Usando Teoria dos Números para Resolução de um Problema da Olimpíada Internacional de Matemática Crislânio de Souza Macêdo,Críston Pereira de Souza Universidade Federal do Ceará (UFC) Caixa Postal 15.064 – 91.501-970 – Ceará – CE – Brasil
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Abstract This work is related to the solution of a mathematical problem held in the 54th International Mathematical Olympiad (IMO). The text emphasizes the interdisciplinary aspect of the subject, focusing on the ideas and studies exposed in the discipline of Discrete Mathematic. Keywords : IMO. Mathematics. Problem Olympic. Number Theory Resumo Este trabalho trata-se da solução de um problema matemático ocorrido na 54th Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) . O texto ressalta o aspecto interdisciplinar do tema, enfocando as ideias e estudos expostos na disciplina de Matemática Discreta. Palavras-chave: IMO. Matemática. Problema Olímpico. Teoria dos Números Este trabalho apresenta a resolução de um problema de competição matemática utilizando conceitos de teoria dos números [1], assuntos estudados na disciplina de matemática discreta. O problema que segue abaixo foi proposto pela Bélgica na 54th Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) ocorrida em Santa Marta, Colômbia no ano de 2013. [1] PROBLEMA: Prove que existem infinitos números inteiros positivos n , tais que o maior divisor primo de n4 + n2 +1 é igual ao maior divisor primo de (n+1)4 +(n+1)2+1 . [2] Embora o problema proposto tenha enunciado simples, as soluções conhecidas para ele exigem vários passos e criatividade. Consideramos que a resolução apresentada a seguir é simples, mas chegar a esta resolução pela primeira vez é desafiador. Vamos mostrar que o conjunto : R={n∈ℤ>0∣ pn = p(n+1 )} é infinito, para isso basta mostrar que o conjunto S={n∈ℤ⩾2∣(q n >q(n−1 )∩q n >q(n +1) )} é subconjunto de R e é infinito. Lema 1: Se n∈S Então
p n= p(n+1) (Ou seja,
S⊆ R )
DEMONSTRAÇÃO [1]: Se n4 + n2+ 1 = (( n−1)2+(n−1)+1)(n2 +n+ 1) Então, pn=max {q n ,q (n−1) } (Pelo Teorema Fundamental da Aritmética). Em todo n∈ S , temos que q n >q(n−1) ∩q n> q(n+ 1) . pn=max {q n ,q (n−1) } = q n = max {qn , q(n+1) } = p(n +1) ⇒ p n= p(n+1) DEMONSTRAÇÃO [2]: Resta mostrar que o conjunto S tem infinitos elementos, para isso usaremos uma prova por contradição. 2 S é finito. É possível mostrar que q n≠q(n−1) , Assuma que pois n +n+1 e
(n−1)2 +(n−1)+1 são primos entre si: 2 2 2 2 mdc(n −n+1,( n−1) +(n−1)+1) = mdc( n −n+1, n −n+1) e pelo Algoritmo de Euclides isso é igual a mdc(n2−n+1, 2 n) , como 2 não é fator primo de n2−n+1 posso desprezá-lo em 2 n , ficamos com mdc(n2−n+1, n) = mdc(n ,1) = 1 . Seja m o maior elemento de S , note que é impossível que q m> q(m+1) > q(m+2) ... porque todos esses números são inteiros positivos, então existe um k ≥m tal que q k q(m+1) > q(m+2) ... indefinidamente, pois são todos inteiros positivos ( q m é o maior deles), ou seja, não temos uma quantidade infinita de inteiros positivos menores que q m . A partir do m , se q n crescer n> m , não poderá mais decrescer depois. Também não k > m , não podemos ter poderemos crescer indefinidamente a partir de um certo q k (k +1) , k ⩾2 . Para q((k +1) ) ter valor q(k+1 ) , é necessário que tenha ocorrido alguma redução do q , o que é uma contradição, assim que existem infinitos números inteiros positivos n , tais que o maior divisor primo de n4 + n2 +1 é igual ao maior divisor primo de (n+1)4 +(n+1)2+1 . 2
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Conclusões. Concluímos que uma boa base matemática é importante para se chegar à solução de problemas como este. Consideramos também que a resolução deste tipo de problema desenvolve o raciocínio do aluno, e exige que o mesmo busque aprimorar sua base matemática. Agradecimentos. A Deus pela pela força, coragem e determinação durante o trabalho, A minha família pelo incentivo dedicação e apoio financeiro, Aos meus irmãos Marcos Danillo ,Crislene Macêdo pela confiança, Aos amigos Wellington Lucas, David Oliveira pelo apoio, sugestões, Ao prof°. Dr Críston Perreira de Souza pelo incentivo, sabedoria, paciência e disponibilidade . A Universidade Federal do Ceará, onde estudo. Referências Bibliográficas. [1]International Mathematical Olympiad,Santa Marta -Colombia. Disponível em: Acesso em 06 de set. de 2014. [2] International Mathematical Olympiad. Disponível em: Acesso em 06 de set. de 2014. Kenneth H. Rosen. Matemática Discreta e suas Aplicações. McGraw Hill – 2009 International Mathematical Olympiad. Disponível em: Acesso em 06 de set. de 2014.
