UMA TEORIA ESTATÍSTICA FRACTAL PARA A FRATURA EM MATERIAIS FRÁGEIS - Parte I

UMA TEORIA ESTATÍSTICA FRACTAL PARA A FRATURA EM MATERIAIS FRÁGEIS - Parte I

Lucas Máximo Alves Al. Nabuco de Araújo ,469,Uvaranas,CEP - 84031-510, Caixa Postal 1007, Fone/Fax: (042) 223-9355 Ramal-38, [email protected], Centro Interdisciplinar de Pesquisas em Materiais, Universidade Estadual de Ponta Grossa-PR, CIPEM/UEPG-PR.

RESUMO Definindo-se uma probabilidade local de fratura, e fazendo-se considerações estatísticas análogas ao (1) formalismo matemático feito por Weibull porém para a propagação de uma trinca, foi possível chegar a uma expressão análitica que descreve a curva-R em materiais frágeis. Usando-se a descrição fractal para a geometria da trinca, foi possível, junto com a descrição anterior, relacionar analiticamente a dimensão fractal com a curva-R e com a energia total de fratura, além de outras grandezas que descrevem a fratura frágil.

Sendo que: Ti  T (tamanho real) assim como ci c*, onde c* pode ser o tamanho crítico da trinca encontrado por Griffith, pois a estatística auto-similaridade de uma trinca está limitada por uma escala inferior min determinada pelo tamanho critico e por uma escala superior máx dado pelo tamanho macroscópico da trinca. O número de estruturas lineares em que se consegue subdividir a trinca (Figura -1) é dado por: H-D

Ni = Ti /ci = (Tr/ci) i

(D)

onde: Ni: é o número de estruturas na partição com tamanho ci ou na escala i

Palavras-chaves: probabilidade de fratura materiais frágeis, dimensão fractal

N1

N2

N3

Ni

N*

INTRODUÇÃO De acordo com o teorema de Euler para funções homogêneas de grau n qualquer, uma transformação de escala i (min  i  max) numa função deste tipo resulta em: -n

F(ic) = i F(c)

Tr

c1

c2

T1

T2

c3

ci

T3

c*

....Ti .................T

(A)

(2)

Mandelbrot mostrou que as trincas e as superfícies de fratura são estruturas geométricas fractais que satisfazem o teorema de Euler. Considerando-se a superficie de fratura rugosa, como sendo uma função -D homogenea de grau D, ou seja, Ao = i Au e a sua projeção no plano, como sendo uma função homogênea de grau H -H = 2, ou seja, Ar = i Au. Como as areas unitárias Au são necessáriamente iguais, dividindo-se estas relações tem-se : H-D

Ao = Ari

(B)

Por outro lado, para uma fina placa plana (Figura 1) de espessura e 0 , onde Ao = Tie ou Ar = Tre, vale a relação: Ti = Tr iH-D

(C)

onde: Ti : tamanho medido da trinca na escala i Tr: é o tamanho projetado da trinca numa determinada direção i = ci/Tr: tamanho da partição ou escala de medida. D: dimensão fractal ci: tamanho do segmento característico, ou da régua de medida da trinca (Figura -1).

Figura - 1. Trecho de uma trinca sobre um corpo de prova, mostrando, a variação da medida do comprimento Ti da trinca com a escala de medida ou partição ci. Como as energias das superfícies fraturada Uo e projetada Ur são necessariamente iguais tem-se : 2rAr = 2oAo

(E)

onde: r: é a energia de superfície projetada o: é a energia de superfície da superfície fraturada. H-D Multiplicando-se os dois lados de (E) por i temse : 2rAriH-D = 2oAoiH-D

(F)

Usando-se o resultado (2) tem-se : H-D

r = oi

(G) (3)

Esta relação tem sido sugerida por Rodrigues . No caso de Ni  NT (onde NT é o numero total de estruturas lineares até romper o corpo de prova) tem-se T que: Ar  Ar , r rT e o oT logo o lado esquerdo de (G) torna-se portanto:

H-D

rT = oT 

(H)

onde : rT: é a energia de superfície regular do trabalho total de fratura. oT: é a energia de superfície irregular do trabalho total de fratura. T Ar = Tre: é a área total da superfície projetada de fratura (área regular) T Ao = Te: é a área total da superfície real de fratura (área irregular). H-D

rT = oT 

(H)

As relações (H) e (I) são também sugeridas por (3) Rodrigues .

C ci+1

e i+1 r B oi

r ci A

Af

i

b Figura - 3. Célula para cálculo da probabilidade geométrica local de propagação de uma trinca. portanto: pri = ciseni /ri

O MODELO Probabilidade geométrica local de trincamento pri e probabilidade de fratura de um corpo trincado Pf. Um corpo sob tensão, pode ou não resistir a carga aplicada e vir a fraturar. A trinca formada, pode permanecer estática ou apresentar um crescimento subcrítico ou estável, devido aos fenômenos de corrosão ou de temperatura, ou ainda pode se romper catastroficamente. Estas são condições extremas que precisam ser incluidas na teoria fractal aplicada a fratura, para que se possa envolver um espectro cada vez maior de casos existentes na prática. Pode-se considerar três regiões de comportamento de propagação de trincas conforme mostra a Figura - 2. e escrever uma probabilidade geométrica local de trincamento ou fratura pri. região subcrítica

região estacionária pri(c) = ?

