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Cálculo Diferencial e Integral I Lista 1 - 03/09/2014

Atenção: Esta lista de exercício deve ser utilizada como complementação do conteúdo e dos exercícios discutidos em sala. Deve-se destacar a importância de todos os procedimentos de resolução. Referência: CALCULO A - Funções, limite, derivação e integração Diva Marília Flemming e Mirian Buss Gonçalves - Editora Pearson

1) Na figura em abaixo, seja: S o conjunto dos pontos dentro do retângulo; T o conjunto dos pontos dentro do triângulo; C o conjunto dos pontos dentro do círculo. E sejam a, b e c elementos na figura. Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: a) T  C b) T  S c) a  T d) a  S

e) b  T e b  C

f) a  C ou a  T

g) c  T e c  C

c 

b 

a 

2) Calcule x se: b) x   2

a) x  7 ; 3) Dados A   2,, a)  A  B   C

B  0, 5

C   ,2 e

c) x  k 2

d) x  k 2

D   3,5 , obter:

b) D   A  C  c)  A  B   C  D 4) Verifique

a 2  a para a  7 e a  7 .

5) Determinar os intervalos numéricos que satisfazem a desigualdade 2  6) Resolva as inequações: a) 3x  12  7

 3  3x  7 2

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b) 6  2 x  x c)

 1  2x  2  x

d) 5 x  5  15 7) Se f x  1  x 2 , calcule o valor de f 2.

(Resp. 9)

8) Seja f x  x  28  x para 2  x  8 . a) Determinar f 5, f  1 / 2 e f 1 / 2 . b) Qual o domínio da função f x  ? c) Determinar f 1 2t  e indicar o domínio. d) Determinar f  f 3 . e) Traçar o gráfico de f x  . 9) Dada  x  

x 1 , 2x  7

1 1 forme as expressões    e . x

 x 

10) Dada a função f x   , mostrar que f 1  h   f 1   1 x

h . Calcular f a  h  f a  . 1 h

11) Dada a função f x   x 2  1 , mostrar que, para a  0 , f 1 / a   f a  / a 2 . 12) Qual o gráfico da função f x   3 , sendo D  R ? 13) Determine o domínio das funções a seguir. a) y  2 x  7 , 1 b) y  , x2 c) y  x 3 , 3x  2 d) y  , 4x  3 x 1 e) y  , 2x f) y  x  2 . 14) A função f x  é do 1º grau. Escreva a função se f  1  2 e f 2  3 ,

(resp. y  1 x  7 ) 3

1 15) Se f x   ax  b e f  2  5 e f 3  5 . Calcule f   . 2

(resp. 0 )

3

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16) Dê um exemplo de uma função linear e construa o seu gráfico. 17) Dê um exemplo de uma função constante e construa o seu gráfico. 18) Dê um exemplo de uma função quadrática e construa o seu gráfico. 19) Verifique se as funções a seguir são crescentes ou decrescentes e em quais intervalos.

Esboce o gráfico. a) f x   x , b) c) d) e) f)

f x   6 x  2 , f x    x  1 , f x   x 2  1 f x   sen x f x   e x

20) A transportadora X cobra por seus serviços R$ 3.000,00 fixo mais R$ 20,00 por quilômetro rodado. A transportadora Y cobra R$ 2.000,00 fixo mais R$ 30,00 por quilômetro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados é preferível usar a transportadora X? Resp. 100km. 21) Escreva a função f x   ax  b , cujo gráfico, num sistema de coordenadas cartesianas

ortogonal, é dado por: y 3

(Resp. y=2x+1)

-1

1

x

-1 22) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada este custando R$ 2,00 e o quilômetro rodado, R$ 0,50 . a) Expresse y em função de x . b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 11km? 23) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa,

no valor de R$ 300,00, e uma parte variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a função que representa seu salário mensal e dê o domínio.

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b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu 10.000

produtos.

(Resp. R$ 1.100,00)

24) Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção divido pela quantidade produzida. Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas C ( x) por Cme( x)  . O custo de fabricação de x unidades de um produto é C ( x)  500  4 x . x a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades? c) Para que valor tende o custo médio na medida em que x aumenta? 25) Uma função de custo simples para um negócio consiste de duas partes – os custos fixos, tais como aluguel, seguro, e empréstimos, os quais precisam ser pagos independentemente de quantas unidades do produto sejam produzidas, e os custos variáveis, que dependem do número de produtos produzidos. Suponha que uma companhia de software para computadores produz e vende uma nova planilha a um custo de R$ 32,00 por cópia, e que a companhia tem um custo fixo de R$ 18.000,00 por mês. Expresse o total do custo mensal como uma função do número x de cópias vendidas, e calcule o custo quando x = 600. 26) Para cada item, calcule f  g , f  g , f  g , f / g , f  g , g  f e k  f , onde k é uma

constante. a)

f x   2 x

b)

f  x   3x  2

c)

f x  

d)

f x   x  2

, ,

x 1 x 2

g x   x 2  1 g x   x

,

g x  

,

g x   x  3

1 x

27) Um projétil é lançado verticalmente para cima e seu movimento é descrito pela equação y   40t 2  200t , onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil t segundos após seu lançamento.

a) Calcular a altura máxima atingida pelo projétil. b) Determina o tempo que o projétil permanece no ar. 28) Supondo que f  g  h , nos itens a), c) e d) encontre a função h e no item b) a função g. a) f x   x 2  1 , g x   x  1 Resp. x 2 b) f x   x  2 c) f x  a  bx d) f x  3x 2  3x  2

, , ,

hx   x  2

Resp.

x

g x   x  a

Resp. bx

g x   3x  5

Resp. x 2  x  1

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Cálculo Diferencial e Integral I Lista 1 - 03/09/2014 29) Sendo f x   ax  b , para quais valores de a e b tem-se  f  f x   4 x  9 ? 30) A função g é definida por g x   x 2 . Defina uma função f tal que  f  g x   x , para x  0 e uma função h tal que h  g x   x , x  0 .