Viga de Concreto1D, 2D e 3D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

1º TRABALHO COMPUTACIONAL: Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço por Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ AGOSTO - 2007

LUCAS MÁXIMO ALVES

1º TRABALHO COMPUTACIONAL: Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço

CURITIBA – PARANÁ AGOSTO - 2007 ii

LUCAS MÁXIMO ALVES

1º TRABALHO COMPUTACIONAL: Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço

Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de créditos das aulas da Disciplina de MODELAGEM COMPUTACIONAL EM CONCRETO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná

Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado

CURITIBA – PARANÁ AGOSTO - 2007 iii

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a

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AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer: A minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. Luiz Alkimin de Lacerda, ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. José Antonio Marques Carrer, a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, Maiko Buzzi, Luiz Farani, Rodrigo Dias, e toda a galera do CESEC.

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EPÍGRAFE

“Há quem diga que no Principio era o caos..., Com certeza no Princípio era apenas o Verbo,... Mas, surgiu o caos... e por algum tempo o homem se deixou levar por este.... O Homem cresce a cada dia e no final..., Deus pelo Verbo estabelecerá a Perfeição definitiva” (Lucas M. Alves)

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SUMÁRIO Capítulo – I .................................................................................................................................1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................1 1. 1 – Apresentação do Trabalho ................................................................................................ 1 1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho .................................................................... 1 Capítulo – II................................................................................................................................2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................2 2. 1 – Introdução .............................................................................................................. 2 2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada e dupla e localmente carregada

.............................................................................................................. 3

2.2.1 – Cálculo das Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional........................................................................................................................... 4 2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional........................................................................................................................... 6 2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional........................................................................................................................... 9 2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............10 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ..................... 12 2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6 ............................................................ 16 2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações ............................................... 21 2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga ............................................................. 25 Capítulo – III ............................................................................................................................27 A ESTRUTURA DO CONCRETO .........................................................................................27 3. 1 – Introdução ............................................................................................................ 27 3. 2 – O Concreto

............................................................................................................ 28

3.2.1 - Reação Química ............................................................................................................ 29 3.2.2 - Propriedades Mecânicas e Térmicas do Concreto......................................................... 30 3.2.3 - Tipos de Concreto ......................................................................................................... 30 3. 3 – Modelagem Computacional do Concreto ....................................................................... 31 3. 4 – Relações Constitutivas do Concreto ............................................................................... 33 3.4.1 - Fatores que afetam o diagrama σ × ε ........................................................................... 36 3. 5 – Controle Estatístico do Concreto.................................................................................... 41 3.5.1 - Resistência Característica do Concreto ......................................................................... 41 3.5.2 - Variáveis da Dispersão.................................................................................................. 43 3. 6 – Controle Tecnológico do Concreto ................................................................................ 44 3.6.1 - Determinação do fck....................................................................................................... 44 3.6.2 - Aplicação a Estruturas................................................................................................... 45 3.6.3 - Modelo de Cálculo de Estruturas 1D, 2D e 3D............................................................. 45 Capítulo – IV ............................................................................................................................47 MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................................47 4. 1 – Introdução ............................................................................................................ 47 4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas ............................................. 48 vii

4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados .......................................................................... 48 4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada .................................................................................... 49 4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados..................... 50 4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados ...............................................................51 4.5.2 –Condições de Contorno Impostas .................................................................................. 52 4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados ....................................................53 4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados................................................. 53 Capítulo – V .............................................................................................................................54 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................54 5. 1 – Introdução ............................................................................................................ 54 5.1.1 - Condições de contorno .................................................................................................. 54 5. 2 – Malha – 1-D ............................................................................................................ 55 5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D. 59 5. 3 – Malha – 2-D ............................................................................................................ 60 5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0 ............................................................................................................................ 70 5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0 ............................................................................................................................ 72 5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30 ............................................................................................................................... 74 5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0 ............................................................................................................................ 76 5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0 ............................................................................................................................ 78 5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D ........................................................... 80 5. 4 – Malha – 3-D ............................................................................................................ 82 5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0 ............................................................................................................................ 92 5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0 ............................................................................................................................ 96 5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30 ............................................................................................................................. 100 5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0 .......................................................................................................................... 104 5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0 .......................................................................................................................... 108 5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D ......................................................... 112 Capítulo – VI ..........................................................................................................................113 DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................113 6. 1 – Introdução .......................................................................................................... 113 6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais..................................................114 6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional .......................................... 114 6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D.................................................. 116 6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas .........................................................................118 Capítulo – VII.........................................................................................................................123 viii

CONCLUSÃO........................................................................................................................123 7. 1 - Considerações Finais..................................................................................................... 123 Referências Bibliográficas......................................................................................................124 Apêndices ...............................................................................................................................125 A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear ........................................................................... 125 A.1.1 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............................................125 A.1.2 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional .............................. 126 A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D ........................... 134 Malha – 1-D............................................................................................................................ 135 Malha – 2-D............................................................................................................................ 136 Malha – 3-D............................................................................................................................ 137 A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D............................................... 139 Malha – 1-D............................................................................................................................ 139 Malha – 2-D............................................................................................................................ 142 Malha – 3-D............................................................................................................................ 145

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LISTA DE FIGURAS Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carregamentos localizados. .................................................................................................................................3 Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. ..............................4 Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 < x < xa . ..................................................................................................12 Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho xa < x < L . .................................................................................................13 Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho xa < x < L . .................................................................................................14 Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. .............................................................................................................................20 Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................21 Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................24 Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2. ...........................26 Figura - 3. 1. Diagrama representativo da constituição físico-quimica do concreto. ...............28 Figura - 3. 2. Gráfico da resistência do concreto em função da percentagem água/cimento ...29 Figura - 3. 3. Microestrutura do Concreto formado por um meio heterogêneo e anisotrópico 29 Figura - 3. 4. Esquema de estruturas de vigas e pilares que podem ser construídas utilizando o concreto. ...................................................................................................................................31 Figura - 3. 5. Etapas do processo de modelagem computacional das estruturas de concreto. .32 Figura - 3. 6. Diagrama de carga x deslocamento do concreto. ...............................................33 Figura - 3. 7. Curvas de um Ensaio de Compressão e de um Ensaio de Tração do Concreto..33 Figura - 3. 8. Formato geométrico de corpos de prova utilizados em ensaios mecânicos típicos ..................................................................................................................................................34 Figura - 3. 9. Método Lobo-Carneiro (ou Brazilian) de Ensaio de Concreto...........................34 Figura - 3. 10. Curva de tensão x deformação do concreto. .....................................................34 Figura - 3. 11. Curva de tensão deformação mostrando o descarregamento linerar. ...............35 Figura - 3. 12. Ensaio de Compressão ......................................................................................35 Figura - 3. 13. Variação da tensão de ruptura do concreto com o tempo de aplicação do carregamento. ...........................................................................................................................36 Figura - 3. 14. Variação das resistência do concreto com a idade............................................36 Figura - 3. 15. Graffico da relação entre os fatores de segurança e de economia na engenharia de estruruas. ..............................................................................................................................37 Figura - 3. 16. Redução espontânea do concreto.....................................................................37 Figura - 3. 17. Relação da deformação do concreto com o tempo ...........................................37 Figura - 3. 18. Retração em lajes → efeito de aparecimento de fissuras ................................38 Figura - 3. 19. Ensaio de Fluência do concreto. .......................................................................38 Figura - 3. 20. Resposta da tensão com o tempo em ensaio de fluência do concreto...............38 Figura - 3. 21. Carregamento cíclico para o ensaio de flu6encia do concreto..........................39 Figura - 3. 22. Resposta da deformação em função do tempo..................................................39 Figura - 3. 23. Estudo da fluência do concreto a) aplicação peródica da carga b) resposta da deformação em função do tempo..............................................................................................39 Figura - 3. 24. Execução de Barragens em CCR, por camadas para minimizar o efeito da Deformação Lenta. ...................................................................................................................40 x

Figura - 3. 25. Ensaio de compressão do concreto ...................................................................41 Figura - 3. 26. Controle estatístico em um ensaio de compressão de n corpos de prova. ........41 Figura - 3. 27. Distribuição da tensão de ruptura do concreto..................................................42 Figura - 3. 28. Distribuição estatística da frequência de ruptura do concreto ..........................42 Figura - 3. 29. Controle estatístico da frequência de ruptura do concreto................................44 Figura - 3. 30. Estrutura 3D......................................................................................................45 Figura - 3. 31. Estrutura 1D......................................................................................................45 Figura - 3. 32. Estrutura 2D......................................................................................................45 Figura - 3. 33. Estrutura 3D......................................................................................................46 Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema. .........................49 Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada ..............50 Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP. ......................................................................................................................50 Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP ........................................................................51 Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP. .....................................................................51 Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP ......................................................................52 Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados .........................................53 Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......55 Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......55 Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......56 Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......56 Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ..................................................................................................................................................57 Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. ..................................................................................................................................................58 Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......61 Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......61 Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......63 Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .....65 Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ..................................................................................................................................................67 Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................69 Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. .....................................................................80 Figura - 5. 14. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.81 Figura - 5. 15. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0. .................................................................83 Figura - 5. 16. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada...................................................................................................................................83 Figura - 5. 17. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................85 Figura - 5. 18. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................87 Figura - 5. 19. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ..................................................................................................................................................89 Figura - 5. 20. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................91

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Figura - 5. 21. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. ...................................................................112 Figura - 5. 22. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos. ................................................................................................................................................112 Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios......................................................................................................................................118 Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha..................................................................................119 Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga .........................................................................120

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LISTA DE TABELAS Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga 48 Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto 48 Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga 59 Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga 59 Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 70 Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 71 Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 71 Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 72 Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 73 Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 73 Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 74 Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 75 Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 75 Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 76 Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 77 Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 77 Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 78 Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 79 xiii

Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 79 Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 92 Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 92 Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 93 Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 93 Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 93 Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 94 Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 96 Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 96 Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 97 Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 97 Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 97 Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 98 Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 100 Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 100 Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 101 Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 101 Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0101 Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 102 Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 104 Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 104 Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 105 Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 105 Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0105 Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 105 Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 108 Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 108 Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 109 Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 109 Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0109 Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 110 Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0 114

xiv

Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0 114 Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0 114 Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga 115 Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 119 Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 120 Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 120 Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga 121 Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga 121

xv

LISTA DE SIGLAS

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

xvii

RESUMO

xviii

ABSTRACT

xix

Capítulo – I INTRODUÇÃO

1. 1 – Apresentação do Trabalho Apresenta-se neste volume um trabalho computacional de aplicação dos MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS. Requisito da avaliação parcial para obtenção de créditos das aulas da Disciplina de Modelagem Computacional do Concreto ministradas pelo prof. Dr. Eng. Roberto Dalledone Machado. Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Paraná, do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná.

1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho O presente trabalho tem como objetivos: - Simular uma viga bi-apoiada sem reforço em 1-D, 2-D, 3-D utilizando o Método dos Elementos Finitos pelo código FEAP. - Analisar os resultados obtidos por simulação numérica computacional de cada caso e estabelecer e comparar a relação entre a sua altura e comprimento para os resultados obtidos.

1

Capítulo – II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA RESUMO Neste capítulo será visto uma breve introdução teórica do problema da viga elástica em questão. Será calculado o valor analítico da viga unidimensional para posteriormente ser comparado com os resultados numéricos obtido pelo Método dos Elementos Finitos, para os casos 1D, 2D, e 3D.

2. 1 – Introdução O problema de vigas é muito comum em Engenharia e possui uma larga aplicação na construção de estruturas metálicas e de concreto. Nesta parte consideraremos o problema de uma viga elástica unidimensional de concreto com o intuito de apresentar as principais equações diferenciais do problema e deduzir a equação de deformação da linha elástica unidimensional com a finalidade de comparar com o problema uni, bi e tri-dimensional a ser relsolvido numericamente pelo Método dos Elementos Finitos usando-se o código FEAP.

2

2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada e dupla e localmente carregada Considere uma viga apoiada e flexionada sob dois carregamentos localizados simetricamente em relação ao centro da viga, conforme mostra a Figura - 2. 1.

g Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carregamentos localizados.

Onde w(x) é a componente vertical (altura) da deflexão, da viga em função da posição horizontal, x. Quando existir um carregamento distribuído por unidade de comprimento este se chamará q(x).

3

2.2.1 – Cálculo das Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Biapoiada Unidimensional Considere a viga deformada elasticamente conforme mostra a Figura - 2. 2.

Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O angulo θ de deflexão de uma viga para um arco de comprimento L igual ao da viga é dado pela relação geoméetrica:

L = ρθ

(2. 1)

Para um arco L ' afastado de uma distância y da linha central da viga é dado por: L ' = ( ρ − y )θ

(2. 2)

Como o comprimento original do arco antes da deformação, era L. Logo a deformação ΔL é dada por:

ΔL = L '− L

(2. 3)

Substituindo as equações (2. 1) e (2. 2) em (2. 3) temos: ΔL = ( ρ − y ) θ − ρθ ΔL = − yθ

Considerando a deformação na direção x como sendo:

4

(2. 4)

εx =

ΔL yθ =− ρθ L

(2. 5)

Logo

εx = −

y

(2. 6)

ρ

A deformação correspondente ao valor máximo de y tanto para valores positivos e negativos é dada por:

εm = − Onde c =

ymax

ρ

=

c

ρ

(2. 7)

h é a metade da altura. Logo 2

y c

ε x = − εm

(2. 8)

Pela Lei de Hooke temos:

σ x = Eε x

(2. 9)

Então

y c

σ x = Eε x = − E ε m

(2. 10)

e

y c

σ x = − σm

(2. 11)

5

2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional A partir do cálculo anterior vemos que a tensão normal varia linearmente com a distância à superfície neutra. Logo, a força na direção x dada por:

∫

Fx = σ x dA

(2. 12)

Deve ser nula quando se integra de um ponto inferior ate o ponto superior da barra. ⎛ y ⎞ Fx = ⎜ − σ m ⎟dA ⎝ c ⎠

∫

Fx = −

σm c

∫ ydA = 0

(2. 13)

Portanto,

∫ ydA = 0

(2. 14)

Por outro lado lembrando que o momento é dado por:

∫

M z = − yσ x dA

(2. 15)

Logo substituindo (2. 11) em (2. 16) temos:

⎛ y ⎞ M z = − y ⎜ − σ m ⎟ dA ⎝ c ⎠

∫

(2. 16)

Então

σ Mz = m c

∫y

2

dA

(2. 17)

Como a definição do Momento de Inércia para uma viga retangular é dad por:

∫

∫

I z = r 2 dm → I z = y 2 dA

(2. 18)

σ M z = m Iz c

(2. 19)

temos:

Logo

6

σm =

M zc Iz

(2. 20)

σx =

Mzy Iz

(2. 21)

Proporcionalmente temos:

Para o caso de uma viga retangular temos: Iz =

bh 2 12

(2. 22)

Sabendo que a partir da equação (2. 7) temos:

ε = m ρ c

(2. 23)

σ = m ρ Ec 1 1 M zc = ρ Ec I z

(2. 24)

1

temos: 1

Portanto, o momento fletor sobre uma viga é dado genericamente por: 1

ρ

=

M ( x)

(2. 25)

EI

Mas o raio de curvatura ρ é dado por: d 2w ( x ) 1

ρ

=

dx 2 ⎡ ⎛ dw x ⎞2 ⎤ ⎢1 + ⎜ ( ) ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

3/ 2

(2. 26)

Considerando que a declividade da linha elástica é muito pequena temos:

⎡ ⎛ dw x ⎞2 ⎤ ⎢1 + ⎜ ( ) ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

3/ 2

≅1

7

(2. 27)

Temos: d 2w ( x ) dx 2

=

M ( x) EI

Esta é equação que relaciona a deflexão da linha elástica com o momento fletor.

8

(2. 28)

2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Biapoiada Unidimensional Sabendo que da relação de Poisson as deformações nas direções perpendiculares são:

ε y = −vε x ; ε z = −vε x

(2. 29)

Podemos substituir (2. 6) em (2. 29) e obter:

εy = v

y

ρ

; εz = v

y

(2. 30)

ρ

logo

σ y = Eε y = Ev

y

ρ

; σ z = Eε z = Ev

y

ρ

(2. 31)

E substituindo (2. 25) em (2. 31)

σ y = Eε y = v

Mzy M y ; σ z = Eε z = v z I I

(2. 32)

Mzy M y ; σz = v z I I

(2. 33)

Ou

σy =v

Observe que as tensões nas direções perpendiculares ao comprimento da viga são iguais.

9

2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional Para se equacionar o problema da viga em equilíbrio considera-se a somatória das forças e dos momentos nulos em toda a viga, da seguinte forma:

∑ Fi = 0

(2. 34)

A + B = Fa + Fb

(2. 35)

Desta forma, tem-se:

Por outro lado, tomando a somatório do momento em relação a origem a partir de uma das extremidades da viga temos:

∑Mi = 0

(2. 36)

Onde a somatório dos momentos é dada por: BL − Fa xa − Fb xb = 0

(2. 37)

Logo, B=

( Fa xa + Fb xb ) L

(2. 38)

Retornando (2. 38) em (2. 35) temos: A+

( Fa xa + Fb xb ) = F

a + Fb

(2. 39)

⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ A = Fa ⎜1 − a ⎟ + Fb ⎜1 − b ⎟ L ⎠ L⎠ ⎝ ⎝

(2. 40)

L

Portanto,

Sendo Fa = Fb = F temos: ⎛ (x + x ) ⎞ A = F ⎜2− a b ⎟ L ⎝ ⎠

(2. 41)

xa + xb = L

(2. 42)

Como

10

temos: A = F ( 2 − 1)

(2. 43)

Portanto, por simetria,

A= B= F

(2. 44)

11

2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional Para calcular a equação da linha elástica vamos tomar uma secção qualquer da viga, conforme mostra a Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 < x < xa .

