoria estocástica, formalizada no cálculo estocástico? Aparentemente, em biologia Deus joga dados "e nos chama para jogar juntos". Igualmente, mas com motivos diferentes, em mecânica quântica, Deus aparenta jogar dados. A diferença entre mecânica quântica e biologia reside no fato de que em mecânica quântica, teoricamente, mesmo que 5

Biologia e medicina podem ser consideradas os campos recentemente com maior uso dessas ideias.

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. se aumente a precisão de equipamentos, o princípio da incerteza, de Heisenberg, no diz que ainda assim teríamos incertezas; ao passo que em biologia essa incerteza nasce da nossa "incompetência" como cientistas. Há quem diga que nem mesmo em biologia alcançaremos precisão, mas isso somente o tempo nos articulará através de pesquisas e equipamentos de ponta. Outra área na qual a imprecisão se encontra presente é na economia. Outra área seria ciências da informação; exemplos nos tempos atuais são copiosos. Como destaca Tabak (2004, p.14; tradução livre): "Se alguém percebe a realidade aleatória como expressão do divino, então o mesmo não acredita que o evento é aleatório para começar". Essa sentença mostra um dos paradoxos que limitou o desenvolvimento do cálculo probabilístico por tempos, "finalmente derrubado" no século vinte. Como enfatiza Tabak (2004,"Parte I: O que é probabilidade?"; tradução livre), estudos em probabilidade, que culminaram em tanto na teoria estocástica atual como modelou nossa forma de "ver" o mundo, matematicamente, começou com o cientista italiano Gerolamo Cardano no século dezesseis; no entanto, Cardano malogrou-se em elevar-se ao que estaria por vir com cientistas como Galileo Galilei, século dezessete, devido a sua ineptidão de ver o problema da probabilidade do ponto de vista somente matemático; muitos arrazoavam que forças divinas ponderavam em forma de eventos aleatórios, sendo assim, temos um disparate, não existe aleatório, é tudo plano de um ser "maior". Em aquiescência com Tabak (2004, "Parte I: O que é probabilidade?"; tradução livre), a ideia fundamental da aleatoriedade jaz na "incompressibilidade"; em termos bucólicos, se a forma de representar uma sequência supostamente aleatória for maior do que a sequência em se, conseguintemente, a sequência é aleatória; por exemplo, poder-se-ia representar fluentemente uma série geométrica ou aritmética, sendo assim essas não são sequências aleatórias. Muitas ideias foram alvitradas para explicar o conceito de aleatório, mas de certa forma, apesar da evolução desde o século dezesseis, ainda não apreendemos uma ideia precisa. É interessante mencionar, como historiadores da ciências assinalam, o conceito de aleatório, a despeito de não explorado matematicamente, permanece deste tempos remotos; por exemplo, "dados" feitos de ossos de animais foram topados (escavados) em sítios arqueológicos. Durante o século dezoito, probabilidade começa notavelmente a mudar de configuração, o que culminou na nossa visão contemporâneo de aleatório; muito da matemática demandada para chegar ao cálculo estocástico somente seria desenvolvida no século vinte; por exemplo, com Einstein, Smoluchowski, e outros. Como realça Tabak (2004, "Parte I: O que é probabilidade?"; tradução livre), ideias sobre probabilidade antes do século vinte eram espargidas, sem centralização, unificação epistemológica. Uma das maiores mudanças foi na mentalidade, em especial desde