fratura catastrófica

Figura - 2. Condições extremas de crescimento de trincas e de fratura, onde pri(c) é a probabilidade local de fratura em função do tamanho de um trecho da trinca). Subdividindo-se a trinca da Figura -1. em pequenas células de tamanho r conforme mostra a Figura 3, será determinado qual deve ser a probabilidade local de um corpo produzir uma próxima trinca ci+1 com inclinação i+1 que resulte em fratura local, uma vez que ele tenha produzido uma trinca ci com inclinação i. Para isso, devese examinar a Figura - 3. Supondo-se que o material é subdividido em NrT = L/r células quadradas de tamanho r fixo, onde se encontra uma trinca conforme a descrição da Figura - 3, a probabilidade geométrica local de fratura da célula, ou seja a probabilidade que a célula de tamanho r trinque completamente, uma vez havendo uma trinca de tamanho ci variável, é dada por: pri = Uo/Ur = (ci /ri)oi /ri

Para um corpo extenso de tamanho L, após Ni trincas de tamanho ci a probabilidade de falha será dada por: Pf =

Ni

pri =



Ni



i1

C ci+1

ciseni/ri

(P)

i1

C e

ci+2

e i+2

i+1 B

B

r

ci i+1 ci

Af

i A

r* ci

Af i A

b b Figura - 4. Reparticionamento da trinca para cálculo da probabilidade local de propagação de uma trinca.

região catastrófica

cresc. subcr. de trincas

(O)

(N)

mas ri é a projeção de oi conforme mostra a Figura -3,

Observe que por causa da expressão (D) o número de estruturas depende da partição feita ao longo de toda a trinca. Porém, é sempre possível encontrar um número Ni = N* (Figura - 4), tal que acima desta partição a fractalidade desaparece dentro de uma escala inferior determinada por ci = c* (que pode ser o tamanho crítico da trinca determinada pela teoria de Griffith), fazendo com que a trinca deixe de ser estatisticamente auto-similar (também existe uma escala superior onde a trinca deixa de ser estatisticamente auto-similar). Neste caso, é sempre posível encontrar um ci = c* fixo, desde que este seja escolhido numa dimensão tal, que a área real de fratura ou extensão real da trinca T seja dada da seguinte forma: Ai = eTi =

Ni



eci  Ao = eT = N*ec*

(Q)

i1

para   min onde a área unitária de fratura ao é dada por: ao = e c*, e por outro lado, o volume que contém a fratura é dado por: V = ebTr =

Ni

 i1

ebl  V = Niebl = N*ebc* (R)

Observe que b não precisa ser indexado, pois pode ser escolhido arbitráriamente, desde que envolva os extremos de deflexão da trinca. Note que, bmáx corresponderá ao comprimento S do corpo de prova. Para r  r*, deve-se impor necessariamente que r* = c*. Sendo, v = ebc*, das expressões (16) e (18) tem-se que: N* = Ao/ao = V/v  N* = T/c*

(T)

(AD)

A partir de (19) e (21) tem-se que: H-D

N* = T/c* = (Tr/c*) *

(AE)

Observe que para N*  0 tem-se que T  c*. logo: Pf = exp[-(T - Tr )/c*)], ou ainda:

(S)

desde que, a trinca seja convenientemente seccionada de forma que se consiga obter: Ti(ci, i, Ni)  T(c*,i*, N*)

Pf = exp[- (N* - Tr /c*)]

H-D

Pf = exp[Tr(1 - *

)/c*)]

(AF)

Por outro lado, a probabilidade de fratura Pf pode ser relacionada com o número de defeitos conectados pela trinca N*(c*) descrita da seguinte forma: Pf(c*) = N*(c*)/N*T(c*) = N*r/N*rT

(AG)

onde a trinca é reparticionada até que se encontre um número N* de estruturas, tal que ci possa ser fixado em c*, e retomando-se novos valores de i = i* conforme mostra a Figura - 4. Neste caso a expressão (D) fica:

onde: N*(c*): é o numero de defeitos conectados pela trinca real Mas N*T(c*) é dado de forma análoga por:

N* = T /c* = (Tr/c*) *H-D

N*T = (L/c*)

(U)

Portanto a trinca passa a ser localmente descrita por uma série de novos valores (c*,i*, N*). Fazendo-se desta forma a expressão (15) para N* fica: p*ri = sen*i

(V)

H-D

onde: N*T: é o número de defeitos que devem ser conectados pela trinca real para que haja a ruptura completa do corpo. logo a probabilidade de fratura Pf é dada por: H-D

Pf = (T/c*)/(L/c*)

logo a probabilidade de falha será: Pf =

N*



seni*

(X)

i 1

e a probabilidade de sobrevivência é dada por: Ps =

N*

 i 1

qri* =

N*

(1 - pri*)=

 i 1

N*

(1 - seni*)



(AI)

onde: L: dimensão do corpo de prova Tr: dimensão linear projetada da trinca

(Y)

Cálculo da Curva-R. A curva de resistência a 2 propagação de uma trinca, em (J/m ) é definda como:

escrevendo-se, porém:

R = dUf/dAf

N*

[1 - (1 - seni*)]



(Z)

i 1

considerando-se que as deflexões da trinca são pequenas, o ou seja, i está em torno de 90 logo, 1 - seni