A partir da a Figura - 2. 3 vemos que o momento sobre a viga i) Para o trecho 0 < x < xa é dado por: M A = Ax

(2. 45)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) podemos escrever: M A = Fx

(2. 46)

A partir da equação (2. 28) temos: EI

d 2w ( x ) dx 2

= Fx

(2. 47)

∫

(2. 48)

x2 + C1 2

(2. 49)

Integrando temos: EI

∫

d 2w ( x ) dx 2

dx = F xdx

Logo EI

dw ( x ) dx

=F

Integrando mais uma vez obtemos: 12

EI

∫

dw ( x ) dx

dx = F

∫

x2 dx + C1 dx 2

∫

(2. 50)

temos: EIw ( x ) = F

x3 + C1x + C2 6

(2. 51)

Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho xa < x < L .

ii) Para o trecho xa < x < xb é dado por: M A = Ax − Fa ( x − xa )

(2. 52)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e Fa = F , podemos escrever: M A = Fx − F ( x − xa )

(2. 53)

M A = Fxa

(2. 54)

Ou

A partir da equação (2. 28) temos: EI

d 2w ( x ) dx 2

= Fxa

Integrando temos:

13

(2. 55)

EI

∫

d 2w ( x ) dx 2

∫

dx = Fxa dx

(2. 56)

= Fxa x + C3

(2. 57)

Logo EI

dw ( x ) dx

Integrando mais uma vez obtemos: EI

∫

dw ( x )

∫

(2. 58)

x2 EIw ( x ) = Fxa + C3 x + C4 2

(2. 59)

dx

∫

dx = Fxa xdx + C3 dx

Temos:

Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho xa < x < L .

iii) Para o trecho xb < x < L é dado por: M A = Ax − Fa ( x − xa ) − Fb ( x − xb )

(2. 60)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e que Fa = Fb , podemos escrever: M A = Fx − F ( x − xa ) − F ( x − xb )

14

(2. 61)

Ou M A = Fx − 2 Fx + F ( xa + xb )

(2. 62)

M A = FL − Fx

(2. 63)

como xa + xb = L .

A partir da equação (2. 28) temos: EI

d 2w ( x ) dx 2

= FL − Fx

(2. 64)

Integrando temos: EI

∫

d 2w ( x ) dx 2

∫

∫

dx = FL dx − F xdx

(2. 65)

Logo EI

dw ( x ) dx

= FLx − F

x2 + C5 2

(2. 66)

Integrando mais uma vez obtemos: EI

∫

dw ( x ) dx

∫

dx = FL xdx −

F 2 x dx + C5 dx 2

∫

∫

(2. 67)

Temos: EIw ( x ) = FL

x2 F 3 − x + C5 x + C6 2 6

15

(2. 68)

2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6 Aplicando as consições de contorno onde: i) Condição de Contorno nula em uma das extremidades w ( x = 0) = 0

(2. 69)

03 EIw ( x = 0 ) = F + C1 0 + C2 = 0 6

(2. 70)

C2 = 0

(2. 71)

Usando a relação (2. 51) temos:

logo

ii) Condição de Continuidade funções nos pontos de aplicação das forças w ( x = xa )

0 < x < xa

= w ( x = xa )

xa < x < L

(2. 72)

Então a partir das relações (2. 51) e (2. 59) x 3 x 2 F a + C1xa + C2 = Fxa a + C3 xa + C4 6 2

(2. 73)

x 3 x 3 C1xa = F a − F a + C3 xa + C4 2 6

(2. 74)

⎛1 1⎞ C1xa = Fxa3 ⎜ − ⎟ + C3 xa + C4 ⎝2 6⎠

(2. 75)

x 3 C1xa = F a + C3 xa + C4 3

(2. 76)

x 2 C C1 − C3 = F a + 4 3 xa

(2. 77)

Como C2 = 0

Logo

E

Ou

16

iii) Condição de Contorno nula na outra extremidade w( x = L) = 0

(2. 78)

Usando a relação (2. 68) temos: EIw ( x = L ) = FL

L2 F 3 − L + C5 L + C6 = 0 2 6

(2. 79)

ou EIw ( x = L ) =

F 3 L + C5 L + C6 = 0 3

(2. 80)

F 3 L 3

(2. 81)

Logo C5 L + C6 = −

iv) Usando a condição de derivada nula para a deflexão máxima no centro da viga. dw ( x = xa ) dx

=

dw ( x = xa )

0 < x < xa

dx

xa < x < L

(2. 82)

Então a partir das relações (2. 49) e (2. 57): x 2 F a + C1 = Fxa 2 + C3 2

(2. 83)

x 2 C1 − C3 = Fxa 2 − F a 2

(2. 84)

x 2 C1 − C3 = F a 2

(2. 85)

Logo

Comparando (2. 85) com (2. 77) temos que: x 2 C x 2 F a + 4 =F a xa 3 2

então 17

(2. 86)

x 2 x 2 C4 = F a −F a xa 2 3

(2. 87)

logo C4 =

1 Fxa3 6

(2. 88)

v) dw ( x = L / 2 ) dx

=0

(2. 89)

L + C3 = 0 2

(2. 90)

xa < x < xb

logo EI

dw ( x ) dx

= Fxa

Portanto, C3 = −

Fxa L 2

(2. 91)

Substituindo (2. 91) em (2. 85) temos: xa 2 L − Fxa C1 = F 2 2

(2. 92)

x C1 = F a ( xa − L ) 2

(2. 93)

Logo

vi) dw ( x = xb ) dx

= xa < x < xb

dw ( x = xb ) dx

xb < x < L

(2. 94)

Então xb 2 + C5 Fxa xb + C3 = FLxb − F 2

Usando (2. 91) temos: 18

(2. 95)

Resolvendo essas equações obtemos: i) Para 0 < x < xa Substituindo a expressão (2. 71) e (2. 93) em (2. 51): x3 F + EIw ( x ) = F xa 2 − xa L x 6 2

(

)

(2. 96)

Fx ⎡ 2 x + 3xa 2 − 3Lxa ⎤ ⎣ ⎦ 6 EI

(2. 97)

ou w( x) =

ii) Para xa < x < xb Substituindo a expressão (2. 88) e (2. 91) em (2. 59): x2 L 1 − Fxa x + Fxa3 EIw ( x ) = Fxa 2 2 6

(2. 98)

⎞ F ⎛ x2 L 1 − xa x + xa3 ⎟ ⎜ xa ⎟ EI ⎜⎝ 2 2 6 ⎠

(2. 99)

Ou w( x) =

então w( x) =

(

Fxa 3x 2 − 3Lx + xa 2 6 EI

)

(2. 100)

ii) Para a deflexão máxima no centro da viga: Substituindo x =

w( x) =

L na expressão (2. 59): 2

Fxa 6 EI

⎛ L2 ⎞ L2 ⎜ 3 − 3 + xa 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 2 ⎝ ⎠

(2. 101)

⎛ L2 ⎞ ⎜ −3 + xa 2 ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠

(2. 102)

Logo Fx w( x) = a 6 EI

Ou

19

w( x) =

(

Fxa −3L2 + 4 xa 2 24 EI

)

(2. 103)

iii) Para xb < x < L x2 F 3 − x + C5 x + C6 2 6

(2. 104)

⎛ x2 F 3 F ⎡ 2 L2 ⎞ − x − L − 2 xb 2 ⎤ x − FL ⎜ xb 2 − ⎟ ⎦ ⎜ 2 6 2⎣ 6 ⎟⎠ ⎝

(2. 105)

⎡ x3 ⎛ x2 1 2 L2 ⎞ ⎤ − L − 2 xb 2 x − L ⎜ xb 2 − ⎟ ⎥ EIw ( x ) = F ⎢ − + L ⎜ 2 2 6 ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ 6 ⎝ ⎦

(

)

(2. 106)

(

)

(2. 107)

EIw ( x ) = FL

Logo EIw ( x ) = FL

Portanto,

Ou w( x) =

F 6 EI

(

)

⎡ − x3 + 3Lx 2 − 3 L2 − 2 x 2 x − L 6 x 2 − L2 ⎤ b b ⎢⎣ ⎥⎦

Cujo gráfico da linha elastica em função do comprimento é mostrado na Figura 2. 6

Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

20

2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações Sabendo as dimensões da viga, onde o comprimento l = 10m , a altura h = 2m e espessura t = 1, 0m temos que o volume é: V = l.h.t

(2. 108)

V = 20m3

como a massa especifica ρ = 2320 Kg / m3 , podemos calcular a massa da viga m = ρV m = 2320 Kg / m3.20m3

(2. 109)

m = 46400 Kg Sendo a aceleraçào da gravidade g = 9,8m / s 2 , o peso da viga é P = m.g P = 46400 Kg .9,8m / s 2 P = 454720N

(2. 110)

Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O momento fletor é dado por: M max = Fxa Para um carregamento simétrico com xa = M max =

(2. 111)

L temos: 4 FL 4

Portanto,

21

(2. 112)

454720N.10m 4 4547200J M max = 4 M max = 1136800J M max =

(2. 113)

O momento de inércia é dado por: Iz =

bh3 12

(2. 114)

Portanto, 1.23 12 8 2 Iz = = 12 3 Iz =

(2. 115)

I z = 0, 66667 m 4

A tensão na direção x é:

σx =

Mzy Iz

(2. 116)

Onde y é a posição em relação a linha neutra. Portanto, considerando um ponto sobre a superfície superior e inferior da viga temos:

σx = σx = σx =

1136800J.1m 0, 66667m 4 1136800J 0, 66667 m3 1136800J

(2. 117)

0, 66667 m3 σ x = 1, 705200MPa sendo

σ x = Eε x

(2. 118)

Temos:

εx =

σx

(2. 119)

E 22

Logo substiutindo (2. 116) em (2. 119) temos:

εx =

Mzy EI z

(2. 120)

εx =

Fxa y EI z

(2. 121)

εx =

PLy 4 EI

(2. 122)

A partir de (2. 111) temos:

Ou para o meio da viga temos:

Sendo o medulo Elástico E = 27,5GPa , temos:

εx =

1, 705200MPa 27,5GPa

ε x = 6,201× 10

-5

(2. 123)

como

ε y = −vε x ε y = −(0.3).6,201× 10-5

(2. 124)

E

ε z = −vε x ε z = −(0.3).6,201× 10-5

(2. 125)

ε z = ε y = 1.860 × 10-5

(2. 126)

Temos que:

A Relacão entre o Módulo Elástico Longitudinal e o Transversal ou de Cisalhamento é dada por: G=

E 2 (1 + v )

Logo o módulo elástico tranversal do concreto é:

23

(2. 127)

G ≅ 10.58GPa

(2. 128)

A tensão de cisalhamento τ xy é dada por:

τ xy =

3 Fa ⎛ ⎜1 − 2 A ⎜⎝

y2 ⎞ ⎟ c 2 ⎟⎠

(2. 129)

O diagrama da força cortante é dado por:

Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

Sabendo que:

ε xy =

Δy τ xy = x G

(2. 130)

Logo, a correção de Timoshenko é dada por:

Δy 3 Fa ⎛ = ε xy = ⎜1 − x 2 GA ⎜⎝

y2 ⎞ ⎟ c 2 ⎟⎠

(2. 131)

Ou seja:

Δy =

3 Fa x ⎛ ⎜1 − 2 GA ⎜⎝

y2 ⎞ ⎟ c 2 ⎟⎠

(2. 132)

Para a posição x = L / 2 e y = c = h / 2 temos:

Δy =

3 Fa L 2 GA

(2. 133)

24

2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga E a partir da equação (2. 101) temos:

w( x) =

(

Fxa −3L2 + 4 xa 2 24 EI

Acrescentado a correção de Timoshenko Δy =

)

(2. 134)

3 Fa L , onde A = b.h para uma viga parede 2 GA

temos: Fxa 3 Fa Lh 2 2 2 w( x) = −3L + 4 xa − 24 EI 2 12GI

(

)

(2. 135)

No centro da viga temos:

xa =

L 4

(2. 136)

logo

FL ⎛ L2 ⎞ 3 FLh2 2 w( x) = ⎜ −3 L + 4 ⎟ − 96 EI ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 2 12GI

(2. 137)

Logo

w( x) =

FL 96 EI

⎛ 44 L2 ⎞ 3 FLh 2 ⎜− ⎟− ⎜ 16 ⎟ 2 12GI ⎝ ⎠

(2. 138)

Substituindo os valores em (2. 138) temos: w( x) = −

⎛ 44 (10m )2 ⎞ 3 454720N.10m ( 2m )2 ⎜− ⎟− 16 ⎟ 2 12 (10.6GPa ) 0, 66667 m 4 96 ( 27,5GPa ) 0, 66667 m 4 ⎜⎝ ⎠ 454720N.10m

(2. 139)

Portanto, w ( x ) = −0.7105105100 − 0.3217342404

(2. 140)

w ( x ) = -1.032230688m

(2. 141)

logo

25

bh3 temos: Sendo I z = 12

12 FL ⎛ 44 L2 ⎞ 3 Fa Lh 2 w( x) = ⎜− ⎟− 96 Ebh3 ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 2 Gbh3

(2. 142)

Logo 3

11F ⎛ L ⎞ 3F ⎛ L ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ 32 Eb ⎝ h ⎠ 2Gb ⎝ h ⎠

(2. 143)

3 F ⎡ 11 ⎛ L ⎞ 3 ⎛ L ⎞⎤ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ b ⎢ 32 E ⎝ h ⎠ 2G ⎝ h ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(2. 144)

w( x) = −

Ou w( x) = −

Cujo gráfico é mostrado na

Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2.

26

Capítulo – III A ESTRUTURA DO CONCRETO RESUMO Neste capitulo será visto alguns dos principais conceitos matemáticos e físicos relacionados ao estudo do concreto.

3. 1 – Introdução O concreto é um dos materiais mais estudados, por causa da sua ampla aplicação em engenharia. O seu baixo custo possibilita a construção de estruturas confiáveis e de grande porte, tais como: prédios, barragens, diques, etc. Portanto, é importante estudar o concreto desde a sua natureza físico-química até as suas propriedades mecânicas. Neste capitulo apresentamos um estudo das propriedades microestruturais e mecânicas do concreto utilizando o diagrama de tensão x deformação. A utilização da região linear deste tipo de diagrama será feita em estudo pelo Método dos Elementos Finitos onde será apresentado no capitulo de resultados para a comparação com as previsões teóricas do estudo de uma viga biapoiada e carregada em dois pontos. 27

3. 2 – O Concreto O concreto é um compósito, composto heterogêneo, anisotrópico, formado de

cimento mais água e em alguns casos areia.

Figura - 3. 1. Diagrama representativo da constituição físico-quimica do concreto.

Nesta consistência de cimento + água ocorre: - Reação de hidratação - Comportamento de um fluido viscoso com viscosidade variável - Reação com liberação de energia térmica - O tempo de reação ou de pega é variável - uma vez computada a cura, as propriedades mecânicas do concreto variam com o tempo, por ser um material “reológico”. Resistência Fator água/Cimento ⇒ Trabalhabilidade

28

Figura - 3. 2. Gráfico da resistência do concreto em função da percentagem água/cimento

3.2.1 - Reação Química A reação química do concreto Cimento + Água → Energia(Calor) + Pasta(Gel)

(3. 1)

gera calor em uma transição sol-gel na formação de sua pasta e após a secagem sofre uma densificação. A densificação do concreto é resultado de uma transição do tipo sol-gel. O concreto sofre uma reação química com as seguintes características. -Liberação de Energia - Acelerador nos primeiros instantes - É lenta em idades avançadas.

Figura - 3. 3. Microestrutura do Concreto formado por um meio heterogêneo e anisotrópico

Aditivos: Os aditivos no concreto são usados como acelerador de pega (ou retardador), para diminuir a temperatura, alterar a fluidez, etc. 29

3.2.2 - Propriedades Mecânicas e Térmicas do Concreto - Resistência a compressão: Concretos convencionais possuem boa resistência com

fck ≤ 40 a 50MPa

(3. 2)

Concretos de alta resistência possuem

fck ≤ 100 a120MPa

(3. 3)

- Resistência a tração: Baixa:

fcsk 

1 f ck 10

(3. 4)

- Elevado peso específico - Baixa Condutividade Térmica - Facilidade de Moldagem.

3.2.3 - Tipos de Concreto Concreto Armado: Concreto Armado=Concreto Simples + Armadura Passiva

(3. 5)

A armadura passiva não introduz esforços prévios à estrutura. Concreto Protendido: Concreto Protendido=Concreto Simples + Armadura Ativa +%Armadura Passiva

(3. 6)

Armadura Ativa – é aquela que introduz esforços prévios na estrutura melhorando as suas características de resistência Aço como armadura passiva: - Absorve as tensões de tração sobre o concreto - O aço é protegido pelo concreto contra a corrosão. - Existe uma boa aderência entre o concreto e o aço garantindo um perfeito mecanismo de transferência de carga de um material para o outro e vice-versa o aço e concreto tem módulos de dilatação térmicas aproximadamente iguais. 30

3. 3 – Modelagem Computacional do Concreto Os modelos teóricos das estruturas de concreto armado e/ou protendidos são muito voltados a estrutura de barras e de placas.

Figura - 3. 4. Esquema de estruturas de vigas e pilares que podem ser construídas utilizando o concreto.

Barras ⇒ Vigas, Pilares e Tirantes Placas ⇒ Lajes e Vigas Paredes. Os elementos de barras estão submetidos a esforços de flexão, cisalhamento, torção e axiais. Os modelos teóricos garantem um bom desempenho estrutural a tais elementos quando bem dimensionados e executados. Um sério problema é a otimização das estruturas, que estão ficando cada vez mais altas, esbeltas, sujeitas a vibrações, a instabilidade elástica, perda de durabilidade e comprometimento do desempenho em serviço (fissuração, vibrações, deformações excessivas, etc.) As exigências de normas e regulamentos atuais (combinações de carregamentos, análises tridimensionais, análises não-lineares, vibrações, etc.) praticamente conduzem ao projeto computacional. Os softwares existentes no mercado suprem, em parte, as necessidades de projeto. Para as estruturas de barra, há boas alternativas de ferramentas computacionais para o projeto de estruturas de concreto. Dada a limitação desses programas em resolver inúmeros problemas o enfoque deste curso será no sentido de tratar dos aspectos não convencionais de projeto, por exemplo: - Plasticidade; - Fissuração; - Análise Não-Linear (em flambagem) 31

- Dano - etc. Para resolver estes problema serão utilizados métodos computacionais - MEF: Método dos Elementos Finitos - MEC: Método dos Elementos de Contorno -MDF: Método das Diferenças Finitas. -etc. Simplificadamente, um Método Computacional divide-se em:

Figura - 3. 5. Etapas do processo de modelagem computacional das estruturas de concreto.

Pré-Processamento - Entrada de dados; - Geração de Malha - Introdução das condições de contorno Processamento Solução da Equação Linear da Matriz de Rigidez, Força e Deslocamentos

⎡ Kij ⎤ [u ] = { F } ⎣ ⎦ Pós-Processamento - Deslocamentos - Deformações - Tensões - Tensões - Resistências -etc. 32

(3. 7)

3. 4 – Relações Constitutivas do Concreto As relações constitutivas definem e caracterizam o material. No caso do concreto por ser o concreto um material complexo, em termos práticos são feitas algumas simplificações. Será considerado um material homogêneo e isotrópico para análises globais. Em análises locais, tem-se procurado representar a natureza anisotrópica e heterogênea do concreto em volumes representativos (ou pequenos volumes), conforme mostra a

Figura - 3. 6. Diagrama de carga x deslocamento do concreto.