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. Laplace, jaz no aceite de que existe a necessidade de haver um cálculo estocástico, não somente por "incompetência científica", como ajuizava Laplace, mas sim por indigência, existem fenômenos que não podem ser descritos pelas nossas leis da natureza, e talvez nunca serão. A teoria da probabilidade almejada por Laplace era somente um conjunto de técnicas matemáticas para modelar erros de medidas. A partir do momento que se aceitara que o nosso universo não é completamente determinístico, nem toda causa surge de um efeito único e previsível, o cálculo estocástico se projetou. Como destaca Tabak (2004, "Parte I: O que é probabilidade?"; tradução livre): "Para algumas aplicações, previsibilidade se tornou uma relíquia do passado". Robert Brown (1773– 1858), apesar de não ter desenvolvido nenhum cálculo matemático, é credito por começar o cálculo estocástico. Brown conduziu um conjunto meticuloso de experimentos em um fenômeno que havia descoberto, usando microscópio, mas ninguém conseguira aclará-lo com precisão, sem cair em contra-senso; elucidações variara desde forças vitais até efeito de evaporação, Brown em se pensara que o material inicial no qual o fenômeno foi discernido (individuado), sementes, estava vivo. Seria necessário esperar em torno de cinquenta anos para que os experimentos de Brown ganhassem um sentido físico e matemático quando Einstein aplicara os resultados para parcialmente fundamentar seu artigo, como o mesmo escrevera (Einstein, 1905): "É possível que os movimentos aqui debatidos são análogos aos titulados movimentos moleculares brownianos; excepcionalmente, as informações disponíveis a mim são tão imprecisas que não posso aperfeiçoar uma opinião categórico sobre o tópico". Como aparta Tabak (2004, "Parte I: O que é probabilidade?"; tradução livre), as descobertas de Einstein, Smoluchowski, e Maxwell foi somente o cabeçalho. Durante as últimas décadas do século vinte, ficou claro que modelos estocásticos poderia (deveria) ser aplicado a várias áreas; com a respectiva polarização do autor do artigo corrente, as áreas de biologia e medicina são os exemplos mais ativos atualmente. As áreas de finanças e economia se posiciona entre os primeiros problemas resolvidos com cálculo estocásticos, e sendo um exemplo de sucesso relativo. Talvez um dos exemplos mais interessantes do uso de probabilidade, mesmo ainda em sua fase inicial, resida nos trabalhos do monge Gregor Mendel, considerados por muitos como o pai da genética. Mendel, basicamente, justapôs conceitos de proporções para estudar como características físicas são passadas de geração para geração em plantas, predominante ervilhas. Ver Edelson (1999) para detalhes históricos e filosóficos sobre o trabalho de Mendel. Apesar do cálculo estocástico atual ser densamente baseado no "cálculo aleatório", estatística ocupa uma posição importante quando se fala de soluções numéricas; análises estatísticas são conduzidas em geral para entender os

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. resultados. Ver (Tabak, 2004, "Parte II: Estatística") para discussões históricas e filosóficas. Ver Stigler (1986) para uma referência mais focada à estatística. 1.3 Organização do trabalho Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas.

Na segunda parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo

estocásticos, mas ainda iniciais. Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais6, por exemplo Scott (2013) é uma referência de livre acesso e "em termos simples".

Equações diferenciais estocásticas constituem apenas um aspecto dos modelos

estocásticos. Por exemplo, modelos em Arena® seriam um exemplo "simples"; nestes casos não se faz uso de equações, mas sim de funções probabilísticas, com parâmetros originados de experimentos em sistemas reais, observações durante um período de tempo, cada simulação não surge de uma equação como em equações diferenciais estocásticas, mas sim de um "sistema aleatório", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dúvida, e valer-se do valor para decidir qual a próxima decisão a ser tomada.

2. Alguns modelos Os exemplos apresentados aqui foram tirados de Picchini (2007), devido a ser uma fonte facilmente acessível, mas os mesmos modelos e mais podem ser achadas em outras fontes como Kloeden e Platen (1999). Todos os modelos estão na formulação de Ito, para os sistemas na formulação de Stratonovich, ver tanto Picchini (2007) quanto Kloeden e Platen (1999). TABELA 1 - Exemplos de modelos em equações diferenciais estocásticas, formulação de Ito. Modelo Matemático

dX t = − aX t dt + σdWt

Observação Este processo é padrão em EDE e se chama Processo de Ornstein–Uhlenbeck. O processo de Ornstein–Uhlenbeck é um processo estocástico que descreve a velocidade de uma partícula browniana

6

Infelizmente, a maioria são para "matemáticos". Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a

atenção para a área, para engenharias mais focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. com massa sobre a influência de atrito.

