Unidad 1 Conceptos Básicos Geometría

[Unidad 1 Conceptos Básicos]

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[Geometría]

ACTIVIDAD 2 TEOREMAS Y PROPIEDADES a.

Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R.



De acuerdo al postulado P5, si dos planos se cortan entre ellos entonces se intersecan en una recta y de acuerdo al plano observado no sólo intersecan en dicha recta sino que también lo hacen en un punto o como en la Figura C, puede que no esxista la intersección entre los 3 planos. Por lo tanto ES FALSA.

b.

Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas.

ES FALSA, dado que en la definición 1.5 sabemos que las rectas paralelas nunca se intersectan R1  R2 =0 y es obvio que el punto de corte de R3 es diferente en R1 y R2

c.

Todas las rectas de un plano tienen un punto central.

Esta es una pregunta ambigua, y la responderé de dos maneras ya que podemos afirmar que ES FALSA, ya que esta afirmación habla de rectas y no de segmentos, dado que la infinitud de las rectas nos imposibilita a determinar un punto central. ES VERDADERA. Si estuviésemos hablando de segmentos, por la Definición 1.16 se le llama punto central al punto que se encuentra dentro de un segmento de recta AB tal que se divide este segmento en los segmentos AC y CB donde m(AC) = m(CB).

d.

Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden

llegar a formar un ángulo recto.

VERDADERA como en el caso de la figura donde cada uno mida 45° o que juntos midan 90°, forman un ángulo recto.

e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º.

VERDADERA, en la definición 1.23 la suma de 2 ángulos que sea de 180° son suplementarios. Tal como se muestra en la figura de arriba.. f. Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R1 se llama una recta perpendicular de R2. De acuerdo a la definición 1,25 Sean las rectas R1 y R2 contenidas en un plano P tales que al intersecarse en un punto O, si los ángulos que se forman alrededor del vértice O son de 90º cada uno, esto implica que las rectas se cortan en ángulos rectos. Estas rectas se definen como rectas perpendiculares. Por lo tanto la afirmación f es VERDADERA

g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares. VERDADERA, los ángulos internos de un triángulo suman 180ª y ya que los ángulos colaterales internos son aquellos que se encuentran del mismo lado de la transversal que atraviesa las paralelas al considerar sólo 2 pares de ángulos internos de un triángulo, debido a que son 2 ángulos que están del mismo lado , no son adyacentes y son internos, son pares de ángulos colaterales internos

h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios. VERDADERA, si fueran adyacentes sumarían 180° i. Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios. falsa, dado que un triángulo rectángulo únicamente tiene un ángulo de 90º, por lo que solamente ese al ser cruzado por una bisectriz puede formar un par de ángulos complementarios, los otros 2 son ángulos agudos, al ser divididos por una bisectriz no pueden ser complementarios.

REALIZA LAS SIGUIENTES DEMOSTRACIONES

j.

Sean los puntos A, B y C colineales. Si no contiene al punto A, entonces dado el punto central D de se cumple que

Eso significa un esquema como el siguiente, por lo tanto:

Con el punto central D significa que y A es colineal y no es parte del segmento por lo tanto la igualdad es falsa, en realidad , , por lo que

k.

Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que . Entonces, si y ; determinar las medidas de .

Significa que si son colineales entonces tenemos una expresión AE=AB+BC+CD+DE, dónde AE=75, lo cual significa que AB+BC+CD+DE=75, y ya sabemos que AB+1=BC, también sabemos que AB=DE=2CD,

Ahora sustituimos en la ecuación principal que es AB+BC+CD+DE=75 por la expresión AB=DE=2CD, por lo tanto 2CD+BC+CD+2CD=75, entonces obtenemos 1) 5CD+BC=75 como ya sabemos que BC=AB+1 y que AB=DE=2CD entonces obtenemos 2) BC=2CD+1,

Ahora sustituímos en la ecuación 1) 5CD+BC=75 5CD+2CD+1=75,

7CD+1=75, CD= (75-1)/7 =74/7 CD=74/7

Para obtener BC 1) 5CD+BC=75 5(74/7)+BC=75 370/7 + BC =75 BC= 75 – 370/7 =525-370/7 =155/7=155/7 BC=155/7

Ahora AB=DE=2CD y CD= 74/7 Entonces AB=DE= 2(74/7) AB=DE=148/7

Ahora al sumar todos los segmentos deberá darnos la longitud esperada donde m(AE)=75

AE= 148/7 + 155/7 + 74/7 + 148/7 =525/7 =75

l.

Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.

Si consideramos al ángulo ABC DE 40º , al ángulo DEF de 50º y al ángulo GHI de 50º sabemos que los ángulos DEF y GHI son congruentes y complementarios con el mismo ángulo que es el ángulo ABC , formando un solo ángulo al complementarse con el ángulo ABC

Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta.

Podemos observar como la bisectriz que cruza los ángulos B1 y B2, que evidentemente son opuestos, la bisectriz de ambos se encuentra sobre la misma recta

h. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento AC se extiende por otro segmento CD, se forma así un ángulo BCD cuya bisectriz está dada por la recta que contiene al segmento de recta CE. Si los ángulos CAB=CBA, entonces los segmentos AB y CE son paralelos.

La demostración gráfica nos permite visualizar que efectivamente los segmentos de recta AB y CE son paralelos h. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un segmento de recta es una de las diagonales del romboide, entonces los ángulos de los vértices B y D son congruentes.

Con la diagonal AC del paralelogramo AB CD, se forman dos triángulos ∠ABC y ∠CDA que son iguales por tener el lado AC común.

Observemos como los ángulos de los vértices B y D son congruentes y

opuestos.

Es decir, que los lados opuestos de un paralelogramo AB y CD, BC y AD son iguales.

LAURA PONTÓN BECERRIL

Unidad 1 Actividad 2

GEOMETRÍA ANALÍTICA