G F : 0 → Fmax (Ensaio de Compressão)

(3. 8)

Figura - 3. 7. Curvas de um Ensaio de Compressão e de um Ensaio de Tração do Concreto

Se

fc : resistência a compressão

( dF / dA) ou ( dE / dV ) .

ft : resistência a compressão

( dF / dA) ou ( dE / dV ) . ft <

1 fc 10

(3. 9)

e 33

F fc = σ rup = max Ac

(3. 10)

a sua energia por unidade de volume. Para a resistência a tração deve ser feita o ensaio com a seguinte geometria, mostrada na

Figura - 3. 8. Formato geométrico de corpos de prova utilizados em ensaios mecânicos típicos

Figura - 3. 9. Método Lobo-Carneiro (ou Brazilian) de Ensaio de Concreto.

Figura - 3. 10. Curva de tensão x deformação do concreto.

σ c = f ( ε c ) (não − linear ) e 34

(3. 11)

tgα  Eci

(3. 12)

Onde Eci é o módulo elasticidade instantâneo do concreto.

tgα o  Eco

(3. 13)

Onde Eco é o módulo elasticidade tangente na origem

tgα s  Ecs

(3. 14)

Onde Ecs é o módulo elasticidade secante. De acordo com a norma:

Ecs  0.9 Eco

(3. 15)

Figura - 3. 11. Curva de tensão deformação mostrando o descarregamento linerar.

ε p : deformação plástica ou deformação residual permanente. O enfoque elasto-plástico e considerado essencial no modelo constitutivo do concreto.

Figura - 3. 12. Ensaio de Compressão

35

3.4.1 - Fatores que afetam o diagrama σ × ε a) Velocidade de Aplicação do Carregamento (Efeito Dinâmico)

Figura - 3. 13. Variação da tensão de ruptura do concreto com o tempo de aplicação do carregamento.

É importante lembrar que os constituintes do concreto estão ligados por forças de adesão que produzem características viscoelásticas.

Pasta → Estado Intermediário → Sólido

(3. 16)

O Efeito de Rüsch → Reposta retardada do concreto pela redução da resistência do concreto por conta de carregamentos aplicados com velocidades diferentes (fluência). Logo o concreto é um material reológico que possui um comportamento visco-elástico. b) A idade do concreto (Reação Química) Concreto nas 1ªs Idades. Ex: Barragem em C. C. R.

Figura - 3. 14. Variação das resistência do concreto com a idade.

Os carregamentos e a execução são os fatores limitantes do projeto (modelo). 36

Carregamentos → Atuação de Ventos e Vibrações

(3. 17)

Figura - 3. 15. Graffico da relação entre os fatores de segurança e de economia na engenharia de estruruas.

Ponte Hercílio Luz em Santa Catarina está condenada a destruição para se fazer outra. c) Condições de Umidade, Temperatura e Exposição da peça.

Umidade → Retração × Expansão do Concreto

Figura - 3. 16. Redução espontânea do concreto.

Figura - 3. 17. Relação da deformação do concreto com o tempo

Expulsão de água por efeito de capilaridade 37

(3. 18)

Água → Vazios ( Poros ) → Fechamento de Poros → Retração

(3. 19)

Figura - 3. 18. Retração em lajes → efeito de aparecimento de fissuras

O oposto da retração ocorre quando se aumenta a umidade produzindo-se a expansão do concreto. Concreto vibrado: Melhoria da resistência do concreto Concreto Auto-adensado: Não precisa vibrar d) Deformação lenta Fluência (Creep) – Comportamento Viscoelástico

Figura - 3. 19. Ensaio de Fluência do concreto.

Figura - 3. 20. Resposta da tensão com o tempo em ensaio de fluência do concreto

38

Corpo de prova testemunha (sem carregamento) idênticas aos carregados.

Figura - 3. 21. Carregamento cíclico para o ensaio de flu6encia do concreto.

Figura - 3. 22. Resposta da deformação em função do tempo

Figura - 3. 23. Estudo da fluência do concreto a) aplicação peródica da carga b) resposta da deformação em função do tempo.

39

Execução em camadas com rolos de compressão.

Figura - 3. 24. Deformação Lenta.

Execução de Barragens em CCR, por camadas para minimizar o efeito da

ε cel : deformação elástica instantânea.

40

3. 5 – Controle Estatístico do Concreto

3.5.1 - Resistência Característica do Concreto

Figura - 3. 25. Ensaio de compressão do concreto

A tensão de ruptura do concreto é dada por:

F fc = σ rup = max Ac

(3. 20)

Figura - 3. 26. Controle estatístico em um ensaio de compressão de n corpos de prova.

41

Figura - 3. 27. Distribuição da tensão de ruptura do concreto

fck é o valor da tensão de ruptura correspondente ao quantil de 5% de resultados desfavoráveis. A resistência do concreto é definida:

fck k : característica c: concreto f : resistência

Figura - 3. 28. Distribuição estatística da frequência de ruptura do concreto

42

(3. 21)

Sd é o desvio padrão. fck = fck ( medio) − 1.65Sd

(3. 22)

3.5.2 - Variáveis da Dispersão Constituintes, forma de execução, dimensão, lançamento, forma de vibração.

f (σ ) =

1 2π Sd

⎛ σ −σ med ⎞ −⎜ ⎟ Sd ⎠ e ⎝

43

2

(3. 23)

3. 6 – Controle Tecnológico do Concreto A cada certo volume de concreto lançado, recolhem-se n corpos de prova como amostras representativas desse volume. Depois de j = 28 dias (o que corresponde a construção de dois pavimentos de um edifício) ensaiam-se os corpos de prova. Dá-se o tratamento estatístico aos resultados e obtém-se o f ck calculado. Se o fck estatístico é a resistência de projeto, espera-se que: est

fck (estimado) ≤ fck (calculado)

(3. 24)

Caso contrário: a) Realizar novos ensaios que podem ser não-destrutivos, como por exemplo, esclerometria, ultrassom, provas de carga, ou destrutivos como, extração de corpos de prova. b) Reforço de Estrutura c) Destruição e reconstrução da estrutura.

3.6.1 - Determinação do fck

Figura - 3. 29. Controle estatístico da frequência de ruptura do concreto

As estruturas metálicas são uma outra alternativa ao concreto. 44

3.6.2 - Aplicação a Estruturas Sistema real:

Figura - 3. 30. Estrutura 3D.

3.6.3 - Modelo de Cálculo de Estruturas 1D, 2D e 3D a) Modelos 1D (ou “modelo de linha”)

Figura - 3. 31. Estrutura 1D.

b) Modelos 2D (ou “modelo de planos”)

Figura - 3. 32. Estrutura 2D.

45

c) Modelos 3D (ou “modelo de sólido”)

Figura - 3. 33. Estrutura 3D.

46

Capítulo – IV MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA RESUMO Aprsentamos neste capítulo os materiais e os métodos empregados na solução do problema da viga elástica em bi-apoiada em uma, duas e três dimensões (1-D, 2-D, 3-D). A forma de preparação e coleta dos dados de simulação numérica, as malhas e as condições de contorno utilizadas.

4. 1 – Introdução Para a realização deste trabalho computacional tivemos que elaborar algumas metodologias auxiliares para a utilização do código FEAP remotamente. O código FEAP opera em ambiente LINUX e nós dispúnhamos de computadores em ambiente WINDOWS. Desta forma, algumas metodologias de transferência e formatações de dados tiveram que ser elaboradas e executadas com a finalidade de se apresentar os resultados obtidos na sua forma final. Também se recorreu ao site da Universidade de Berkeley para obtenção de informações adicionais sobre o FEAP. Neste site encontraram-se vários manuais de operação que muito nos ajudaram a manusear a versão compilada do FEAP. Em algumas oportunidades também se utilizou a versão for WINDOWS do FEAP denominada FEAP-pv, para nos auxiliar nas horas difícil acesso ao FEAP for LINUX do Laboratório de Análise Térmica. Alguma diferença fentre essas versões foram encontradas principalmente em alguns comandos internos e na preparação dos arquivos de entrada. Comparativamente os resultados obtidos pelos dois códigos foram muito semelhantes. 47

4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas - Usaremos o Código FEAP para realização dos cálculos numéricos pelo Método de Elementos Finitos.

4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados Foram feitas cinco malhas, refinando cada uma delas a proporção de h/2 em ambas as direções conforme os dados da Tabela - IV. 1. Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga Material

Comprimento - l

Altura - h

Espessura - t

Massa Específico

(m)

(m)

(m)

(Kg/m3)

10,0

2,0

1,0

2320

Concreto

Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto Módulo

Módulo

Módulo

Tensão de

Tensão

Tensão de

Coeficiente

Elástico

Elástico

de

Escoamento

de

Ruptura a

de Dilatação

Longitudinal

Transversal

Poisson

(MPa)

Ruptura

Compressão

(GPa)

(GPa)

a

(MPa)

Tração (MPa)

27,5

10.58

10-5

0,3

48

4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada O arquivo de entrada foi gerado de acordo com o exmplo mostrado na Figura - 4. 1.

Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema.

49

Consequentemente, após executar o FEAP com o arquivo de entrada, o cálculo e a geração dos dados de saída da viga foram obtidos.

Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada

4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados O processamento dos dados de entrada e saída foi realizada de acordo com a metodologia exemplificada na Figura - 4. 3.

Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP.

50

Durante a execução do programa Feap foram geradas as malhas, contendo a Deslocamento e os tensões nas direções principais (x,y). Os dados contidos no arquivo de saída foram transferido para o ambiente Windows pelo SSH e renomeados para a extensão *.doc a fim de serem utilizados no relatório final. Contudo, antes disso uma edição desse arquivo de saída foi realizada utilizando-se o bloco de notas do Windows a fim de se extrair apenas os dados necessários para a geração das tabelas e dos gráficos de análise no EXCEL.

4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados As malhas da viga foram obtidas após a execução do programa FEAP conforme mostra a Figura - 4. 4 4.5.1.1 – Malha – 1-D

Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP

Após a execução do programa FEAP com a malha 1 foi necessário fazer um refinamento dessa malha inicial obtendo-se a malha 2, para fins de cálculo do erro relativo. 4.5.1.2 – Malha – 2-D

Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP.

4.5.1.3 – Malha – 3-D

51

Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP

4.5.2 –Condições de Contorno Impostas As condições são dadas conforme o exemplo da equação

u ( x = 0, 0) = 0 ; u ( x = L, y = 0) = 0 . du ( x = L / 4, y = h) = − P ; du ( x = 3L / 4, y = h) = − P dnx dn y

52

(3. 25)

4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados Os dados de entrada forma sistematizados por meio do refinamento das malhas conservando as mesmas condições de contorno a serem executados no programa FEAP.

Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados

4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados Os resultados foram analisados e comparados diretamente utilizando-se tabelas, gráficos e incluindo a analise de convergência e propagação de erros absolutos e relativos.

53

Capítulo – V RESULTADOS E DISCUSSÃO RESUMO Apresentamos neste capítulo os resultados da simulação numérica do problema simétrico da viga elástica bi-apoiada nas extremidades com um carregamento localizado no centro. Os resultados das tensões e das deformações são obtidos, avaliados e discutidos para diferentes refinamentos de malhas utilizadas.

5. 1 – Introdução O problema formulado anteriormente foram simulados utilizando o Método dos Elementos Finitos, com e refinamento das malhas e as mesmas condições de contorno, conforme a metodologia e a sistemática proposta no Capitulo – III.

5.1.1 - Condições de contorno As condições de contorno impostas para esse exemplo são dadas pela equação (5. 1)

u ( x = 0, 0) = 0 ; u ( x = L, y = 0) = 0 . du ( x = L / 4, y = h) = − P ; du ( x = 3L / 4, y = h) = − P dnx dn y

54

(5. 1)

5. 2 – Malha – 1-D A imposição das condições sobre a malha 2 está ilustrada conforme mostra a Figura - 5. 1.

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load) Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada conforme mostra a Figura - 5. 2

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/disp) Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de cores conforme mostra a Figura - 5. 3. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

55

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de cores conforme mostra a Figura - 5. 4

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2) Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

56

Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga. Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 5

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 6. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

57

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2) Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.

58

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0

2 Displ 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 2. Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

90.0

9.821E+06

9.821E+06

0.000E+00

0.000E+00

9.821E+06

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

24.750

0.000

0.000E+00

0.000E+00

-4.643E-04

0.000E+00

9.821E+06

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

90.0

9.821E+06

9.821E+06

0.000E+00

0.000E+00

9.821E+06

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

25.250

0.000

0.000E+00

0.000E+00

-4.643E-04

0.000E+00

9.821E+06

Observe da Tabela - V. 2 que no modelo de vida 1D (unidimensional) apesar de existir uma força aplicada aos elementos centrais de número 50 e 51, não há valor de deformação neste elementos. Isto se deve a uma limitação do FEAP-PV.

59

5. 3 – Malha – 2-D A imposição das condições sobre a malha 1 está ilustrada conforme mostra a Figura - 5. 7

60

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load) Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada conforme mostra a Figura - 5. 8

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/disp) Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de cores conforme é mostrado na Figura - 5. 9. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

61

62

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de cores conforme mostra a Figura - 5. 10

63

64

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2) Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga. Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 11.

65

66

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 12. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga

67

68

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2) Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.

69

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -1.9377E-06 1.4299E-19 1.9377E-06

2 Displ -6.0759E-04 -6.0787E-04 -6.0759E-04

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8. Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

0.0

4.942E+04

-1.003E-02

0.000E+00

-3.489E-02

4.942E+04

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

0.250

1.797E-06

-5.391E-07

-5.391E-07

-3.298E-12

-1.003E-02

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

0.0

4.942E+04

-1.003E-02

0.000E+00

3.489E-02

4.942E+04

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

0.250

1.797E-06

-5.391E-07

-5.391E-07

3.298E-12

-1.003E-02

Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 Node 1060 1061 1062

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 5.0000E+00 5.0000E+00 5.0000E+00

1 Displ 8.7628E-07 7.6602E-20 -8.7628E-07

2 Displ -6.0839E-04 -6.0867E-04 -6.0839E-04

Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1050

1

90.0

-2.797E+04

-1.007E+00

0.000E+00

2.069E-02

-1.007E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

5.250

-1.017E-06

3.051E-07

3.051E-07

1.956E-12

-2.797E+04

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1051

1

-90.0

-2.797E+04

-1.007E+00

0.000E+00

-2.069E-02

-1.007E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

5.250

-1.017E-06

3.051E-07

3.051E-07

-1.956E-12

-2.797E+04

70

Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 Node 2070 2071 2072

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 1.0000E+01 1.0000E+01 1.0000E+01

1 Displ 3.6904E-06 -2.0157E-20 -3.6904E-06

2 Displ -6.0496E-04 -6.0525E-04 -6.0496E-04

Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1950

1

90.0

-9.762E+0

-1.002E-02

0.000E+00

3.487E-02

-1.002E-02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

9.7500

-3.550E-0

1.065E-06

1.065E-06

3.296E-12

-9.762E+04

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1951

1

-90.0

-9.762E+04

-1.002E-02

0.000E+00

-3.487E-02

-1.002E-02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

9.7500

-3.550E-06

1.065E-06

1.065E-06

-3.296E-12

-9.762E+04

Deflexão da Linha Elastica

Deflexão y(x) cm

1,00E+00 0,00E+00 0,00E+0 2,00E+0 4,00E+0 6,00E+0 8,00E+0 1,00E+0 1,20E+0 -1,00E+00 0 5 5 5 5 6 6 -2,00E+00 -3,00E+00 -4,00E+00 h=10b

-5,00E+00

h=10m h=10t

-6,00E+00 -7,00E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.

71

5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -5.2531E-07 -1.0308E-20 5.2531E-07

2 Displ -9.7947E-05 -9.7984E-05 -9.7947E-05

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 10, Tabela - V. 12 e Tabela - V. 14. Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

0.0

1.344E+04

1.319E+00

0.000E+00

1.530E+00

1.344E+04

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

0.500

4.887E-07

-1.466E-07

-1.466E-07

1.447E-10

1.319E+00

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

0.0

1.344E+04

1.319E+00

0.000E+00

-1.530E+00

1.344E+04

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

0.500

4.887E-07

-1.466E-07

-1.466E-07

-1.447E-10

1.319E+00

Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 Node 1060 1061 1062

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 1.0000E+01 1.0000E+01 1.0000E+01

1 Displ 2.1341E-07 -5.2098E-21 -2.1341E-07

2 Displ -9.8398E-05 -9.8435E-05 -9.8398E-05

Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1050

1

-90.0

-6.845E+03

1.003E+02

0.000E+00

-7.994E-01

1.003E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

10.500

-2.500E-07

7.832E-08

7.358E-08

-7.558E-11

-6.845E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1051

1

90.0

-6.845E+03

1.003E+02

0.000E+00

7.994E-01

1.003E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

10.500

-2.500E-07

7.832E-08

7.358E-08

7.558E-11

-6.845E+03

72

Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 Node 2070 2071 2072

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

1 Displ 9.4102E-07 -1.2025E-20 -9.4102E-07

2 Displ -9.6649E-05 -9.6686E-05 -9.6649E-05

Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1950

1

-90.0

-2.487E+04

1.377E+00

0.000E+00

-1.597E+00

1.378E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

19.500

-9.043E-07

2.713E-07

2.713E-07

-1.510E-10

-2.487E+04

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1951

1

90.0

-2.487E+04

1.377E+00

0.000E+00

1.597E+00

1.378E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

19.500

-9.043E-07

2.713E-07

2.713E-07

1.510E-10

-2.487E+04

Deflexão da Linha Elastica

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 0,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06 -2,00E-01 -4,00E-01 h=10b -6,00E-01

h=10m h=10t

-8,00E-01

-1,00E+00 -1,20E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 14. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.

