Uma solução analítica para o clássico problema do caçador e o macaco

Uma solução analítica para o clássico problema do caçador e o macaco Neri Luiz von Holleben

Afonso Henriques Silva Leite

13 de outubro de 2015

Resumo O problema do caçador e o macaco, e suas variantes, tem sido utilizado há muitos anos nos manuais de Física para ilustrar o efeito do campo de aceleração gravitacional homogêneo e constante exercido pela Terra nos corpos próximos a sua superfície. É comum os autores de manuais de Física, tanto no ensino médio, como no superior, evitar o tratamento analítico deste problema, que na verdade, é muito mais interessantes devido a sua generalidade. Este artigo visa, portanto, apresentar uma resolução analítica elegante e acessível ao estudante curioso do ensino médio possibilitando o seu aprimoramento conceitual e matemático assim como fornecer um material pelo qual o professor poderá utilizar em sala de aula através do Método ABP (Aprendizagem Baseada em Problemas). Palavras-chaves: cinemática. balística. lançamento oblíquo. queda livre.

Introdução O problema do caçador e o macaco, e suas variantes, tem sido utilizado há muitos anos nos manuais de Física para ilustrar o efeito do campo de aceleração gravitacional homogêneo e constante exercido pela Terra nos corpos próximos a superfície da mesma. Eis o seu enunciado: “Um macaco está dependurado em um dos galhos de uma árvore. Um

Figura 1 – Configuração do problema do caça-

caçador aponta seu rifle em direção

dor e o macaco. Fonte: manual de

ao macaco. No instante que o ca-

laboratório da UCLA

çador puxa o gatilho, o macaco se assusta com o som, larga o galho, e cai da árvore. A questão é: a bala

Resultados e discussão

ainda acertará o macaco? Se não, onde o caçador poderia ter apontado

Como é de praxe de muitos autores de livros

a arma para acertar o macaco?”

didáticos, o mesmo deixa para o estudante, por 1

uma questão de simplicidade de enunciado, que é H. Podemos então construir um triângulo o mesmo suponha que tudo está sob condições retângulo conforme ilustra a Fig. 2. ideais: a mira e a arma são perfeitas, o som é ou-

PM 2

vido instantâneamente pelo macaco, a reação do macaco é instantânea, não há vento, etc. Inicial-

g

y

mente, o problema deve ser tratado de maneira

x

mais simples possível, desta forma, vamos consi-

H

derar os objetos como pontos materiais como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro de massa dos mesmos. Considerando tudo isso, o problema passa a ter status de “Gedankenexperiment” ou “toy model”, isto é, um experi-

v~o θ

1 0

PM 1

D

mento mental útil para testar as consequências teóricas partido-se de certas hipóteses e uma dada teoria considerada. Por inspeção da Fig.1, já pode-se identificar

Figura 2 – Geometria da situação inicial com o projétil e o macaco em forma de pontos materiais.

que haverá uma deflexão negativa da direção inicial do projétil em relação a direção original conforme o projétil avança, fazendo-nos con-

Da Fig. 2, obtemos a eq. (1):

siderar plausível que a bala acerte o macaco

H = D tg θ

(1)

durante a queda. Também por inspeção, temos explicitados pela trajetória dos mesmos, que

Em uma primeira abordagem, podemos sim-

há dois regimes de movimento bem conhecidos plesmente determinar como cada cordenada do para estes corpos, nomeadamente: corpo varia com o tempo e comparar as expressões da coordenada y do PM 1 com o da Lançamento oblíquo para o projétil

coordenada y do PM 2, se forem iguais após

Queda livre para o macaco

um certo tempo t então eles estarão no mesmo

Começamos então por esquematizar o problema buscando as suas grandezas de fácil acesso experimental na situação inicial e final. à partir daqui, por conveniência, não vamos mais nos referir mais aos corpos específicos e sim aos pontos materiais correspondentes a estes corpos (por isso é denominada "Mecânica da Partícula"). Assim temos que: Projétil → Ponto material 1 (PM 1)

espaço e tempo. Uma abordagem mais interessante, , serua supor que o PM 2 tenha avançado uma distância λ em relação ao ponto em que o PM 1 teria interceptado o PM 2 se caísse mais devagar. Veja a Fig. 3. Tal construção, permite-nos obter a equação crucial do problema: |∆y| = (H − h) + λ