Este

processo é um processo de Markov, estacionário e Gaussiano;

essas

matemático,

propriedades

formulação

matematicamente, estocástico

este

conhecido

é

o

facilitam

a

do

problema

único

processo

com

todas

essas

propriedades. Ainda mais, esse processo é uma EDE linear, com solução "em forma de receita de bolo".

dX t = (aX t + b )dt + σdWt

Processo

de

Ornstein–Uhlenbeck,

segundo

exemplo. Este modelo foi classicamente aplicado em previsão de preço de estoques. Este modelo é conhecido como modelo de Black Scholes; ou mesmo

modelo

browniano

geométrico.

A

característica interessante deste modelo é que o ruído cresce com o valor da variável de estado, ou

dX t = aX t dt + aX t dWt

mesmo diminui, sendo zero para o valor zero da variável de estado. Na versão determinística deste modelo, a função nunca alcança zero, somente no limite, mas no caso estocástico isso ocorre. Ver simulações a seguir para esse modelo, note que se os valor do coeficiente de difusão for relativamente alto, pode-se ter zonas de valores negativo.

dX t = −

( = (β

1 X t dt + a 1 − X t2 dWt 2 2a

)

Este é um modelo não-linear, mas com solução analítica. Ver Kloeden e Platen (1999, pp.120-21).

dX t1 = β1,1α 1 + β1, 2α 2 − β1,1 X t1 − β1, 2 X t2 dt + σ 1dWt

Este modelo é em duas dimensões, duas variáveis

dX t2

de estado.

α 1 + β 2, 2α 2 − β 2,1 X t1 − β 2, 2 X t2 )dt + σ 2 dWt

2 ,1

NOTA. A notação usada é padrão em livros textos, para os leitores não familiarizados, favor consultar livros-textos. Em essência, dX t = dX (t ) , ao contrário do caso determinístico, não se expressa EDE em forma de "fração"; na verdade essa forma empregada na tabela em se é somente "um truque", a forma correta é em notação de integral.

3. Exemplos de modelos com solução analítica O processo de Ornstein–Uhlenbeck é simples o suficiente para ser facilmente entendido, e geral o bastante para ser aplicável a casos reais, posto desta forma, esse modelo será discutido. Considere o processo geral:

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. dYt = (c(t ) + d (t )Yt )dt + (e(t ) + f (t )Yt )dWt

Eq.1

Yt =0 = Y0 Onde: c(t ) , d (t ) , f (t ) , e e(t ) são funções do tempo, determinísticas, Yt é a variável (processo) estocástica de estado, Wt é o movimento browniano, também conhecido como processo de Wiener; Y0 é valor inicial, que pode em se ser um processo estocástico. Esta equação é chamada de EDE linear, e possui solução geral, chamada de solução fundamental:

t t Yt = Φ (t ) Y0 + ∫ Φ −1 (t )(c(t ) − f ( s )e( s ) )ds + ∫ Φ −1 (t )e( s )dWs    0 0

Eq.2

t  t  f ( s )²  ds + ∫ f ( s )dWs  . Onde: Φ(t ) = exp∫ d ( s ) −  0 0 2    

Vários exemplos de EDE encontrados na literatura podem ser considerados um caso especial desde modelo genérico, sendo assim, pode-se aplicar esta forma geral para a solução. O processo de Ornstein–Uhlenbeck possui forma geral igual a, que na verdade é somente um caso especial do modelo para EDE linear:

dX t = θ ( µ − X t )dt + σdWt

Eq.3

A solução geral é dada pelo processo estocástico:

t

X t = X 0e −θt + µ (1 − e −θt ) + σ ∫ eθ ( s −t ) dWs

Eq.4

0

E possui as seguintes propriedades:

E ( X t ) = X 0e −θt + µ (1 − e −θt )