73

5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -2.2256E-07 -1.0810E-20 2.2256E-07

2 Displ -4.3258E-05 -4.3269E-05 -4.3258E-05

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 16, Tabela - V. 18 e Tabela - V. 20. Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

0.0

5.663E+03

2.789E+00

0.000E+00

2.028E+00

5.663E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

0.750

2.059E-07

-6.168E-08

-6.181E-08

1.918E-10

2.788E+00

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

0.0

5.663E+03

2.789E+00

0.000E+00

-2.028E+00

5.663E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

0.750

2.059E-07

-6.168E-08

-6.181E-08

-1.918E-10

2.788E+00

Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 Node 1060 1061 1062

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 1.5000E+01 1.5000E+01 1.5000E+01

1 Displ 1.1250E-07 -1.3768E-21 -1.1250E-07

2 Displ -4.3456E-05 -4.3466E-05 -4.3456E-05

Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1050

1

90.0

-3.466E+03

1.694E+02

0.000E+00

1.970E+00

1.694E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

15.750

-1.279E-07

4.397E-08

3.596E-08

1.862E-10

-3.466E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1051

1

-90.0

-3.466E+03

1.694E+02

0.000E+00

-1.970E+00

1.694E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

15.750

-1.279E-07

4.397E-08

3.596E-08

-1.862E-10

-3.466E+03

74

Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 Node 2070 2071 2072

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 3.0000E+01 3.0000E+01 3.0000E+01

1 Displ 3.8961E-07 7.4592E-21 -3.8961E-07

2 Displ -4.2257E-05 -4.2267E-05 -4.2257E-05

Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1950

1

-90.0

-1.033E+04

4.644E+00

0.000E+00

-3.363E+00

4.645E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

29.250

-3.757E-07

1.129E-07

1.126E-07

-3.179E-10

-1.033E+04

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1951

1

90.0

-1.033E+04

4.644E+00

0.000E+00

3.363E+00

4.645E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

29.250

-3.757E-07

1.129E-07

1.126E-07

3.179E-10

-1.033E+04

Deflexão da Linha Elastica

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 0,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06 -5,00E-02 -1,00E-01 -1,50E-01 -2,00E-01 -2,50E-01 -3,00E-01 -3,50E-01

h=10b

-4,00E-01

h=10m

-4,50E-01

h=10t

-5,00E-01 Coordenada x (cm) Figura - 5. 15. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

75

5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -1.1608E-07 -6.8263E-21 1.1608E-07

2 Displ -3.0067E-05 -3.0072E-05 -3.0067E-05

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 22, Tabela - V. 24 e Tabela - V. 26. Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

0.0

2.900E+03

1.241E+00

0.000E+00

6.646E-01

2.900E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

1.000

1.054E-07

-3.159E-08

-3.164E-08

6.284E-11

1.241E+00

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

0.0

2.900E+03

1.241E+00

0.000E+00

-6.646E-01

2.900E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

1.000

1.054E-07

-3.159E-08

-3.164E-08

-6.284E-11

1.241E+00

Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 Node 1060 1061 1062

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

1 Displ 7.9084E-08 5.4350E-21 -7.9084E-08

2 Displ -3.0151E-05 -3.0155E-05 -3.0151E-05

Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1050

1

89.9

-2.391E+03

1.017E+01

0.000E+00

3.689E+00

1.018E+01

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

21.000

-8.706E-08

2.645E-08

2.597E-08

3.488E-10

-2.391E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1051

1

-89.9

-2.391E+03

1.017E+01

0.000E+00

-3.689E+00

1.018E+01

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

21.000

-8.706E-08

2.645E-08

2.597E-08

-3.488E-10

-2.391E+03

Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0

76

Node 2070 2071 2072

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 4.0000E+01 4.0000E+01 4.0000E+01

1 Displ 1.8117E-07 1.7408E-20 -1.8117E-07

2 Displ -2.9278E-05 -2.9280E-05 -2.9278E-05

Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1950

1

-90.0

-4.885E+03

6.468E+00

0.000E+00

-3.431E+00

6.471E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

39.000

-1.777E-07

5.352E-08

5.322E-08

-3.244E-10

-4.885E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1951

1

90.0

-4.885E+03

6.468E+00

0.000E+00

3.431E+00

6.471E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

39.000

-1.777E-07

5.352E-08

5.322E-08

3.244E-10

-4.885E+03

Deflexão da Linha Elastica

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 0,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06 -5,00E-02 -1,00E-01 -1,50E-01 -2,00E-01 -2,50E-01

h=10b

-3,00E-01

h=10m -3,50E-01

h=10t

-4,00E-01 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 16. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.

77

5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 Node 50 51 52

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -6.8661E-08 1.9918E-21 6.8661E-08

2 Displ -2.5497E-05 -2.5500E-05 -2.5497E-05

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 28, Tabela - V. 30 e Tabela - V. 32. Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

50

1

0.0

1.656E+03

-6.116E-01

0.000E+00

-2.585E-01

1.656E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

1.250

6.023E-08

-1.809E-08

-1.806E-08

-2.444E-11

-6.117E-01

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

51

1

0.0

1.656E+03

-6.116E-01

0.000E+00

2.585E-01

1.656E+03

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

1.250

6.023E-08

-1.809E-08

-1.806E-08

2.444E-11

-6.117E-01

Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 Node 1060 1061 1062

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 2.5000E+01 2.5000E+01 2.5000E+01

1 Displ 6.0940E-08 8.3591E-21 -6.0940E-08

2 Displ -2.5557E-05 -2.5559E-05 -2.5557E-05

Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1050

1

90.0

-1.874E+03

-2.526E+02

0.000E+00

8.467E-01

-2.526E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

26.250

-6.540E-08

1.126E-08

2.320E-08

8.006E-11

-1.874E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1051

1

=90.0

-1.874E+03

-2.526E+02

0.000E+00

-8.467E-01

-2.526E+02

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

26.250

-6.540E-08

1.126E-08

2.320E-08

-8.006E-11

-1.874E+03

78

Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 Node 2070 2071 2072

1 Coord 4.9000E+01 5.0000E+01 5.1000E+01

2 Coord 5.0000E+01 5.0000E+01 5.0000E+01

1 Displ 7.7879E-08 1.4726E-20 -7.7879E-08

2 Displ -2.4986E-05 -2.4984E-05 -2.4986E-05

Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1950

1

-89.9

-2.231E+03

6.445E+00

0.000E+00

-2.700E+00

6.448E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

49.500

48.750

-8.118E-08

2.457E-08

2.426E-08

-2.553E-10

-2.231E+03

Elmt

Mat

Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-stress

1951

1

89.9

-2.231E+03

6.445E+00

0.000E+00

2.700E+00

6.448E+00

1-coord

2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

2-stress

50.500

48.750

-8.118E-08

2.457E-08

2.426E-08

2.553E-10

-2.231E+03

Deflexão da Linha Elastica

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 0,00E+0 2,00E+0 4,00E+0 6,00E+0 8,00E+0 1,00E+0 1,20E+0 -5,00E-02 0 5 5 5 5 6 6 -1,00E-01 -1,50E-01 -2,00E-01 h=10b

-2,50E-01

h=10m -3,00E-01 -3,50E-01

h=10t Coordenada x (cm)

Figura - 5. 17. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.

79

5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 19

Deflexão da Linha Elastica Inferior

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 0,00E+0 2,00E+0 4,00E+0 6,00E+0 8,00E+0 1,00E+0 1,20E+0 -1,00E+00 0 5 5 5 5 6 6 -2,00E+00 -3,00E+00 h=10b h=20b h=30b h=40b h=50b

-4,00E+00 -5,00E+00 -6,00E+00 -7,00E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 18. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

Deflexão da Linha Elastica Central 1,00E+00

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 -1,00E+00

0

20

40

60

80

100

120

-2,00E+00 -3,00E+00

h=10m h=20m

-4,00E+00

h=30m h=40m h=50m

-5,00E+00 -6,00E+00 -7,00E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 19. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

80

Deflexão da Linha Elastica Superior 1,00E+00

Deflexão y(x) cm

0,00E+00 -1,00E+00

0

20

40

60

80

100

120

-2,00E+00 -3,00E+00

h=10t h=20t h=30t h=40t h=50t

-4,00E+00 -5,00E+00 -6,00E+00 -7,00E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 20. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga 7.00E+00

MEF

6.00E+00

Teórico

w(x) (cm)

5.00E+00 4.00E+00 3.00E+00 2.00E+00 1.00E+00 0.00E+00 0

2

4

6 alfa = l/h

8

10

12

Figura - 5. 21. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

81

5. 4 – Malha – 3-D A imposição das condições sobre a malha 3 está ilustrada conforme mostra a Figura - 5. 22

82

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e load) Figura - 5. 22. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0.

Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada conforme mostra a Figura - 5. 23

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/disp) Figura - 5. 23. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada.

A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de cores conforme mostra a Figura - 5. 24. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

83

84

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) Figura - 5. 24. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

A intensidade dos deslocamentos na direção 2 esta representada pela escala de cores conforme mostra a Figura - 5. 25

85

86

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,2) Figura - 5. 25. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga. Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 26

87

88

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) Figura - 5. 26. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 27. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

89

90

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,2) Figura - 5. 27. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.

91

5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.

Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 Node 56 57 72 73

1 Coord 4.6667E+00 5.3333E+00 4.6667E+00 5.3333E+00

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -2.7297E-05 -2.7296E-05 -2.7861E-05 -2.7862E-05

2 Displ -1.1357E-07 -9.5602E-08 -1.4193E-07 -9.1226E-08

3 Displ 1.0242E-05 3.8351E-08 1.0037E-05 -1.3316E-07

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.

Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1

1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124

11-stress 4.081E+00 11-strain -3.316E-09 11-stress 2.021E+00 11-strain -3.316E-09 11-stress 3.092E+00 11-strain -3.280E-09 11-stress 5.153E+00 11-strain -3.280E-09 11-stress 7.649E+00 11-strain -3.419E-10 11-stress 1.588E+01 11-strain -3.419E-10 11-stress -7.952E+00 11-strain -1.130E-09 11-stress -1.618E+01 11-strain -1.130E-09

22-stress 3.175E+02 22-strain 1.150E-08 22-stress 3.107E+02 22-strain 1.127E-08 22-stress 3.110E+02 22-strain 1.127E-08 22-stress 3.178E+02 22-strain 1.150E-08 22-stress 5.683E+01 22-strain 1.983E-09 22-stress 8.426E+01 22-strain 2.891E-09 22-stress 7.711E+01 22-strain 2.891E-09 22-stress 4.969E+01 22-strain 1.983E-09

33-stress 0.000E+00 33-strain -3.508E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.411E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.426E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.524E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -7.035E-10 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.092E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -7.545E-10 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.655E-10

92

12-stress 6.989E-01 12-strain 6.608E-11 12-stress 7.164E-01 12-strain 6.773E-11 12-stress -5.079E+01 12-strain -4.802E-09 12-stress -5.081E+01 12-strain -4.804E-09 12-stress -1.685E+01 12-strain -1.593E-09 12-stress -1.724E+01 12-strain -1.630E-09 12-stress 1.885E+02 12-strain 1.782E-08 12-stress 1.888E+02 12-strain 1.785E-08

23-stress -4.803E+04 23-strain -4.541E-06 23-stress -4.800E+04 23-strain -4.538E-06 23-stress -4.755E+04 23-strain -4.496E-06 23-stress -4.753E+04 23-strain -4.493E-06 23-stress 4.746E+04 23-strain 4.487E-06 23-stress 4.750E+04 23-strain 4.491E-06 23-stress 4.794E+04 23-strain 4.532E-06 23-stress 4.797E+04 23-strain 4.535E-06

31-stress -4.888E+02 31-strain -4.621E-08 31-stress -4.962E+02 31-strain -4.691E-08 31-stress -5.012E+02 31-strain -4.739E-08 31-stress -4.959E+02 31-strain -4.689E-08 31-stress 5.688E+02 31-strain 5.378E-08 31-stress 5.615E+02 31-strain 5.308E-08 31-stress 5.564E+02 31-strain 5.260E-08 31-stress 5.617E+02 31-strain 5.310E-08

Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 Node 568 569 584 585

1 Coord 4.6667E+00 5.3333E+00 4.6667E+00 5.3333E+00

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01

1 Displ 1.5852E-04 1.5851E-04 1.5744E-04 1.5745E-04

2 Displ 3.5874E-04 3.5874E-04 3.5874E-04 3.5876E-04

3 Displ 9.8124E+05 9.8124E+05 9.8124E+05 9.8124E+05

Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1

1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124

11-stress -3.975E+02 11-strain -1.546E-08 11-stress -3.889E+02 11-strain -1.546E-08 11-stress 2.541E+02 11-strain 5.814E-09 11-stress 2.455E+02 11-strain 5.814E-09 11-stress -2.819E+02 11-strain -1.809E-08 11-stress -2.809E+02 11-strain -1.809E-08 11-stress 9.289E+01 11-strain -5.718E-09 11-stress 9.182E+01 11-strain -5.718E-09

22-stress 9.253E+01 22-strain 7.701E-09 22-stress 1.211E+02 22-strain 8.646E-09 22-stress 3.140E+02 22-strain 8.646E-09 22-stress 2.854E+02 22-strain 7.701E-09 22-stress 7.180E+02 22-strain 2.919E-08 22-stress 7.216E+02 22-strain 2.930E-08 22-stress 8.338E+02 22-strain 2.930E-08 22-stress 8.302E+02 22-strain 2.919E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain 3.327E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain 2.922E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -6.197E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.792E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -4.758E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -4.808E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.011E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.006E-08

12-stress -7.083E+02 12-strain -6.697E-08 12-stress -6.978E+02 12-strain -6.597E-08 12-stress -4.837E+02 12-strain -4.573E-08 12-stress -4.942E+02 12-strain -4.672E-08 12-stress -4.754E+02 12-strain -4.495E-08 12-stress -4.693E+02 12-strain -4.437E-08 12-stress -4.424E+02 12-strain -4.183E-08 12-stress -4.485E+02 12-strain -4.240E-08

23-stress -4.724E+04 23-strain -4.466E-06 23-stress -4.727E+04 23-strain -4.469E-06 23-stress -4.837E+04 23-strain -4.573E-06 23-stress -4.837E+04 23-strain -4.573E-06 23-stress 4.895E+04 23-strain 4.628E-06 23-stress 4.891E+04 23-strain 4.624E-06 23-stress 4.782E+04 23-strain 4.521E-06 23-stress 4.782E+04 23-strain 4.521E-06

31-stress -3.494E+03 31-strain -3.303E-07 31-stress -3.487E+03 31-strain -3.297E-07 31-stress -3.535E+03 31-strain -3.342E-07 31-stress -3.563E+03 31-strain -3.369E-07 31-stress 3.581E+03 31-strain 3.385E-07 31-stress 3.587E+03 31-strain 3.391E-07 31-stress 3.477E+03 31-strain 3.287E-07 31-stress 3.448E+03 31-strain 3.260E-07

Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 Node 952 953 968 969

1 Coord 4.6667E+00 5.3333E+00 4.6667E+00 5.3333E+00

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

93

1 Displ 3.2982E-04 3.2946E-04 3.3261E-04 3.3269E-04

2 Displ 1.0590E-03 1.0592E-03 1.0672E-03 1.0671E-03

3 Displ 1.6320E+09 1.6320E+09 1.6320E+09 1.6320E+09

Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1

1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 45.876 1-coord 5.192 2-coord 54.124 1-coord 4.808 2-coord 54.124

11-stress -4.440E+03 11-strain -2.670E-07 11-stress -4.525E+03 11-strain -2.670E-07 11-stress 2.639E+03 11-strain -2.991E-08 11-stress 2.723E+03 11-strain -2.991E-08 11-stress 2.618E+03 11-strain 1.062E-07 11-stress 2.664E+03 11-strain 1.062E-07 11-stress -2.446E+03 11-strain -6.286E-08 11-stress -2.492E+03 11-strain -6.286E-08

22-stress 9.670E+03 22-strain 4.001E-07 22-stress 9.389E+03 22-strain 3.908E-07 22-stress 1.154E+04 22-strain 3.908E-07 22-stress 1.182E+04 22-strain 4.001E-07 22-stress -1.011E+03 22-strain -6.532E-08 22-stress -8.589E+02 22-strain -6.029E-08 22-stress -2.392E+03 22-strain -6.029E-08 22-stress -2.544E+03 22-strain -6.532E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain -5.706E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.306E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.547E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.587E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.753E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.969E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.278E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.494E-08

94

12-stress 3.173E+03 12-strain 3.000E-07 12-stress 3.290E+03 12-strain 3.111E-07 12-stress 1.179E+03 12-strain 1.114E-07 12-stress 1.062E+03 12-strain 1.004E-07 12-stress -9.892E+00 12-strain -9.353E-10 12-stress -9.335E+01 12-strain -8.826E-09 12-stress 1.047E+03 12-strain 9.899E-08 12-stress 1.130E+03 12-strain 1.069E-07

23-stress 8.172E+03 23-strain 7.726E-07 23-stress 8.267E+03 23-strain 7.816E-07 23-stress 3.205E+04 23-strain 3.030E-06 23-stress 3.277E+04 23-strain 3.099E-06 23-stress -1.342E+04 23-strain -1.269E-06 23-stress -1.333E+04 23-strain -1.260E-06 23-stress 1.051E+04 23-strain 9.933E-07 23-stress 1.118E+04 23-strain 1.057E-06

31-stress -6.304E+02 31-strain -5.960E-08 31-stress -6.304E+03 31-strain -5.960E-07 31-stress -5.043E+03 31-strain -4.768E-07 31-stress -2.522E+03 31-strain -2.384E-07 31-stress 5.674E+03 31-strain 5.364E-07 31-stress 4.413E+03 31-strain 4.172E-07 31-stress 6.304E+03 31-strain 5.960E-07 31-stress 6.935E+03 31-strain 6.557E-07

Deflexão da Linha Elastica 1,00E+00 8,00E-01

h=10b+ h=10b-

Deflexão z(x) cm

6,00E-01 4,00E-01 2,00E-01 0,00E+00 -2,00E-01 0

5

10

15

20

-4,00E-01 -6,00E-01 -8,00E-01 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 28. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.

Deflexão da Linha Elastica 2,00E-03

Deflexão y(x) cm

1,00E-03 0,00E+00 0

5

10

15

20

-1,00E-03 -2,00E-03 -3,00E-03 h=10b+ h=10b-

-4,00E-03 -5,00E-03 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 29. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.

95

5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.

Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 Node 56 57 72 73

1 Coord 9.3333E+00 1.0667E+01 9.3333E+00 1.0667E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ 1.5838E-05 1.5838E-05 1.8642E-05 1.8640E-05

2 Displ 1.1327E-06 4.4184E-07 1.1409E-06 5.5333E-07

3 Displ 2.0672E-06 1.0021E-06 3.3276E-06 1.6906E-06

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 10, Tabela - V. 12 e Tabela - V. 14.

Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1

1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 54.124

11-stress 7.884E+01 11-strain 1.199E-09 11-stress 1.229E+02 11-strain 1.199E-09 11-stress 1.122E+02 11-strain 8.469E-10 11-stress 6.819E+01 11-strain 8.469E-10 11-stress 2.956E+01 11-strain 1.390E-10 11-stress 6.907E+01 11-strain 1.390E-10 11-stress 5.035E+01 11-strain -4.804E-10 11-stress 1.084E+01 11-strain -4.804E-10

22-stress 1.529E+02 22-strain 4.698E-09 22-stress 2.997E+02 22-strain 9.557E-09 22-stress 2.965E+02 22-strain 9.557E-09 22-stress 1.497E+02 22-strain 4.698E-09 22-stress 8.578E+01 22-strain 2.797E-09 22-stress 2.175E+02 22-strain 7.155E-09 22-stress 2.119E+02 22-strain 7.155E-09 22-stress 8.016E+01 22-strain 2.797E-09

33-stress 0.000E+00 33-strain -2.528E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -4.610E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -4.459E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.377E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.258E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.126E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.861E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -9.927E-10

96

12-stress -2.023E+03 12-strain -1.912E-07 12-stress -2.023E+03 12-strain -1.913E-07 12-stress -1.472E+03 12-strain -1.392E-07 12-stress -1.472E+03 12-strain -1.392E-07 12-stress -2.908E+03 12-strain -2.749E-07 12-stress -2.908E+03 12-strain -2.750E-07 12-stress -2.414E+03 12-strain -2.283E-07 12-stress -2.414E+03 12-strain -2.282E-07

23-stress -7.467E+03 23-strain -7.060E-07 23-stress -7.524E+03 23-strain -7.114E-07 23-stress -7.397E+03 23-strain -6.993E-07 23-stress -7.366E+03 23-strain -6.965E-07 23-stress 7.503E+03 23-strain 7.094E-07 23-stress 7.440E+03 23-strain 7.034E-07 23-stress 7.567E+03 23-strain 7.154E-07 23-stress 7.604E+03 23-strain 7.189E-07

31-stress 2.341E+02 31-strain 2.214E-08 31-stress 2.394E+02 31-strain 2.263E-08 31-stress 2.273E+02 31-strain 2.149E-08 31-stress 2.207E+02 31-strain 2.087E-08 31-stress -2.529E+02 31-strain -2.391E-08 31-stress -2.476E+02 31-strain -2.341E-08 31-stress -3.290E+02 31-strain -3.110E-08 31-stress -3.355E+02 31-strain -3.172E-08

Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 Node 568 569 584 585

1 Coord 9.3333E+00 1.0667E+01 9.3333E+00 1.0667E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01

1 Displ 1.4886E-05 1.5006E-05 2.2461E-05 2.2410E-05

2 Displ 5.7123E-05 5.6560E-05 5.5063E-05 5.4676E-05

3 Displ -3.6618E+06 -3.6618E+06 -3.6618E+06 -3.6618E+06

Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl

1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord

11-stress 3.392E+02 11-strain 4.672E-08 11-stress 4.010E+02 11-strain 4.672E-08 11-stress -1.106E+03 11-strain -3.148E-09 11-stress -1.168E+03 11-strain -3.148E-09 11-stress -4.276E+02 11-strain 2.287E-09 11-stress -3.728E+02 11-strain 2.287E-09 11-stress 8.918E+01 11-strain 1.758E-08 11-stress 3.437E+01 11-strain

22-stress -3.152E+03 22-strain -1.183E-07 22-stress -2.946E+03 22-strain -1.115E-07 22-stress -3.398E+03 22-strain -1.115E-07 22-stress -3.604E+03 22-strain -1.183E-07 22-stress -1.635E+03 22-strain -5.479E-08 22-stress -1.452E+03 22-strain -4.875E-08 22-stress -1.314E+03 22-strain -4.875E-08 22-stress -1.497E+03 22-strain

33-stress 0.000E+00 33-strain 3.068E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 2.777E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.914E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.206E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 2.250E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.991E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.336E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain

12-stress 1.247E+03 12-strain 1.179E-07 12-stress 1.198E+03 12-strain 1.133E-07 12-stress 1.970E+03 12-strain 1.863E-07 12-stress 2.019E+03 12-strain 1.909E-07 12-stress 8.002E+02 12-strain 7.565E-08 12-stress 8.153E+02 12-strain 7.708E-08 12-stress 1.500E+03 12-strain 1.418E-07 12-stress 1.485E+03 12-strain

23-stress -6.986E+03 23-strain -6.605E-07 23-stress -7.127E+03 23-strain -6.738E-07 23-stress -1.045E+04 23-strain -9.876E-07 23-stress -1.035E+04 23-strain -9.781E-07 23-stress 9.454E+03 23-strain 8.939E-07 23-stress 9.225E+03 23-strain 8.722E-07 23-stress 5.906E+03 23-strain 5.584E-07 23-stress 6.095E+03 23-strain

31-stress 6.633E+03 31-strain 6.271E-07 31-stress 6.852E+03 31-strain 6.478E-07 31-stress 7.595E+03 31-strain 7.180E-07 31-stress 7.698E+03 31-strain 7.278E-07 31-stress -4.845E+03 31-strain -4.580E-07 31-stress -4.623E+03 31-strain -4.371E-07 31-stress -4.834E+03 31-strain -4.570E-07 31-stress -4.732E+03 31-strain

Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 Node 952 953 968 969

1 Coord 9.3333E+00 1.0667E+01 9.3333E+00 1.0667E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

97

1 Displ -2.6029E-05 -2.7976E-05 -2.2100E-05 -2.1489E-05

2 Displ 9.4779E-05 9.4332E-05 1.0830E-04 1.0794E-04

3 Displ 1.1815E+10 1.1815E+10 1.1815E+10 1.1815E+10

Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1

1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 45.876 1-coord 10.385 2-coord 54.124 1-coord 9.615 2-coord 54.124

11-stress -1.731E+04 11-strain -8.007E-07 11-stress -1.729E+04 11-strain -8.007E-07 11-stress 7.441E+03 11-strain 1.778E-08 11-stress 7.420E+03 11-strain 1.778E-08 11-stress -1.006E+03 11-strain -1.064E-07 11-stress -1.009E+03 11-strain -1.064E-07 11-stress -1.640E+02 11-strain -7.848E-08 11-stress -1.617E+02 11-strain -7.848E-08

22-stress 1.568E+04 22-strain 7.592E-07 22-stress 1.575E+04 22-strain 7.615E-07 22-stress 2.317E+04 22-strain 7.615E-07 22-stress 2.310E+04 22-strain 7.592E-07 22-stress 6.401E+03 22-strain 2.438E-07 22-stress 6.394E+03 22-strain 2.435E-07 22-stress 6.647E+03 22-strain 2.435E-07 22-stress 6.655E+03 22-strain 2.438E-07

33-stress 0.000E+00 33-strain 1.780E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.679E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.340E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.330E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.886E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.875E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -7.073E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -7.083E-08

98

12-stress 5.587E+02 12-strain 5.282E-08 12-stress 1.367E+03 12-strain 1.292E-07 12-stress 1.634E+03 12-strain 1.545E-07 12-stress 8.259E+02 12-strain 7.809E-08 12-stress 2.358E+03 12-strain 2.229E-07 12-stress 2.385E+03 12-strain 2.255E-07 12-stress 2.357E+03 12-strain 2.228E-07 12-stress 2.329E+03 12-strain 2.202E-07

23-stress 1.122E+05 23-strain 1.061E-05 23-stress 1.122E+05 23-strain 1.060E-05 23-stress 1.387E+05 23-strain 1.311E-05 23-stress 1.397E+05 23-strain 1.321E-05 23-stress -1.084E+05 23-strain -1.025E-05 23-stress -1.092E+05 23-strain -1.032E-05 23-stress -8.133E+04 23-strain -7.689E-06 23-stress -8.065E+04 23-strain -7.625E-06

31-stress 1.009E+04 31-strain 9.537E-07 31-stress 1.765E+04 31-strain 1.669E-06 31-stress 1.009E+04 31-strain 9.537E-07 31-stress 0.000E+00 31-strain 0.000E+00 31-stress -1.891E+03 31-strain -1.788E-07 31-stress -3.783E+03 31-strain -3.576E-07 31-stress -1.261E+04 31-strain -1.192E-06 31-stress -1.261E+04 31-strain -1.192E-06

Deflexão da Linha Elastica 2,00E-01 h=20b+

Deflexão z(x) cm

1,50E-01

h=20b-

1,00E-01 5,00E-02 0,00E+00 0

5

10

15

20

-5,00E-02 -1,00E-01 -1,50E-01 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 30. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.

Deflexão da Linha Elastica 6,00E-02 h=20b+ h=20b-

Deflexão y(x) cm

4,00E-02 2,00E-02 0,00E+00 0

5

10

15

20

-2,00E-02 -4,00E-02 -6,00E-02 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 31. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 20.0.

99

5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.

Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 Node 56 57 72 73

1 Coord 1.4000E+01 1.6000E+01 1.4000E+01 1.6000E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -2.4156E-04 -2.4394E-04 -2.6113E-04 -2.5898E-04

2 Displ 8.3876E-05 7.9577E-05 1.5078E-04 1.5077E-04

3 Displ -2.1892E-03 -2.3999E-03 -2.0419E-03 -2.2617E-03

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 16, Tabela - V. 18 e Tabela - V. 20.

Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1

1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124

11-stress -4.311E+04 11-strain -1.572E-06 11-stress -4.268E+04 11-strain -1.572E-06 11-stress -9.682E+03 11-strain -4.800E-07 11-stress -1.012E+04 11-strain -4.800E-07 11-stress 4.184E+03 11-strain -9.429E-07 11-stress 5.452E+03 11-strain -9.429E-07 11-stress 4.325E+04 11-strain 3.079E-07 11-stress 4.198E+04 11-strain 3.079E-07

22-stress 3.779E+02 22-strain 4.841E-07 22-stress 1.830E+03 22-strain 5.321E-07 22-stress 1.173E+04 22-strain 5.321E-07 22-stress 1.028E+04 22-strain 4.841E-07 22-stress 1.004E+05 22-strain 3.605E-06 22-stress 1.046E+05 22-strain 3.744E-06 22-stress 1.159E+05 22-strain 3.744E-06 22-stress 1.117E+05 22-strain 3.605E-06

33-stress 0.000E+00 33-strain 4.662E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.456E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.233E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.738E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.141E-06 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.201E-06 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.737E-06 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.677E-06

100

12-stress -2.708E+04 12-strain -2.561E-06 12-stress -2.547E+04 12-strain -2.408E-06 12-stress -2.184E+04 12-strain -2.065E-06 12-stress -2.345E+04 12-strain -2.217E-06 12-stress -3.047E+04 12-strain -2.881E-06 12-stress -2.862E+04 12-strain -2.706E-06 12-stress -1.806E+04 12-strain -1.707E-06 12-stress -1.991E+04 12-strain -1.882E-06

23-stress 3.356E+05 23-strain 3.173E-05 23-stress 3.478E+05 23-strain 3.289E-05 23-stress 1.730E+05 23-strain 1.636E-05 23-stress 1.758E+05 23-strain 1.662E-05 23-stress -1.309E+05 23-strain -1.237E-05 23-stress -1.289E+05 23-strain -1.219E-05 23-stress -2.998E+05 23-strain -2.835E-05 23-stress -2.945E+05 23-strain -2.784E-05

31-stress -5.043E+04 31-strain -4.768E-06 31-stress -5.548E+04 31-strain -5.245E-06 31-stress -2.017E+04 31-strain -1.907E-06 31-stress -2.017E+04 31-strain -1.907E-06 31-stress 1.261E+04 31-strain 1.192E-06 31-stress 2.522E+03 31-strain 2.384E-07 31-stress 0.000E+00 31-strain 0.000E+00 31-stress 5.043E+03 31-strain 4.768E-07

Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 Node 568 569 584 585

1 Coord 1.4000E+01 1.6000E+01 1.4000E+01 1.6000E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01

1 Displ 9.9227E-04 9.9418E-04 1.0019E-03 1.0016E-03

2 Displ -6.9124E-04 -6.9147E-04 -7.0435E-04 -7.0739E-04

3 Displ 4.1796E+10 4.1796E+10 4.1796E+10 4.1796E+10

Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1

1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124

11-stress 1.513E+04 11-strain 8.069E-07 11-stress 1.399E+04 11-strain 8.069E-07 11-stress -1.098E+04 11-strain -1.919E-08 11-stress -9.833E+03 11-strain -1.919E-08 11-stress 2.081E+04 11-strain 1.045E-06 11-stress 1.936E+04 11-strain 1.045E-06 11-stress -2.095E+04 11-strain -2.886E-07 11-stress -1.949E+04 11-strain -2.886E-07

22-stress -2.353E+04 22-strain -1.021E-06 22-stress -2.733E+04 22-strain -1.147E-06 22-stress -3.482E+04 22-strain -1.147E-06 22-stress -3.102E+04 22-strain -1.021E-06 22-stress -2.643E+04 22-strain -1.188E-06 22-stress -3.129E+04 22-strain -1.349E-06 22-stress -4.338E+04 22-strain -1.349E-06 22-stress -3.852E+04 22-strain -1.188E-06

33-stress 0.000E+00 33-strain 9.160E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.456E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.996E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.457E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 6.129E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.302E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 7.018E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 6.329E-07

12-stress -2.936E+03 12-strain -2.776E-07 12-stress -4.159E+03 12-strain -3.933E-07 12-stress -1.367E+04 12-strain -1.293E-06 12-stress -1.245E+04 12-strain -1.177E-06 12-stress -1.749E+04 12-strain -1.654E-06 12-stress -1.947E+04 12-strain -1.841E-06 12-stress -3.161E+04 12-strain -2.989E-06 12-stress -2.964E+04 12-strain -2.802E-06

23-stress 1.076E+05 23-strain 1.017E-05 23-stress 9.412E+04 23-strain 8.899E-06 23-stress 1.032E+05 23-strain 9.756E-06 23-stress 1.131E+05 23-strain 1.069E-05 23-stress -1.288E+05 23-strain -1.218E-05 23-stress -1.333E+05 23-strain -1.260E-05 23-stress -1.219E+05 23-strain -1.152E-05 23-stress -1.195E+05 23-strain -1.130E-05

31-stress -1.009E+04 31-strain -9.537E-07 31-stress -1.009E+04 31-strain -9.537E-07 31-stress -2.017E+04 31-strain -1.907E-06 31-stress -4.035E+04 31-strain -3.815E-06 31-stress 4.035E+04 31-strain 3.815E-06 31-stress 5.043E+04 31-strain 4.768E-06 31-stress 7.061E+04 31-strain 6.676E-06 31-stress 5.548E+04 31-strain 5.245E-06

Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 Node 952 953 968 969

1 Coord 1.4000E+01 1.6000E+01 1.4000E+01 1.6000E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

101

1 Displ 2.0627E-03 2.0652E-03 2.1181E-03 2.1237E-03

2 Displ -1.8201E-03 -1.8168E-03 -1.8405E-03 -1.8375E-03

3 Displ -3.9017E+10 -3.9017E+10 -3.9017E+10 -3.9017E+10

Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1

1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 45.876 1-coord 15.577 2-coord 54.124 1-coord 14.423 2-coord 54.124

11-stress 2.880E+04 11-strain 1.437E-06 11-stress 2.875E+04 11-strain 1.437E-06 11-stress 4.950E+04 11-strain 2.124E-06 11-stress 4.954E+04 11-strain 2.124E-06 11-stress 1.254E+04 11-strain 1.051E-06 11-stress 1.266E+04 11-strain 1.051E-06 11-stress 1.557E+04 11-strain 1.147E-06 11-stress 1.544E+04 11-strain 1.147E-06

22-stress -3.576E+04 22-strain -1.615E-06 22-stress -3.592E+04 22-strain -1.620E-06 22-stress -2.969E+04 22-strain -1.620E-06 22-stress -2.954E+04 22-strain -1.615E-06 22-stress -5.456E+04 22-strain 2.121E-06 22-stress -5.415E+04 22-strain -2.107E-06 22-stress -5.328E+04 22-strain -2.107E-06 22-stress -5.369E+04 22-strain -2.121E-06

33-stress 0.000E+00 33-strain 7.594E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 7.814E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.160E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.182E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.585E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.526E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.114E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.173E-07

102

12-stress 5.174E+04 12-strain 4.892E-06 12-stress 5.276E+04 12-strain 4.988E-06 12-stress 5.237E+04 12-strain 4.951E-06 12-stress 5.135E+04 12-strain 4.855E-06 12-stress 3.247E+04 12-strain 3.070E-06 12-stress 3.261E+04 12-strain 3.083E-06 12-stress 3.365E+04 12-strain 3.181E-06 12-stress 3.351E+04 12-strain 3.168E-06

23-stress 1.127E+05 23-strain 1.065E-05 23-stress 1.030E+05 23-strain 9.737E-06 23-stress 1.310E+05 23-strain 1.238E-05 23-stress 1.322E+05 23-strain 1.250E-05 23-stress -7.644E+04 23-strain -7.227E-06 23-stress -7.811E+04 23-strain -7.385E-06 23-stress -5.090E+04 23-strain -4.813E-06 23-stress -4.876E+04 23-strain -4.610E-06

31-stress -5.043E+03 31-strain -4.768E-07 31-stress 0.000E+00 31-strain 0.000E+00 31-stress -2.017E+04 31-strain -1.907E-06 31-stress -4.035E+04 31-strain -3.815E-06 31-stress 3.278E+04 31-strain 3.099E-06 31-stress 3.026E+04 31-strain 2.861E-06 31-stress 4.539E+04 31-strain 4.292E-06 31-stress 3.026E+04 31-strain 2.861E-06

Deflexão da Linha Elastica 0,00E+00 -5,00E+00

0

5

10

15 h=30b+ h=30b-

-1,00E+01 Deflexão z(x) cm

20

-1,50E+01 -2,00E+01 -2,50E+01 -3,00E+01 -3,50E+01 -4,00E+01 -4,50E+01 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 32. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.

Deflexão da Linha Elastica 1,80E+00

Deflexão y(x) cm

1,60E+00 1,40E+00 1,20E+00 1,00E+00 8,00E-01 6,00E-01 4,00E-01

h=30b+ h=30b-

2,00E-01 0,00E+00 0

5

10 Coordenada x (cm)

15

20

Figura - 5. 33. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 30.0.

103

5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 Node 56 57 72 73

1 Coord 1.8667E+01 2.1333E+01 1.8667E+01 2.1333E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -3.8989E-05 -3.9221E-05 -3.6058E-05 -3.5783E-05

2 Displ 2.8871E-07 -5.3714E-07 -5.3359E-07 -1.2955E-06

3 Displ 1.2056E-04 1.0339E-04 1.1858E-04 1.0165E-04

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 22, Tabela - V. 23 e Tabela - V. 26.

Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1

1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124

11-stress -5.043E+03 11-strain -1.814E-07 11-stress -5.105E+03 11-strain -1.814E-07 11-stress -5.784E+03 11-strain -2.038E-07 11-stress -5.722E+03 11-strain -2.038E-07 11-stress -2.763E+03 11-strain -8.289E-08 11-stress -2.763E+03 11-strain -8.289E-08 11-stress -5.170E+02 11-strain -8.576E-09 11-stress -5.176E+02 11-strain -8.576E-09

22-stress -1.853E+02 22-strain 4.827E-08 22-stress -3.913E+02 22-strain 4.146E-08 22-stress -5.950E+02 22-strain 4.146E-08 22-stress -3.890E+02 22-strain 4.827E-08 22-stress -1.613E+03 22-strain -2.851E-08 22-stress -1.611E+03 22-strain -2.844E-08 22-stress -9.373E+02 22-strain -2.844E-08 22-stress -9.393E+02 22-strain -2.851E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain 5.703E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.996E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 6.958E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 6.666E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.774E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.771E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.587E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.589E-08

104

12-stress -1.165E+01 12-strain -1.101E-09 12-stress -5.600E+01 12-strain -5.295E-09 12-stress -4.422E+02 12-strain -4.181E-08 12-stress -3.978E+02 12-strain -3.761E-08 12-stress -7.155E+02 12-strain -6.765E-08 12-stress -5.688E+02 12-strain -5.377E-08 12-stress -5.650E+02 12-strain -5.342E-08 12-stress -7.117E+02 12-strain -6.729E-08

23-stress 8.511E+04 23-strain 8.047E-06 23-stress 8.489E+04 23-strain 8.026E-06 23-stress 8.866E+04 23-strain 8.382E-06 23-stress 8.882E+04 23-strain 8.398E-06 23-stress -9.298E+04 23-strain -8.791E-06 23-stress -9.256E+04 23-strain -8.751E-06 23-stress -8.890E+04 23-strain -8.406E-06 23-stress -8.896E+04 23-strain -8.411E-06

31-stress -1.261E+03 31-strain -1.192E-07 31-stress -1.261E+03 31-strain -1.192E-07 31-stress -3.783E+03 31-strain -3.576E-07 31-stress -1.261E+03 31-strain -1.192E-07 31-stress 6.304E+02 31-strain 5.960E-08 31-stress -9.457E+02 31-strain -8.941E-08 31-stress 6.304E+02 31-strain 5.960E-08 31-stress 1.261E+03 31-strain 1.192E-07

Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 Node 568 569 584 585

1 Coord 1.8667E+01 2.1333E+01 1.8667E+01 2.1333E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01 1.1429E+01

1 Displ 4.7957E-05 4.6980E-05 5.1628E-05 5.2932E-05

2 Displ -7.0977E-04 -7.1001E-04 -7.0862E-04 -7.0935E-04

3 Displ -1.8968E+10 -1.8968E+10 -1.8968E+10 -1.8968E+10

Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1

1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124

11-stress -3.360E+03 11-strain -1.292E-07 11-stress -3.579E+03 11-strain -1.292E-07 11-stress 8.341E+03 11-strain 2.653E-07 11-stress 8.560E+03 11-strain 2.653E-07 11-stress 9.823E+02 11-strain 2.520E-08 11-stress 6.557E+02 11-strain 2.520E-08 11-stress 4.366E+03 11-strain 1.480E-07 11-stress 4.693E+03 11-strain 1.480E-07

22-stress 6.420E+02 22-strain 6.000E-08 22-stress -8.932E+01 22-strain 3.580E-08 22-stress 3.487E+03 22-strain 3.580E-08 22-stress 4.218E+03 22-strain 6.000E-08 22-stress 9.644E+02 22-strain 2.435E-08 22-stress -1.241E+02 22-strain -1.167E-08 22-stress 9.890E+02 22-strain -1.167E-08 22-stress 2.078E+03 22-strain 2.435E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain 2.965E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 4.002E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.290E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.394E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -2.124E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.799E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.842E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -7.386E-08

12-stress 2.034E+03 12-strain 1.923E-07 12-stress 2.813E+03 12-strain 2.659E-07 12-stress 1.441E+03 12-strain 1.363E-07 12-stress 6.626E+02 12-strain 6.265E-08 12-stress 2.900E+03 12-strain 2.742E-07 12-stress 3.142E+03 12-strain 2.971E-07 12-stress 1.101E+03 12-strain 1.041E-07 12-stress 8.588E+02 12-strain 8.119E-08

23-stress 7.596E+04 23-strain 7.182E-06 23-stress 7.671E+04 23-strain 7.252E-06 23-stress 7.911E+04 23-strain 7.480E-06 23-stress 7.930E+04 23-strain 7.497E-06 23-stress -7.377E+04 23-strain -6.974E-06 23-stress -7.672E+04 23-strain -7.254E-06 23-stress -7.361E+04 23-strain -6.959E-06 23-stress -7.043E+04 23-strain -6.659E-06

31-stress 1.261E+04 31-strain 1.192E-06 31-stress 1.261E+04 31-strain 1.192E-06 31-stress 1.009E+04 31-strain 9.537E-07 31-stress 1.009E+04 31-strain 9.537E-07 31-stress -1.261E+03 31-strain -1.192E-07 31-stress -6.304E+02 31-strain -5.960E-08 31-stress -1.513E+04 31-strain -1.431E-06 31-stress -1.765E+04 31-strain -1.669E-06

Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 Node 952 953 968 969

1 Coord 1.8667E+01 2.1333E+01 1.8667E+01 2.1333E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

105

1 Displ 1.0765E-04 1.0575E-04 1.2405E-04 1.2711E-04

2 Displ -2.0071E-03 -2.0070E-03 -2.0034E-03 -2.0003E-03

3 Displ 1.6611E+10 1.6611E+10 1.6611E+10 1.6611E+10

Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1

1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 45.876 1-coord 20.770 2-coord 54.124 1-coord 19.230 2-coord 54.124

11-stress -7.273E+03 11-strain -3.030E-07 11-stress -6.484E+03 11-strain -3.030E-07 11-stress 1.871E+04 11-strain 5.309E-07 11-stress 1.793E+04 11-strain 5.309E-07 11-stress -8.227E+03 11-strain -2.598E-07 11-stress -8.431E+03 11-strain -2.598E-07 11-stress -2.973E+03 11-strain -7.922E-08 11-stress -2.768E+03 11-strain -7.922E-08

22-stress 3.532E+03 22-strain 2.078E-07 22-stress 6.161E+03 22-strain 2.948E-07 22-stress 1.372E+04 22-strain 2.948E-07 22-stress 1.109E+04 22-strain 2.078E-07 22-stress -3.603E+03 22-strain -4.129E-08 22-stress -4.285E+03 22-strain -6.383E-08 22-stress -2.647E+03 22-strain -6.383E-08 22-stress -1.966E+03 22-strain -4.129E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain 4.081E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 3.531E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.538E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.166E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.291E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.387E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 6.131E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.165E-08

106

12-stress 1.442E+04 12-strain 1.363E-06 12-stress 1.606E+04 12-strain 1.519E-06 12-stress 2.099E+04 12-strain 1.985E-06 12-stress 1.935E+04 12-strain 1.829E-06 12-stress 1.099E+04 12-strain 1.039E-06 12-stress 1.135E+04 12-strain 1.073E-06 12-stress 1.007E+04 12-strain 9.519E-07 12-stress 9.712E+03 12-strain 9.182E-07

23-stress 4.593E+03 23-strain 4.342E-07 23-stress -1.180E+03 23-strain -1.116E-07 23-stress 1.783E+04 23-strain 1.686E-06 23-stress 1.545E+04 23-strain 1.461E-06 23-stress 6.169E+03 23-strain 5.833E-07 23-stress 2.918E+03 23-strain 2.759E-07 23-stress 2.240E+04 23-strain 2.118E-06 23-stress 1.955E+04 23-strain 1.849E-06

31-stress 3.530E+04 31-strain 3.338E-06 31-stress 3.404E+04 31-strain 3.219E-06 31-stress 2.522E+04 31-strain 2.384E-06 31-stress 2.522E+04 31-strain 2.384E-06 31-stress -6.304E+02 31-strain -5.960E-08 31-stress -2.522E+03 31-strain -2.384E-07 31-stress 1.135E+04 31-strain 1.073E-06 31-stress 5.043E+03 31-strain 4.768E-07

Deflexão da Linha Elastica 3,00E+00 h=40b+ h=40b-

Deflexão y(x) cm

2,50E+00 2,00E+00 1,50E+00 1,00E+00 5,00E-01 0,00E+00 0

5

10

15

20

-5,00E-01 Coordenada x (cm) Figura - 5. 34. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.

Deflexão da Linha Elastica 6,00E-02

Deflexão y(x) cm

4,00E-02

h=40b+ h=40b-

2,00E-02 0,00E+00 -2,00E-02

0

5

10

15

20

-4,00E-02 -6,00E-02 -8,00E-02 -1,00E-01 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 35. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 40.0.

107

5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0 Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das deformações, conforme mostram as tabelas abaixo. Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 Node 56 57 72 73

1 Coord 2.3333E+01 2.6667E+01 2.3333E+01 2.6667E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

1 Displ -8.5123E-06 -8.4453E-06 -8.4768E-06 -8.4616E-06

2 Displ -1.9218E-06 -2.0221E-06 -2.0937E-06 -1.9743E-06

3 Displ 2.5544E-06 -1.1743E-05 8.4167E-07 -1.3388E-05

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e superiores estão mostrados nas Tabela - V. 28, Tabela - V. 30 e Tabela - V. 32.

Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1 Elmt 53 matl 1

1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124

11-stress 5.091E+02 11-strain 2.165E-08 11-stress 4.866E+02 11-strain 2.165E-08 11-stress 2.427E+02 11-strain 1.358E-08 11-stress 2.652E+02 11-strain 1.358E-08 11-stress 4.503E+02 11-strain 1.812E-08 11-stress 5.032E+02 11-strain 1.812E-08 11-stress 2.391E+02 11-strain 9.377E-09 11-stress 1.862E+02 11-strain 9.377E-09

22-stress -2.875E+02 22-strain -1.601E-08 22-stress -3.625E+02 22-strain -1.849E-08 22-stress -4.356E+02 22-strain -1.849E-08 22-stress -3.607E+02 22-strain -1.601E-08 22-stress -1.597E+02 22-strain -1.072E-08 22-stress 1.665E+01 22-strain -4.884E-09 22-stress -6.258E+01 22-strain -4.884E-09 22-stress -2.389E+02 22-strain -1.072E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain -2.418E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.354E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain 2.104E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain 1.041E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.170E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.671E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain -1.926E-09 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.753E-10

108

12-stress 2.217E+01 12-strain 2.096E-09 12-stress 2.249E+00 12-strain 2.127E-10 12-stress -1.102E+02 12-strain -1.042E-08 12-stress -9.030E+01 12-strain -8.537E-09 12-stress -1.058E+02 12-strain -1.000E-08 12-stress -1.274E+02 12-strain -1.204E-08 12-stress 1.372E+02 12-strain 1.297E-08 12-stress 1.587E+02 12-strain 1.501E-08

23-stress 7.046E+03 23-strain 6.662E-07 23-stress 7.269E+03 23-strain 6.873E-07 23-stress 6.549E+03 23-strain 6.192E-07 23-stress 6.768E+03 23-strain 6.398E-07 23-stress -6.941E+03 23-strain -6.563E-07 23-stress -6.724E+03 23-strain -6.357E-07 23-stress -7.444E+03 23-strain -7.038E-07 23-stress -7.221E+03 23-strain -6.827E-07

31-stress -1.837E+03 31-strain -1.736E-07 31-stress -1.793E+03 31-strain -1.696E-07 31-stress -1.785E+03 31-strain -1.688E-07 31-stress -1.837E+03 31-strain -1.737E-07 31-stress 1.674E+03 31-strain 1.582E-07 31-stress 1.718E+03 31-strain 1.624E-07 31-stress 1.700E+03 31-strain 1.607E-07 31-stress 1.649E+03 31-strain 1.559E-07

Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 Node 568 569 684 685

1 Coord 2.3333E+01 2.6667E+01 3.6667E+01 4.0000E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 2.8571E+01 2.8571E+01

3 Coord 1.1429E+01 1.1429E+01 1.4286E+01 1.4286E+01

1 Displ 5.7057E-05 5.7003E-05 8.0120E-05 8.0023E-05

2 Displ -4.9307E-05 -4.9300E-05 -7.4510E-05 -7.4541E-05

3 Displ -5.6676E+08 -5.6676E+08 -1.5893E+09 -1.5893E+09

Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1 Elmt 368 matl 1

1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124

11-stress -1.341E+03 11-strain -1.403E-08 11-stress -1.416E+03 11-strain -1.403E-08 11-stress -1.730E+03 11-strain -2.439E-08 11-stress -1.654E+03 11-strain -2.439E-08 11-stress -5.885E+02 11-strain 3.507E-09 11-stress -6.628E+02 11-strain 3.507E-09 11-stress -8.838E+02 11-strain -3.803E-09 11-stress -8.095E+02 11-strain -3.803E-09

22-stress -3.185E+03 22-strain -1.012E-07 22-stress -3.435E+03 22-strain -1.095E-07 22-stress -3.529E+03 22-strain -1.095E-07 22-stress -3.279E+03 22-strain -1.012E-07 22-stress -2.283E+03 22-strain -7.661E-08 22-stress -2.531E+03 22-strain -8.480E-08 22-stress -2.597E+03 22-strain -8.480E-08 22-stress -2.350E+03 22-strain -7.661E-08

33-stress 0.000E+00 33-strain 4.937E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.293E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.737E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.381E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 3.133E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 3.484E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 3.797E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain 3.446E-08

12-stress -5.155E+02 12-strain -4.874E-08 12-stress -5.411E+02 12-strain -5.116E-08 12-stress -9.173E+02 12-strain -8.673E-08 12-stress -8.917E+02 12-strain -8.431E-08 12-stress -3.441E+02 12-strain -3.253E-08 12-stress -3.621E+02 12-strain -3.424E-08 12-stress -7.337E+02 12-strain -6.936E-08 12-stress -7.156E+02 12-strain -6.766E-08

23-stress 6.066E+03 23-strain 5.736E-07 23-stress 6.184E+03 23-strain 5.847E-07 23-stress 4.874E+03 23-strain 4.609E-07 23-stress 4.734E+03 23-strain 4.476E-07 23-stress -4.937E+03 23-strain -4.667E-07 23-stress -4.853E+03 23-strain -4.589E-07 23-stress -6.165E+03 23-strain -5.829E-07 23-stress -6.240E+03 23-strain -5.899E-07

31-stress -3.231E+03 31-strain -3.055E-07 31-stress -3.428E+03 31-strain -3.241E-07 31-stress -3.152E+03 31-strain -2.980E-07 31-stress -2.837E+03 31-strain -2.682E-07 31-stress 2.876E+03 31-strain 2.719E-07 31-stress 2.660E+03 31-strain 2.515E-07 31-stress 2.601E+03 31-strain 2.459E-07 31-stress 2.876E+03 31-strain 2.719E-07

Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 Node 952 953 968 969

1 Coord 2.3333E+01 2.6667E+01 2.3333E+01 2.6667E+01

2 Coord 4.2857E+01 4.2857E+01 5.7143E+01 5.7143E+01

3 Coord 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01 2.0000E+01

109

1 Displ 1.3577E-04 1.3679E-04 1.3824E-04 1.4011E-04

2 Displ -1.4470E-04 -1.4280E-04 -1.3331E-04 -1.3284E-04

3 Displ -1.1732E+10 -1.1732E+10 -1.1732E+10 -1.1732E+10

Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1 Elmt 683 matl 1

1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 45.876 1-coord 25.962 2-coord 54.124 1-coord 24.038 2-coord 54.124

11-stress 1.399E+04 11-strain 2.823E-07 11-stress 1.359E+04 11-strain 45.876 11-stress 1.627E+04 11-strain 3.709E-07 11-stress 1.667E+04 11-strain 3.709E-07 11-stress 3.362E+03 11-strain 7.329E-08 11-stress 3.293E+03 11-strain 7.329E-08 11-stress 1.115E+03 11-strain 1.225E-09 11-stress 1.184E+03 11-strain 1.225E-09

22-stress 2.075E+04 22-strain 6.019E-07 22-stress 1.941E+04 22-strain 2.823E-07 22-stress 2.022E+04 22-strain 5.577E-07 22-stress 2.155E+04 22-strain 6.019E-07 22-stress 4.488E+03 22-strain 1.265E-07 22-stress 4.257E+03 22-strain 1.189E-07 22-stress 3.604E+03 22-strain 1.189E-07 22-stress 3.835E+03 22-strain 1.265E-07

33-stress 0.000E+00 33-strain -3.789E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain 5.577E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -3.980E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -4.169E-07 33-stress 0.000E+00 33-strain -8.564E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -8.237E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.148E-08 33-stress 0.000E+00 33-strain -5.475E-08

110

12-stress 5.369E+03 12-strain 5.076E-07 12-stress 5.588E+03 12-strain -3.600E-07 12-stress 3.587E+03 12-strain 3.391E-07 12-stress 3.368E+03 12-strain 3.184E-07 12-stress 8.157E+02 12-strain 7.712E-08 12-stress 6.379E+02 12-strain 6.031E-08 12-stress 2.915E+02 12-strain 2.756E-08 12-stress 4.693E+02 12-strain 4.437E-08

23-stress -8.492E+03 23-strain -8.029E-07 23-stress -1.132E+04 23-strain 5.283E-07 23-stress 1.231E+04 23-strain 1.164E-06 23-stress 1.581E+04 23-strain 1.495E-06 23-stress -1.417E+04 23-strain -1.339E-06 23-stress -1.038E+04 23-strain -9.810E-07 23-stress 1.286E+04 23-strain 1.216E-06 23-stress 1.203E+04 23-strain 1.137E-06

31-stress -8.826E+03 31-strain -8.345E-07 31-stress -7.565E+03 31-strain -1.070E-06 31-stress -2.017E+04 31-strain -1.907E-06 31-stress -2.522E+04 31-strain -2.384E-06 31-stress 9.772E+03 31-strain 9.239E-07 31-stress 1.040E+04 31-strain 9.835E-07 31-stress 1.513E+04 31-strain 1.431E-06 31-stress 1.387E+04 31-strain 1.311E-06

Deflexão da Linha Elastica 1,50E+00 h=50b+ h=50b-

Deflexão y(x) cm

1,00E+00 5,00E-01 0,00E+00 0

5

10

15

20

-5,00E-01 -1,00E+00 -1,50E+00 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 36. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.

Deflexão da Linha Elastica 0,00E+00 0

5

10

Deflexão y(x) cm

-5,00E-03

15

20 h=50b+ h=50b-

-1,00E-02 -1,50E-02 -2,00E-02 -2,50E-02 -3,00E-02 Coordenada x (cm)

Figura - 5. 37. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 50.0.