(2)

Que resolvendo para λ fica:

Macaco → Ponto material 2 (PM 2) λ = |∆y| − H + h

(3)

Na situação inicial, temos que o PM 1 possui uma velocidade inicial v~o e faz um ângulo

De onde podemos distinguir matematica-

de medida θ em relação a horizontal. A distân- mente três situações distintas e suas respectivas cia horizontal até o PM 2 é de D e a altura interpretações físicas:

λ = 0 → PM 1 atinge PM 2

Logo, de (6), (7) e (4) em (3) temos que

λ < 0 → PM 1 passa por cima de PM 2

gt2 gt2 − voy t + voy t − 2 2 λ=0 λ=

λ > 0 → PM 1 passa por baixo de PM 2 Uma simples equação, leva a um desdobramento de 3 realidades possíveis. A beleza na

∴

O resultado, não causa o frisson que o expe-

argumentação consiste justamente na flexibiliza- rimento da queda de dois corpos com diferentes ção de possibilidades e depois, dado os regimes pesos que fora demonstrada pela famosa exde movimento considerados, concluir analítica- periência de Galileu Galilei na Torre de Pisa, mente que só poderá acontecer uma, e somente mas é bastante interessante se pensarmos na uma, das possibilidades para λ. sua generalidade. O projétil sempre acertará o macaco independente da magnitude da veloy

cidade inicial e da gravidade. Outra maneira

g H −h

∆y

x

interessante de resolver o problema é imaginar que a gravidade pudesse ser desligada durante

H

o experimento, sabemos que a bala seguirá em

λ

linha reta através da 1a Lei de Newton, ora, isto

h

é equivalente a colocar o sistema de referência no macaco com a gravidade ligada, logo, a bala

D

acertará o macaco independente da magnitude Figura 3 – Geometria da situação final com o da velocidade e da gravidade. PM 2 supostamente além do ponto Dada a crescente importância da interdisem que seria interceptado pelo PM ciplinaridade em nossa época pelos exames na1.

cionais, nomeadamente o ENEM, julgamos ser muito importante fazer uma digressão histórica

Deste modo, temos que o problema de saber e filosófica sobre o assunto discutido. Podemos, se o caçador acerta ou não, se resume em saber por exemplo, salientar a autoridade que as equase o valor do escalar λ será nulo ou não através ções possuem em determinar se uma situação se concretizará ou não e que essa maneira de

da eq. (3).

pensar estava longe de ser comum na época de

Para o PM 1, temos: h = voy t −

gt2 2

Galileu, aproveita-se também para fazer uma (4) reflexão sobre o nascimento da Física Moderna (5) com Galileu e sua famosa frase.

D = vox t

Para o PM 2, para o mesmo instante t, te-

“A Filosofia [Ciência] está escrita neste grande livro, o Universo, que

mos que: gt2 |∆y| = 2

está permanentemente aberto e ao (6)

vro não pode ser compreendido sem

Substituindo (5) em (1), obtemos:

antes aprendermos a linguagem e os caracteres em que está escrito.

H = vox t tg θ = vo cos θ = voy t

alcance do nosso olhar. Mas o li-

A linguagem é a Matemática, e os

sen θ cos θ

caracteres são triângulos, círculos (7)

e outras figuras geométricas, sem

as quais é humanamente impossível

de uma análise mais genérica e interessante,

compreender uma única palavra.”

permitindo-o, assim, fantasiar situações inéditas em que poderia obter a mesma previsão para

Considerações finais

λ. Além disso, pode-se vislumbrar alguns refinamentos do problema tais como considerar o

O tratamento analítico fornecido neste ar- macaco como um corpo extenso unidimensional tigo para do problema do caçador e o macaco, de um certo tamanho vertical “a” e também faz jus a todas as horas de estudos matemáticos relaxar algumas restrições feitas inicialmentes sobre simplificação e resolução de expressões e aumentando o grau de liberdade do problema equações algébricas que o aluno vem fazendo tornando λ uma funçao do vento, do tempo de desde a sexta série, além de prover o aluno reação do macaco, etc