Eq.5

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Var ( X t ) =

σ 2θ

Eq.6

A primeira propriedade diz que ao tempo passar, o ponto inicial perde efeito exponencialmente, ou seja, qualquer condição inicial convergirá para o mesmo ponto final, a média do processo. A segunda propriedade diz que a variância não depende do tempo, mas sim dos parâmetros do modelo, tanto no termo de difusão quanto "arraste" (drift). Acaba-se de ver um caso de EDE que possui solução analítica, qualquer EDE pode ser resolvida numericamente em caso de litígio. Por exemplo, essa equação poderia modelar uma substância injetada no corpo humano, como um fármaco. Exclusivamente, não existem tantos casos de sucesso analiticamente como os temos em equações diferenciais ordinárias (EDO); mesmo EDOs não possuem soluções para casos genéricos, equações diferenciais parciais (EDP) seria um outro exemplo de sistemas determinísticos sem solução para casos genéricos, sendo o uso de computadores obrigatório.

4. Soluções numéricas Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos, que são usados na maior parte do tempo. Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs. Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e Platen (1999) para discussões. Picchini (2007) disponibiliza um pacote em Matlab® com exemplos - os casos usados na seção de exemplos foram tiradas dessa referência - "prontos para serem resolvidos", os exemplos estão em forma de demo; adicionalmente, o usuário pode definir seus próprios casos, ou mesmo incorporar o pacote em seu próprio programa. Infelizmente, o pacote não foi atualizado deste 2007, mas para fins educacionais, este possui grande valor, especialmente por ser código aberto (pode ser modificado) e livre (sem custo). Segundo o autor, Picchini (2007), não existem pacotes em Matlab para EDE, algo que mudou deste 2008.

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. Matlab®, desde 2008, incorporou em sua biblioteca padrão métodos para tratar EDE. Os métodos se encontram no pacotes Finantial Toolbox, que depende dos pacotes Optimization Toolbox e Statistics Toolbox; ver http://it.mathworks.com/help/finance/sde-class-hierarchy.html. Outros softwares possuem pacotes, na maiores dos casos desenvolvidos por grupos, terceiros, como em R e Systems Biology Markup Language (SBML). A diferença entre própria implementação e diferentes softwares reside na mesma que se chega em cálculo determinístico, precisão e tipo de problemas que podem ser resolvidos. Por exemplo, o método de Euler é bastante simples de entender e implementar, mas não pode ser aplicado a muitos problemas devido a dificuldades de precisão e "explosão", o método diverge em passo acelerado da solução real, ao passo que o método de Runge-Kutta se apresenta como um opção mais precisa e geral, mas mesmo assim não pode ser aplicado a qualquer problema, como equações com "pulos" (descontinuidades) ou mesmo discretas. 5. Estudo de caso: Preço de Estoque Sabe-se que estoque pode ser uma forma de reduzir custos ou mesmo controlar o fluxo de produto em um rede de produção-distribuição; sendo os detalhes omitidos. Uma forma de modelar o crescimento do valor de estoque seria:

Eq.7

dp = µp dt

Essa equação simplesmente formaliza o fato de que o valor do estoque cresce em função dos valores anteriores; de forma exponencial, note que vários fatores não são considerados. Com a manipulação adequada, chega-se à versão estocástica: dpt = µpt dt + σpt dWt

Eq.8

Onde: pt = p(t ) ; Wt é o movimento Browniano com média zero e desvio padrão

t

e as

demais propriedades do movimento Browniano. Essa equação diferencial estocástica possui solução, ver Evans (2015):   σ2 pt = p 0 exp σWt +  µ − 2  

 t  

Eq.9

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. A simulação da solução segue abaixo, figura 1. A simulação do processo estocástico, em curva negra, é feita aplicando-se as propriedades do movimento browniano; ver tanto Picchini (2007) quanto Kloeden e Platen (1999), como exemplos de referências. Neste caso, tem-se a solução analítica. Note que a solução analítica da EDE, comparado com a versão determinística, curva em vermelho, é um processo estocástico em se. Toda solução de uma EDE é um processo estocástico, da mesma forma que toda solução de equações diferenciais são funções em vez de números, como o é para equações algébricas. Note ainda mais que a curva vermelha labora como um centro de gravidade para a curva negra; essa é uma das propriedades da formulação de Ito para o EDE, o valor esperado da solução, que pode ser calculado fazendo-se uso de técnicas tradicionais de cálculo de probabilidade e estatística, é a solução determinística, como pode ser ratificado do gráfico. Abaixo alguns resultados valendo-se da função simulate (Matlab)7 são listados, figura 2. O que deve ser explanado com relação ao gráfico é primeiramente que a variação de parâmetros dá vida a uma gama de comportamentos maior do que a versão determinística. Alguns modelos estocásticos, um exemplo seria o modelo "populacional de nascimento e morte", disponibilizam parâmetros