111

5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 19 Deslocamento da Linha Elástica na Base da Viga

Deflexão z(y)

5,00E+00 0,00E+00 0,00E+0 2,00E+0 4,00E+0 6,00E+0 8,00E+0 1,00E+0 1,20E+0 -5,00E+00 0 5 5 5 5 6 6 -1,00E+01 -1,50E+01

h=10 h=20 h=30 h=40 h=50

-2,00E+01 -2,50E+01 -3,00E+01 Coordenada y (cm)

Figura - 5. 38. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga 5,00E+00 0,00E+00 w(x) (cm)

-5,00E+00

0

2

4

6

8

10

12

-1,00E+01 -1,50E+01 MEF1

-2,00E+01

Teórico -2,50E+01

MEF2

-3,00E+01 alfa = l/h Figura - 5. 39. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

112

Capítulo – VI DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS RESUMO Neste capítulo será feita uma discussão do problema da viga de concreto sem reforço. Será comparado o valor analítico da viga unidimensional com o resultado numérico obtido pelo Método dos Elementos Finitos de vigas elásticas, bi-apoiada, com carregamento duplo localizado simetricamente em relação ao meio ao seu centro para os casos 1-D, 2-D, 3D. Será feito uma análise da convergência e do erro relativo.

6. 1 – Introdução Dependendo das condições de contorno temos diferentes problemas de viga em engenharia. No problema que foi resolvido neste trabalho adotou-se uma viga bi-apoiada com um carregamento localizado na parte superior na metade da viga. Esse problema possui solução unidimensional que aparece nos livros textos de graduação em Engenharia. Contudo, quando se resolve o problema da viga em duas e três dimensões (2-D e 3D) surgem efeitos dimensionais nas demais direções. Isto porque o módulo de Poisson é a grandeza responsável por transmitir as tensões e os deslocamentos que afetam as outras direções, que no caso unidimensional (1-D) anteriormente não havia. Desta forma, os resultados dos cálculos obtidos não são sempre os mesmos que no caso unidimensional. (1-D). Portanto, os resultados da viga 1-D só encontraram-se melhor aproximação para os pontos contidos sobre a linha neutra da viga 2-D. 113

6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais 6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional Os resultados dos deslocamentos obtidos nas Malhas estão apresentados de forma comparativa na Tabela - VI. 1 e Tabela - VI. 3 para um ponto na metade do comprimento na parte inferior e superior da viga e a Tabela - VI. 2 para um ponto na metade do comprimento na parte central da viga. Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1-coord 1D

2D

1-desloc

2-desloc

50

4.9000E+01

0.0000E+00

0.0000E+0

0.0000E+0

51

5.0000E+01

0.0000E+00

0.0000E+0

0.0000E+0

52

5.1000E+01

0.0000E+00

0.0000E+0

0.0000E+0

50

4.9000E+01

0.0000E+00

-1.9377E-06

-6.0759E-04

51

5.0000E+01

0.0000E+00

1.4299E-19

-6.0787E-04

52

5.1000E+01

0.0000E+00

1.9377E-06

-6.0759E-04

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

3D

Teórico

2-coord

-

1-tensao 2-tensao

Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1D

2D

2-coord

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

1-desloc

2-desloc

5.0000E+00

0.0000E+00

1060

4.9000E+01

1.0000E+01

8.7628E-07

-6.0839E-04

1061

5.0000E+01

1.0000E+01

7.6602E-20

-6.0867E-04

1062

5.1000E+01

1.0000E+01

-8.7628E-07

-6.0839E-04

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

3D

Teórico

1-coord

-

1-tensao 2-tensao

Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0

114

Malha Nó

1-coord

2-coord

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

2070

4.9000E+01

2071

5.0000E+01

2072

1D

2D

3D

Teórico

-

1-desloc

2-desloc

1.0000E+01

3.6904E-06

-6.0496E-04

1.0000E+01

-2.0157E-20

-6.0525E-04

5.1000E+01

1.0000E+01

-3.6904E-06

-6.0496E-04

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

5.0000E+00

0.0000E+00

1-tensao 2-tensao

Os resultados das tensões obtidas nas Malhas estão apresentados de forma comparativa na Tabela - VI. 4 para um ponto na metade do comprimento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do comprimento na parte superior da viga. Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga No

Nó

Tensão de

Nó

Tensão

Nó

Tensão de

Malha

Equivalente

Tração

Equivalente

(Pa)

Equivalente

Compressão

Na Parte

(Pa)

Na Parte

Na Parte

(Pa)

Central

Superior

Inferior Malha 1

6

1.257E+06

61

-1.143E+05

116

-1.322E+06

Malha 2

11

1.388E+06

116

-1.107E+05

221

-1.537E+06

Malha 3

21

1.438E+06

226

-9.759E+04

431

-1.728E+06

Malha 4

41

1.544E+06

851

-1.882E+04

1661

-2.232E+06

Maha 5

81

1.523E+06

1691

-1.558E+04

3301

-2.343E+06

Teórico

-

1.7052E+06

-

-

-

-1.7052E+06

115

6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D Os cálculos do erro relativo cometido na análise das deformações estão mostrados na Tabela - VI. 5 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 6 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga. Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro 2-Deslocamento (u) Da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

Calculada pelo FEAP (m)

-5.1673E-04

-5.2847E-04

-5.1673E-04

-5.7265E-04

-5.1673E-04

-5.9391E-04

-5.1673E-04

-6.0976E-04

-5.1673E-04

-5.7071E-04

0.10000

Erro Relativo

0.022719795638

0.05000

0.108218992511

0.02500

0.149362336230

0.01250

0.180035995588

0.00625

0.104464614015

Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro 2-Deslocamento (u)

2-Deslocamento (u)

Da Malha

Exato (m)

Calculada pelo FEAP (m)

0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

-8.3916E-4

-7.8942E-04

-8.3916E-4

-8.3372E-04

-8.3916E-4

-8.5524E-04

-8.3916E-4

-8.7121E-04

-8.3916E-4

-8.3204E-04

Erro Relativo

0.059273559274 0.006482673149 0.019162019162 0.038192954860 0.008484675151

Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro 2-Deslocamento (u) da Malha 0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

Calculada pelo FEAP (m)

-1.0334E-03

-1.0481E-03

-1.0334E-03

-1.0936E-03

-1.0334E-03

-1.1193E-03

-1.0334E-03

-1.1385E-03

-1.0334E-03

-1.0990E-03

Erro Relativo

0.014224888717 0.058254306174 0.083123669441 0.101703115928 0.063479775498

116

Os cálculos do erro relativo cometido na análise das tensões estão mostrados na Tabela - VI. 8 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela VI. 10 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga. Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro Tensão Exata Tensão Calculada Erro Relativo da Malha 0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

(Pa)

pelo FEAP (Pa)

1.7052E+06

1.257E+06

1.7052E+06

1.388E+06

1.7052E+06

1.438E+06

1.7052E+06

1.544E+06

1.7052E+06

1.523E+06

0.262843068262 0.186019235280 0.156697161623 0.094534365470 0.106849636406

Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro Tensão Exata Tensão Calculada Erro Relativo da Malha

(Pa)

pelo FEAP (Pa)

0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

-

-1.143E+05

-

-

-1.107E+05

-

-

-9.759E+04

-

-

-1.882E+04

-

-

-1.558E+04

-

Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro Tensão Exata Tensão Calculada Erro Relativo da Malha 0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

(Pa)

pelo FEAP (Pa)

-1.7052E+06

-1.322E+06

-1.7052E+06

-1.537E+06

-1.7052E+06

-1.728E+06

-1.7052E+06

-2.232E+06

-1.7052E+06

-2.343E+06

1.775275627492 1.901360544218 2.013370865588 2.308937368051 2.374032371569

117

A partir das tabelas (Tabela - VI. 5 e Tabela - VI. 6) mostradas anteriormente, observa-se uma ligeira diferença nos deslocamentos quando se compara os resultados obtidos em 2-D com o modelo teórico 1-D. Já nas tabelas (Tabela - VI. 8 e Tabela - VI. 10) o efeito dimensional na tensão se agrava ainda mais porque, além dos efeitos dimensionais, a carga concentrada em um nó e a reação dos apoios se acentua com o refinamento da malha. Outro efeito da nova dimensão em problemas de elementos finitos em relação a previsão teórica unidimensional (1-D) é que a linha neutra da viga não esta localizada no meio da barra, encontrando-se diferentes valores de tensão e deslocamento para os pontos simétricos em relação ao centro da viga. Isto por causa da posição super-localizada dos apoios.

6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas O trabalho proposto foi inicialmente feito com o carregamento super-localizado em todas as malhas. Contudo, essa superlocalização do carregamento estava impedindo a converg6encia dos resultados das malhas. Para se resolver o problema de convergência da malha 2-D para que esta se iguale ao resultado 1D foi necessário tomar a seguinte providência: 1) Fazer uma suavização da distribuição da carga concentrada e dos pontos de aplicação dos apoios para uma região vizinha do nó em questão conforme mostra a Figura - 6. 1.

Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios.

Uma outra providência poderia ser tomada caso a última malha não convergisse e precisasse de mais um reinamento. 2) Produzir uma malha equivalente usando-se a propriedade de simetria do carragamento conforme mostra a Figura - 6. 2.

118

Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha.

Contudo, esta última providência não foi necessária. A análise de convergência dos resultados foi feita pelo erro relativo cometido entre as malhas segundo a equação (6. 1). umalha − umalha

. Erro =

anterior

posterior

≤ 0, 05

(6. 1)

umalha anterior

A partir desta equação construiu-se a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 13 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga

Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Malha Parâmetro da Malha 1

0.10000 2

0.05000 3

0.02500 4

0.01250 5

0.00625 ∞

0.10000

Nó

2-Deslocamento (u)

Erro de

Equivalente Calculada pelo FEAP (m) Convergência

6

-5.2847E-04

11

-5.7265E-04

21

-5.9391E-04

41

-6.0976E-04

81

-5.7071E-04

-

-5.1673E-04

0.083599825913 0.037125643936 0.026687545251 0.064041590134 0.094583939304 0

119

Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Malha Parâmetro da Malha 1

0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625 0.10000

2 3 4 5 ∞

Nó

2-Deslocamento (u)

Erro de

Equivalente Calculada pelo FEAP (m) Convergência 61

-7.8942E-04

116

-8.3372E-04

226

-8.5524E-04

851

-8.7121E-04

1691

-8.3204E-04

-

-8.3916E-4

0.056117149299 0.025812023221 0.018673120995 0.044960457295 0.008557280900 0

Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Malha Parâmetro da Malha 1

0.10000 0.05000 0.02500 0.01250 0.00625

2 3 4 5 ∞

0.10000

Nó

2-Deslocamento (u)

Erro de

Equivalente Calculada pelo FEAP (m) Convergência 116

-1.0481E-03

221

-1.0936E-03

431

-1.1193E-03

1661

-1.1385E-03

3301

-1.0990E-03

-

-1.0334E-03

0.043411888179 0.023500365764 0.017153578129 0.034694773825 0.059690627843 0

A partir do dados das Tabela - VI. 11 e Tabela - VI. 13 construi-se o gráfico da Figura - 6. 3.

Convergencia

Análise da Convergência das Malhas 0.100000 0.090000 0.080000 0.070000 0.060000 0.050000 0.040000 0.030000 0.020000 0.010000 0.000000

Ponto Inferior Ponto Superior Ponto Central

0.00000 2.00000 4.00000 6.00000 8.00000 1.00000 1.20000 000E+0 000E-02 000E-02 000E-02 000E-02 000E-01 000E-01 0 Parametro da Malha

Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga

120

Esta figura representa a ordem p de convergência das malhas que no caso para o ponto inferior na metade da viga é dado por: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ log ⎜ Pmalha ⎟ − log ⎜ Pmalha ⎟ ⎜ anterior ⎟ ⎜ posterior ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ p= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ log ⎜ erromalha ⎟ − log ⎜ erromalha ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ anterior ⎠ posterior ⎠ ⎝ ⎝

(6. 2)

onde P é o parâmetro da malha. Logo, substiutindo os valores encontrados, temos as ordens de convergência médias, p, das malhas para os três pontos da viga estudados: i) Para o Ponto Inferior na Metade da Viga:

Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.352531377937 0.853909792160 0.301029995664 0.143365366380 2.099740008797 0.301029995664 -0.380153478033 -0.791864373362 0.301029995664 -0.169355291097 -1.777505702444

ii) Para o Ponto Central na Metade da Viga:

Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.337273554010 0.892539578288 0.301029995664 0.140605135845 2.140960170871 0.301029995664 -0.381613808520 -0.788834127442 0.301029995664 0.720494931508 0.417810011562

iii) Para o Ponto Superior na Metade da Viga: Tabela - VI. 16. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Superior na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) 0.301029995664 0.266534053902 0.301029995664 0.136719896828 0.301029995664 -0.305909335732 0.301029995664 -0.235642086277

121

p 1.129424143959 2.201800927642 -0.984049718337 -1.277488246774

Observe que a ordem de convergência, p, das malhas está condicionada ao ponto de estudo, e a certo grau de refinamento. Pois a partir de certo limite de refinemento os valores começam a divergir do valor calculado analiticamente pelo modelo 1-D, conforme mostra a Figura - 6. 3.

122

Capítulo – VII CONCLUSÃO 7. 1 - Considerações Finais O problema elástico de vigas é muito importante na engenharia. A sua solução numérica demanda algum custo computacional em elementos finitos, quando se quer empregar um grau de realismo maior do que aquele do modelo analítico 1-D. Pois dependendo das condições de contorno, tais como: apoios, engastamentos, pontos de aplicação das forças, etc. Estas condições influenciam grandemente na resposta final do campo de tensões no problema. Observou-se que mesmo que o problema aparentemente seja muito parecido o resultado final do campo de tensão depende muito da fixação dos apoios, por exemplo. O modelo analítico 1-D que se encontra no livro texto difere muito do problema 2-D e 3-D, principalmente quando se tem uma viga parede, por exemplo. Embora exista a correção de Timoshenko para este caso os efeitos das demais dimensões determina uma outra situação no campo de tensão/deformação do corpo submetido a um carregamento. A única forma de se comparar os resultados analíticos 1-D com os resultado numéricos 2-D e 3-D é comparando-se com os resultados analíticos 1-D com aqueles fornecidos pelos modelos 2-D e 3-D, apenas na linha neutra e na superfície neutra respectivamente. O Método dos Elementos Finitos 2-D e 3-D oferece uma simulação muito mais realista do problema da viga do que aquele encontrado nos livros textos para 1-D. Empregamos o código FEAP para resolver o problema da viga bi-apoioada em 2-D com carregamento central e conclui-se que este código apresenta resultados muito próximos do real.

123

Referências Bibliográficas 1 – Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element

Analysis, Prentice-Hall, 1987. 2 – Cook, R. D., Malkus D. S. and Plesha M. E., Conceptions and Applications of Finite Element Analysis, 3rd edition, Wiley, 1989. 3 –Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 1982. 4 – Johnson, C., Numerical Solutions of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press (texto muito matemático), 1987. 5 – Strang, G. and Fix, G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall (muito matemático, uma referência extraordinária para a época), 1973. 6 – Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Elements Method, 4th.Edition, vol.1 e vol. 2, McGraw-Hill, 1989-91. 7 – Reddy, J. N. and Gartiling, D. K., The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid

Dynamics, CRC Press, 1994. Endereços da Internet para consultas sobre o código FEAP 8 – http://euler.berkeley.edu/decf/help/feap/report.txt Version 2.33 9 – http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/readme.txt 10 – ncftp://ce.berkeley.edu/pub/pcfeap 11 – http://www.kagaku.co.jp/pcfeap.htm

124

Apêndices A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear A.1.1 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional A equação do Momento Cortante, Q, que atua sobre a viga para a condição de equilíbrio, é dado por:

dQ ( x ) dx

+ q ( x) = 0

(2. 145)

A relação entre o Momento Cortante, Q, e o Momento Fletor, M é dada por:

Q ( x) =

dM ( x )

(2. 146)

dx

A equação do Momento Fletor que atua sobre a viga é dado por: d 2M ( x) dx 2

+ q ( x) = 0

Como o Momento Fletor é dado por M = − EI d 4w ( x) dx

4

−

q ( x) EI

d 2w ( x ) dx 2 =0

125

(2. 147)

. Logo,

(2. 148)

A.1.2 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional Esta equação também pode ser obtida do calculo variacional da equação da energia potencial total do sistema, dada por: l⎡

2 ⎤ 2 EI ⎛ d w ( x ) ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ Ip = − q ( x ) w ( x ) ⎥ dx . ⎢ 2 ⎜ dx 2 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ 0 ⎣⎢ ⎦⎥

∫

(2. 149)

2

⎛ d 2w ( x ) ⎞ onde EI ⎜ ⎟ : é a Energia Potencial de Deformação; q(x)w(x): é a Energia Potencial da 2 ⎜ dx 2 ⎟ ⎝ ⎠

carga Atuante; quando aplicada sobre o funcional (2. 149) a equação de Euler Lagrange, da seguinte forma: Seja F dado por: 2

2 EI ⎛ d w ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ − q ( x) w( x) F = F ( x, w, w '') = 2 ⎜ dx 2 ⎟ ⎝ ⎠

(2. 150)

Pelo Principio da Energia Potencial mínima, a configuração de equilíbrio corresponde à extremização do funcional. Da equação de Euler-Lagrange:

d 3 ⎛ ∂F ⎞ d 2 ⎛ ∂F ⎞ d ⎛ ∂F ⎞ ∂F =0 ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟− dx 3 ⎝ ∂w' ' ' ⎠ dx 2 ⎝ ∂w' ' ⎠ dx ⎝ ∂w' ⎠ ∂w

(2. 151)

como

d 3 ⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟=0 e dx 3 ⎝ ∂w' ' ' ⎠

d ⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟=0 dx ⎝ ∂w' ⎠

(2. 152)

Temos:

d 2 ⎛ ∂F ⎞ ∂F =0 ⎜ ⎟+ dx 2 ⎝ ∂w' ' ⎠ ∂w

(2. 153)

d 2 ⎛ ∂F ⎞ d 2 (EIw' ') ∂F ; = EIw' ' = ⎜ ⎟ ∂w dx 2 ⎝ ∂w' ' ⎠ dx 2

(2. 154)

Logo

e 126

d 2 ⎛ ∂F ⎞ d 4w ⎜ ⎟ = EI 4 e dx 2 ⎝ ∂w' ' ⎠ dx

∂F = −q ∂w

(2. 155)

Então substituindo em (2. 153) temos: d 4w ( x ) dx 4

=

q ( x) EI

A equação diferencial da linha elástica.