que

aparecem

na

versão

determinística,

mas

não

podem

ser

medidos

experimentalmente. No modelo populacional que leva em conta morte e nascimento, o comportamento visto é a diferença matemática entre o coeficiente da taxa de nascimento e morte, não somente um; ao contrário da versão estocástica, na qual cada parâmetro influência o modelo de forma separada. O último ponto interessante de notar, que também não aparece no modelo determinístico correspondente, reside no fato de que existe um domínio negativo, ver curva vermelha, figura 2. Isso pode não ser desejado em alguns casos, como por exemplo se a variável de estado representa preços ou mesmo concentrações; adicionalmente, durante as simulações para alguns casos, chega-se a números imaginários.

7

Veja por exemplo http://it.mathworks.com/help/finance/example-simulating-equity-prices.html#brptlrm-1. Acessado 2 Julho 2015.

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FIGURA 1 – Soluções exatas, determinística e estocástica para a eq. 8. A solução determinística é obtida ao atribuirmos zero a sigma em eq.8. Alguns pontos da solução devem ser comentados para efeito didático. Primeiramente, o "ruído" aumenta com o passar do tempo e segundo a solução determinística, em vermelho no gráfico, segue como centro da solução estocástica. O aumento do ruído é atribuído ao fato de que na equação estocástica, eq.2, temos o valor do preço do estoque multiplicando a componente estocástica. Caso essa fosse uma constante, ter-se-ia um caso de processo de Ornstein-Uhlenbeck; que por sua vez possui solução analítica. A explicação da formulação na eq.8 pode variar, um exemplo seria dizer que quanto maior for o preço do estoque, maior será a influencia de fatores externos. Fonte: elaboração própria.

FIGURA 2 – Soluções numéricas para a eq. 8. Cada gráfico é adquirindo ao se repetir a simulação estocástica por cem vezes, então o valor médio é empregado como solução numérica. Fonte: elaboração própria.

6. Conclusões e considerações finais Neste trabalho, discerniu-se sobre o cálculo estocástico como rota de investigar sistemas estocásticos, que abundantemente são modelados empregando-se cálculo determinístico. O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinística ou estocástica, depende do quão a componente estocástica contribui para o processo como um tudo. Modelos estocásticos podem nascer de

A aparecer. Simpep (22° edição) 2015, http://www.simpep.feb.unesp.br/. sistemas determinísticos, por exemplo, quando se negligencia, por falta de conhecimento ou escolha, variáveis de estado; ver Tabak (2004) para algumas discussões nesta direção. Infelizmente, com o passar do tempo, menos se sabe da natureza que nos cerca, mas como alguns asseveraram, "estamos mais perdidos do que nunca, mas agora com um grau maior de astúcia". Modelagens estocásticas abrolham tanto da inépcia temporária e espacial de entender o processo posto diante de nós como pendência teórica, como o principio de Heisenberg. Independente do motivo, o cálculo estocástico, desenvolvido nomeadamente no século vinte e vinte e um, principalmente devido à demanda de reformar o cálculo clássico, tem sido uma opção. Outras formas existem, como "força brutal", um exemplo são modelos em Arena®, bem conhecido em engenharia de produção. Referências EDELSON, E. Gregor Mendel: And the Roots of Genetics. Oxford University Press, 1999. EINSTIEN, A. On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. 1905. In: J. Stachel. Einstein’s Miraculous Year. Princeton University Press: 1998. EVANS,

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Version

1.2,

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