127

(2. 156)

A)

Por outro lado,

xb = S + xa

(2. 157)

Ou simplesmente:

⎛ x A = Fa ⎜1 − a L ⎝

⎛ ( S + xa ) ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ + Fb ⎜1 − L ⎠ ⎝ ⎠

(2. 158)

ou ⎛ x A = ( Fa + Fb ) ⎜1 − a L ⎝

S ⎞ ⎟ − Fb L ⎠

(2. 159)

logo S ⎛ x ⎞ A = 2 F ⎜1 − a ⎟ − F L ⎠ L ⎝

(2. 160)

⎛ ( x + a) ⎞ ⎛ ( xa + b ) ⎞ A = F ⎜1 − a ⎟ + F ⎜1 − ⎟ L ⎠ L ⎠ ⎝ ⎝

(2. 161)

como S = a + b temos:

como L / 2 = xa + a = xa + b temos: ⎛ L/2⎞ ⎛ L/2⎞ A = F ⎜1 − ⎟ + F ⎜1 − ⎟ L ⎠ L ⎠ ⎝ ⎝

(2. 162)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ A = F ⎜1 − ⎟ + F ⎜1 − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

(2. 163)

Logo

então, F F + 2 2

(2. 164)

A= B= F

(2. 165)

A= Portanto, por simetria,

128

B1) Fxa xb − Fxa

x 2 L = FLxb − F b + C5 2 2

(2. 166)

x 2 L − FLxb + F b 2 2

(2. 167)

logo C5 = Fxa xb − Fxa

Completando o quadrado perfeito temos: C5 =

(

)

F ⎛x ⎞ F xa 2 + 2 xa xb + xb 2 − FL ⎜ a + xb ⎟ − xa 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2

(2. 168)

x F F ( xa + xb )2 − FL ⎛⎜ a + xb ⎞⎟ − xa 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2

(2. 169)

Logo C5 =

Como L = xa + xb temos: C5 =

F 2 ⎛x ⎞ F L − FL ⎜ a + xb ⎟ − xa 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2

(2. 170)

Logo C5 =

(

F 2 L − xa L + 2 xb L − xa 2 2

)

(2. 171)

Completando o quadrado perfeito temos: C5 =

(

F 2 L + 2 xb L + xb 2 − xa L − xb 2 − xa 2 2

)

(2. 172)

Logo C5 =

F⎡ 2 L + xb ) − xa L − xb 2 − xa 2 ⎤ ( ⎦⎥ 2 ⎣⎢

(2. 173)

Ou C5 =

(

)

F⎡ 2 L + xb ) − xa L − xb 2 + xa 2 ⎤ ( ⎦⎥ 2 ⎣⎢

129

(2. 174)

B2) x 2 L = FLxb − F b + C5 2 2

(2. 175)

x 2 L − FLxb + F b 2 2

(2. 176)

x ⎞ L⎞ ⎛ ⎛ C5 = Fxa ⎜ xb − ⎟ − Fxb ⎜ L − b ⎟ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

(2. 177)

Fxa xb − Fxa

logo C5 = Fxa xb − Fxa

Então

Como L = xa + xb temos: ⎡ (x + x )⎤ ⎛ x 2⎞ C5 = Fxa ⎢ xb − a b ⎥ − F ⎜ xa xb + xb 2 − b ⎟ ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ ⎝

(2. 178)

Logo x ⎛x C5 = Fxa ⎜ b − a 2 ⎝ 2

⎛ xb 2 ⎞ ⎞ ⎟ − F ⎜⎜ xa xb + 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 179)

Então ⎡x x x 2 x 2⎤ C5 = F ⎢ a b − a − xa xb + b ⎥ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

(2. 180)

⎡ x 2 x x x 2⎤ C5 = F ⎢ − a − b a + b ⎥ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2

(2. 181)

F⎡ 2 xa + 2 xb xa − xb 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2

(2. 182)

E

Ou C5 = −

Completando o quadrado perfeito temos:

130

C5 = −

F⎡ 2 xa + 2 xb xa + xb 2 − xb 2 − xb 2 ⎤ ⎦ 2⎣

(2. 183)

F⎡ 2 xa + xb ) − 2 xb 2 ⎤ ( ⎦⎥ 2 ⎣⎢

(2. 184)

F⎡ 2 L − 2 xb 2 ⎤ ⎦ 2⎣

(2. 185)

Então C5 = − Portanto, C5 = − Retornando a (2. 81) temos: −

F⎡ 2 F L − 2 xb 2 ⎤ L + C6 = − L3 ⎦ 2⎣ 3

(2. 186)

Logo F⎡ 3 F L − 2 xb 2 L ⎤ − L3 ⎦ 3 2⎣

(2. 187)

⎛1 1⎞ C6 = − Fxb 2 L + FL3 ⎜ − ⎟ ⎝ 2 3⎠

(2. 188)

C6 = Portanto,

Ou C6 = − Fxb 2 L +

FL3 6

(2. 189)

Ou ⎛ 2 L2 ⎞ C6 = − FL ⎜ xb − ⎟ ⎜ 6 ⎟⎠ ⎝

131

(2. 190)

B3) Fxa xb − Fxa

x 2 L = FLxb − F b + C5 2 2

(2. 191)

x 2 L − FLxb + F b 2 2

(2. 192)

logo C5 = Fxa xb − Fxa

Então x ⎤ L ⎡ C5 = Fxb ⎢ xa − L + b ⎥ − Fxa 2⎦ 2 ⎣

(2. 193)

Como xb = L − xa temos: x ⎤ L ⎡ C5 = Fxb ⎢ − xb + b ⎥ − Fxa 2⎦ 2 ⎣

(2. 194)

L ⎡ x ⎤ C5 = Fxb ⎢ − b ⎥ − Fxa 2 ⎣ 2⎦

(2. 195)

Logo

Portanto, C5 = −

F 2

⎡x 2 ⎤ ⎢ b + xa L ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

(2. 196)

Retornando a (2. 81) temos: −

F 2

⎡x 2 ⎤ F 3 ⎢ b + xa L ⎥ L + C6 = − L 3 ⎢⎣ 2 ⎥⎦

(2. 197)

Logo ⎤ F 3 F ⎡ xb 2 + xa L ⎥ L C6 = − L + ⎢ 3 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Portanto,

132

(2. 198)

C6 =

2 L2 ⎤ FL ⎡ xb 2 + xa L − ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ 2 3 ⎥⎦

133

(2. 199)

A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D

134

Malha – 1-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO-1D 101 100 1 2 2 2 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h=0.0 t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=100 ny=1 no=(nx+1)*(ny+1) !Numero Total de Nós el= nx*ny !Numero Total de elementos n1=1 !Nó 1 do bloco e1=1 !Elemento 1 do bloco F=100e3 f1=1*nx/4+1 f2=3*nx/4+1 bloc cart, nx n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 2 lx h boun 1011 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps thermal isotropic 10e-6 25 density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

135

Malha – 2-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 2D 2121 2000 1 2 2 4 noprint param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h=20.0 !Altura do Bloco (cm) t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=100 !Numero de Elementos na Direção x ny=20 !Numero de Elementos na Direção y no=(nx+1)*(ny+1) !Numero total de Nós el= nx*ny !Numero total de elementos n1=1 !Nó 1 do bloco e1=1 !Elemento 1 do bloco F=100e3 f1=no-3*nx/4 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f1 =no-3*nx/4 f2=no-1*nx/4 !Localizaçao da Força F2 f2=no-nx/4 bloc cart nx ny n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 2 lx 0.0 3 lx h 4 0.0 h boun 1011 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

136

Malha – 3-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 3D 1024 735 1 3 3 8 param lx=2.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=10.0 !Altura do Bloco (cm) t=2.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume Total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=10 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=15 !Numero de Elementos na Direção x ny=7 nz=7 no=(nx+1)*(ny+1)*(nz+1) !Numero total de Nós ns=(nx+1)*(ny+1)*nz+1 np=ns+1*(nx+1)*(ny+1)/4 nu=no-1*(nx+1)*(ny+1)/4+1 !nu=ns+3*(nx+1)*(ny+1)/4-nx el= nx*ny*nz !Numero total de elementos n1=1 e1=1 F=100e3 f1=np+nx !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=nu+nx ! Localizaçao da Força F2 bloc cart,nx ny nz n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 0.0 2 lx 0.0 0.0 3 lx h1 0.0 4 0.0 h1 0.0 5 0.0 0.0 t 6 lx 0.0 t 7 lx h1 t 8 0.0 h1 t boun 1 1 -1 -1 -1 nx+1 0 -1 -1 -1 (nx+1)*ny+1 1 -1 -1 -1 (nx+1)*(ny+1) 0 -1 -1 -1 forc np 1 0.0 0.0 -F f1 0 0.0 0.0 -F nu 1 0.0 0.0 -F f2 0 0.0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all

137

end inter stop end

138

A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D Malha – 1-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa Solution date: Thu Nov 1 14:19:38 2007 2.0 Revision a 07 April 2005 Input Data Filename: Ivigabi2db1 Number of Nodal Points - - - - - - :

121

Number of Elements - - - - - - - - :

100

Spatial Dimension of Mesh - - - - - :

2

Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : Number Element Nodes

2

(Maximum) - :

Number of Material Sets - - - - - - :

4

1

Number Parameters/Set

(Program) - :

Number Parameters/Set

(Users ) - :

200 50

Material Set 1 for Element Type: solid

Two

Dimensional

Mechanical

Solid

Element

Properties

Plane Stress Analysis Modulus E

2.75000E+10

Poisson ratio

0.30000

Thickness

1.00000E+00

Quadrature: Arrays 2 Quadrature: Output 1

Thermal

Expansions

Th. Alpha-1

1.00000E-05

Th. Alpha-2

1.00000E-05

Th. Alpha-3

1.00000E-05

139

T_0

2.50000E+01

Th. D.O.F.

0

Thickness

1.00000E+00

Density

2.32000E+03

1-Gravity Load

0.00000E+00

2-Gravity Load

0.00000E+00

3-Gravity Load

0.00000E+00

Formulation : Small deformation. Element type: Displacement. Mass type *Macro

: Lumped.

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

4.3186086E+07

0.00

5.23

0.00

1.0000000E+00

t=

5.23

0.00

Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

Number of operations = 141258 plus

5.25

0.00

0 Mega-ops

Time: CPU =

5.25 , System =

0.00

--> SOLVE AT

7.06 Mflops. Time=

0.02

Energy convergence test Maximum

=

Relative = *Macro

9.291625468449449E+04 Current

=

9.291625468449449E+04

1.000000000000000E+00 Tolerance =

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

1.0546801E-06

1.000000000000000E-16

0.00

8.90

0.00

2.4421757E-14

t=

8.90

0.00

Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

8.90

0.00

Energy convergence test Maximum Relative = *Macro

=

9.291625468449449E+04 Current

=

5.440781394794690E-26 Tolerance =

1 * disp 116

v:

116.

0.00 t=

5.055370297614026E-21 1.000000000000000E-16

0.00

21.01

0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa Nodal

Displacements

Time

0.00000E+00

Prop. Ld. 1.00000E+00 Node

1 Coord

2 Coord

1 Displ

2 Displ

116 5.0000E+00 2.0000E+00 -2.9350E-19 -2.8562E-03 *Macro

1 * stre 1

v:

95.0

96.0 t=

34.75

0.00 0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa

140

Element Stresses Elmt Mat Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-coord 2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

95

1 -87.0 -3.312E+06 -2.857E+05

4.500 96

*Macro

2-stress

0.000E+00 -1.602E+05 -2.773E+05

1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 -1.515E-05 -3.320E+06 1 87.0 -3.312E+06 -2.857E+05

5.500

1-stress

0.000E+00

1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 1 * stre 2

v:

95.0

96.0 t=

*End of Macro Execution* Restart

Output

Time step number =

1.602E+05 -2.773E+05 1.515E-05 -3.320E+06

0.00

48.67 t=

0.00 62.89

Data 0

Time for restart = 0.00000E+00 Time increment

= 0.00000E+00

Displacements output Proportional load = 1.00000E+00 Arc-length

load = 1.00000E+00

Force vector output History data output Saved Restart File: Rvigabi2db1

141

0.00

Malha – 2-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1 Solution date: Thu Nov 1 15:03:43 2007 2.0 Revision a 07 April 2005 Input Data Filename: Ivigabi2db2 Number of Nodal Points - - - - - - :

231

Number of Elements - - - - - - - - :

200

Spatial Dimension of Mesh - - - - - :

2

Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : Number Element Nodes

2

(Maximum) - :

Number of Material Sets - - - - - - :

4

1

Number Parameters/Set

(Program) - :

Number Parameters/Set

(Users ) - :

200 50

Material Set 1 for Element Type: solid

Two

Dimensional

Mechanical

Solid

Element

Properties

Plane Stress Analysis Modulus E

2.75000E+10

Poisson ratio

0.30000

Thickness

1.00000E+00

Quadrature: Arrays 2 Quadrature: Output 1

Thermal

Expansions

Th. Alpha-1

1.00000E-05

Th. Alpha-2

1.00000E-05

Th. Alpha-3

1.00000E-05

T_0 Th. D.O.F.

2.50000E+01 0

142

Thickness

1.00000E+00

Density

2.32000E+03

1-Gravity Load

0.00000E+00

2-Gravity Load

0.00000E+00

3-Gravity Load

0.00000E+00

Formulation : Small deformation. Element type: Displacement. Mass type *Macro

: Lumped.

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

3.1693618E+07

0.00

3.56

0.00

1.0000000E+00

t=

3.57

0.00

Condition check: D-max 0.6766E+11; D-min 0.2259E+10; Ratio 0.2995E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

3.57

0.00

Energy convergence test Maximum

=

Relative = *Macro

9.381681875005360E+04 Current

=

9.381681875005360E+04

1.000000000000000E+00 Tolerance =

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

9.3307374E-07

1.000000000000000E-16

0.00

6.09

0.00

2.9440430E-14

t=

6.09

0.00

Condition check: D-max 0.6766E+11; D-min 0.2259E+10; Ratio 0.2995E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

Number of operations = 855258 plus Time: CPU =

0.00

0 Mega-ops

6.10 , System =

--> SOLVE AT

6.10

0.00

85.53 Mflops. Time=

0.01

Energy convergence test Maximum Relative = *Macro

=

9.381681875005360E+04 Current

=

5.150162772371247E-27 Tolerance =

1 * disp 221

v:

221.

0.00 t=

4.831718873488268E-22 1.000000000000000E-16

0.00

39.79

0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1 Nodal

Displacements

Time

0.00000E+00

Prop. Ld. 1.00000E+00 Node

1 Coord

2 Coord

1 Displ

2 Displ

221 5.0000E+00 2.0000E+00 5.6336E-19 -2.8312E-03 *Macro

1 * stre 1

v:

190.

191. t=

0.00

70.71

0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1 Element Stresses Elmt Mat Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

143

1-stress

1-coord 2-coord 190

11-strain

22-strain

33-strain

1 -84.5 -3.517E+06 -5.360E+05

4.750 191

2-stress

1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 -2.726E-05 -3.545E+06 1 84.5 -3.517E+06 -5.360E+05

5.250

12-strain

0.000E+00 -2.883E+05 -5.084E+05

0.000E+00

1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04

*End of Macro Execution* Restart

Output

Time step number =

t=

2.883E+05 -5.084E+05 2.726E-05 -3.545E+06

84.10

Data 0

Time for restart = 0.00000E+00 Time increment

= 0.00000E+00

Displacements output Proportional load = 1.00000E+00 Arc-length

load = 1.00000E+00

Force vector output History data output Saved Restart File: Rvigabi2db2

144

0.00

Malha – 3-D feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2 Solution date: Thu Nov 1 15:48:14 2007 2.0 Revision a 07 April 2005 Input Data Filename: Ivigabi2db3 Number of Nodal Points - - - - - - :

451

Number of Elements - - - - - - - - :

400

Spatial Dimension of Mesh - - - - - :

2

Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : Number Element Nodes

2

(Maximum) - :

Number of Material Sets - - - - - - :

4

1

Number Parameters/Set

(Program) - :

Number Parameters/Set

(Users ) - :

200 50

Material Set 1 for Element Type: solid

Two

Dimensional

Mechanical

Solid

Element

Properties

Plane Stress Analysis Modulus E

2.75000E+10

Poisson ratio

0.30000

Thickness

1.00000E+00

Quadrature: Arrays 2 Quadrature: Output 1

Thermal

Expansions

Th. Alpha-1

1.00000E-05

Th. Alpha-2

1.00000E-05

Th. Alpha-3

1.00000E-05

T_0 Th. D.O.F.

2.50000E+01 0

145

Thickness

1.00000E+00

Density

2.32000E+03

1-Gravity Load

0.00000E+00

2-Gravity Load

0.00000E+00

3-Gravity Load

0.00000E+00

Formulation : Small deformation. Element type: Displacement. Mass type *Macro

: Lumped.

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

2.3389734E+07

0.00

3.28

0.00

1.0000000E+00

t=

3.33

0.00

Condition check: D-max 0.4699E+11; D-min 0.2082E+10; Ratio 0.2258E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

3.33

0.00

Energy convergence test Maximum

=

Relative = *Macro

9.426428245626685E+04 Current

=

9.426428245626685E+04

1.000000000000000E+00 Tolerance =

1 * tang

v:

1.00

0.00 t=

Residual norm =

9.6798774E-07

1.000000000000000E-16

0.00

5.87

0.00

4.1385155E-14

t=

5.89

0.00

Condition check: D-max 0.4699E+11; D-min 0.2082E+10; Ratio 0.2258E+02 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition

t=

5.89

0.00

Energy convergence test Maximum Relative = *Macro

=

9.426428245626685E+04 Current

=

4.363377957649130E-28 Tolerance =

1 * disp 431

v:

431.

0.00 t=

4.113106922632864E-23 1.000000000000000E-16

0.00

28.17

0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2 Nodal

Displacements

Time

0.00000E+00

Prop. Ld. 1.00000E+00 Node

1 Coord

2 Coord

1 Displ

2 Displ

431 5.0000E+00 2.0000E+00 1.1566E-18 -2.8000E-03 *Macro

1 * plot

v:

0.00

0.00 t=

*Macro

1 * stre 1

v:

380.

0.00

33.92

381. t=

0.00 0.00

137.50

0.00

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 2 Element Stresses Elmt Mat Angle

11-stress

22-stress

33-stress

12-stress

1-coord 2-coord

11-strain

22-strain

33-strain

12-strain

146

1-stress 2-stress

380

1 -79.6 -3.628E+06 -9.549E+05

4.875 381

1 79.6 -3.628E+06 -9.549E+05

5.125

0.000E+00 -5.077E+05 -8.618E+05

1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 -4.800E-05 -3.721E+06 0.000E+00

1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04

*End of Macro Execution* Restart

Output

Time step number =

t=

5.077E+05 -8.618E+05 4.800E-05 -3.721E+06

147.37

Data 0

Time for restart = 0.00000E+00 Time increment

= 0.00000E+00

Displacements output Proportional load = 1.00000E+00 Arc-length

load = 1.00000E+00

Force vector output History data output Saved Restart File: Rvigabi2db3

147

0.00